COMENTARIOS SOBRE LAS IDEAS DE CAOS Y COMPLEJIDAD, SU GENESIS, SU DESARROLLO Y ACTUALIDAD

1. COMENTARIOS SOBRE LAS IDEAS DE CAOS Y COMPLEJIDAD, SU GENESIS, SU DESARROLLO Y ACTUALIDAD POR: PROFESOR GABRIEL CONDE A. ESCUELA DE ESTADÍSTICA. UNIVALLE

2. INTRODUCCIÓNLA COMPLEJIDAD ESTUDIA LOS FENÓMENOS QUE SE CARACTERIZAN POR:Inestabilidades, fluctuaciones, emergencia, auto-organización, no linealidad, bucles de realimentación, equilibrios dinámicos, rupturas de simetría, caos determinístico.(Básicamente es el estudio de la dinámica no-lineal)

3. SOBRE EL DETERMINISMO

4. RECONOCIMIENTO DE FENÓMENOS MODELABLES: DETERMINISTICAMENTE Ó ALEATORIAMENTE (PROBABILIDAD, ESTADÍSTICA)

5. PIERRE SIMON LAPLACE (1749-1827):En 1812 publico su obra “Teoría Analítica de las Probabilidad” en ella establece la definición clásica de probabilidad, generalizó y amplio el uso del teorema de DeMoivre y sistematizó el uso del análisis matemático dentro del cálculo de probabilidades.En 1814 publicó una 2a edición de la “Teoría Analítica de las Probabilidades” e incluyó además el “Ensayo Filosófico Sobre las Probabilidades”.

6. EL SIGUIENTE TEXTO TOMADO DEL LIBRO DE LAPLACE EXPRESA LO QUE PARECE UN DETERMINISMO EXTREMO.“Una inteligencia que, en un momento determinado, conociera todas la fuerzas que animan la naturaleza, así como la situación respectiva de los seres que la componen, si además fuera lo suficientemente amplia como para someter a análisis tales datos, podría abarcar en una sola fórmula los movimientos de los cuerpos más grandes del universo y los del átomo más ligero; nada le resultaría incierto y tanto el futuro como el pasado estarían presentes a sus ojos”.

7. PERO ESTE OTRO TEXTO NOS AFIRMA PORQUE LAPALCE ESTUDIÓ LAS PROBABILIDADES:“El espíritu humano ofrece, en la perfección que ha sabido dar a la astronomía, un débil esbozo de esta inteligencia. Sus descubrimientos en mecánica y geometría le han puesto en condiciones de abarcar en las mismas expresiones analíticas los estados pasados y futuros del sistema del mundo…Todos los esfuerzos por buscar la verdad tienden a aproximarlo continuamente a la inteligencia que acabamos de imaginar, pero de la que siempre permanecerá infinitamente alejado”.

8. MODELOS DETERMINISTICOSCASCADAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Estas ecuaciones las enmarcamos dentro de la teoría de los sistemas dinámicos. Muchas de ellas modelan sistemas físicos que dependen del tiempo e involucran cantidades (o cambios de esas cantidades) importantes en la descripción de un fenómeno.

9. UN MODELO DE ESTE TIPOLo que nos dice en la práctica es:“Supongamos que en un instante dado conocemos la posición y la velocidad de un cuerpo, las ecuaciones nos proveen una regla que se aplica a dichos números, para obtener la posición y la velocidad en el instante siguiente. La regla se sigue aplicando una y otra vez hasta obtener una trayectoria o unos valores en un instante deseado”. (Stewart I. 1991)

10. DESDE LO DISCRETO Un sistema de k variables que evoluciona en el tiempo puede estudiarse como una variable vectorial x  Rk dependiente de la variable temporal t, de tal manera que el estado xn+1 del sistema en el instante n + 1 se obtiene del estado xn del sistema en el período anterior a través de cierta función vectorial f mediante la relación xn+1 = f(xn).

11. Estos sistemas se llaman “sistemas dinámicos discretos”. Aquí es posible obtener la secuencia x0, x1, …, xn de sucesivos estados del sistema (órbita de x0) de forma que:x1 = f(x0), x2 = f(x1) = f2(x0), x3 = f(x2) = f3(x0), …, xn = fn(x0).

12. DESDE LO CONTINUOSistemas dinámicos autónomos que se modelan con las formas dx/dt = f(x(t)).

13. Para un sistema dinámico TC con parámetros μ := (μ1, μ2,..., μσ) y variables de estado x(t) := (x1(t), x2(t),..., xg(t)) el cambio del estado del sistema se describe por el conjunto de ecuaciones diferenciales:

14. Se puede escribir:x = F(x, t; μ)Donde x y F son vectores de la forma:x := , F := Se requiere además un estado inicial del sistema x0 = (x1(t0), x2(t0), ..., xg(t0)) = x(t0).

15. A partir del estado inicial se puede determinar el estado del sistema en cualquier instante de tiempo por la relación:x(t) = x(t0) +

16. Para un sistema dinámico de TD tenemos las relaciones de tipo “cascada” En forma más compacta se escribe: xn+1 = G(xn; μ) También se debe especificar la condición inicial x0 :=

17. Si f es lineal tenemos invariantes y atractores sencillos.Si f es no lineal (así sea muy simple) podemos tener invariantes y atractores complicados que definen dinámicas complejas y la obtención de soluciones se complica.

18. ELEMENTOS DE LOS SISTEMAS DINÁMICOS LA VARIABLE INDEPENDIENTE t PARÁMETROS Y ESPACIO PARAMÉTRICO VARIABLES DE ESTADO ESPACIO DE FASE ECUACIONES (REGLA) SOLUCIONES ATRACTORES, CUENCAS, CICLOS LÍMITES.

19. LO ESTABLE

20. ESTABILIDAD DE LYAPUNOV Consideremos un fenómeno físico descrito por el sistema de ecuaciones: dx/dt = f1(x, y, t) dy/dt = f2(x, y, t) La solución x(t, x0, y0); y(t, x0, y0) con condiciones iniciales x = x(t0) = x0; y = y(t0) = y0 se llama solución estable en el sentido Lyapunov si para todo t > t0 las soluciones x(t, x0, y0); y(t, x0, y0) experimentan cambios pequeños para modificaciones suficientemente pequeñas en los valores iniciales x0, y0

21. SOLUCIONES ESTABLES Ejemplos de sistemas dinámicos con soluciones estables: Las cascadas discretas definidas por funciones tales como: f(x) = x2, f(x) = x, f(x) = 1/x, f(x) = cox(x), f(x) = x2 - 1 ..\..\Astronomia\EMULADOR HP48\Emu48.exe

25. Si un fenómeno natural se asocia a un modelo de este tipo podríamos decir que el fenómeno es estable y que dicha estabilidad se refleja en las soluciones (convergencia).

26. EL UNIVERSO NOS SUGIERE CIERTA CONFIANZA: Con los sistemas dinámicos y un poco de geometría podemos representar los movimientos celestes y se pueden predecir: estaciones, eclipses determinar: fiestas, siembras ayudar: a la navegación.

27. CAMINOS O VISIONES • Desde la mecánica celeste (P3C) • Desde la teoría de los fluidos • Desde la irreversibilidad (termodinámica) • Desde los osciladores no lineales • Desde las Matemáticas (ED, Análisis, Geometría, Topología) • Desde la computación

28. La importancia de la determinación del estado inicial del sistema.Sensibilidad a las condiciones iniciales (SCI) está asociada a la incapacidad de predecir

29. Las primeras ideas sobre la SCI(2ª mitad del s XIX)Los ingenieros franceses:Barré de Saint Venant (1797-1886)Joseph Boussinesq (1842-1929)Soluciones de ED de los fluidos en la vecindad de puntos singulares.

30. Henry Poincaré “Una causa muy pequeña, que se nos escapa, determina un efecto considerable que no podemos prever y entonces decimos que dicho efecto de debe al azar”(Aborda el P3C)

31. Max Born (1882-1970)(Físico alemán PN 1954)“¿Is Classical Mechanics in Fact Deterministic?” (1955)Estudia el modelo de una partícula que viaja entre obstáculos fijos como modelos de conductividad.Concluye: El determinismo de la M. Clásica es una falsa apariencia debido a que no es posible determinar con absoluta precisión las C.I. de un sistema físico

32. Richard FeynmanEncontramos referencias en sus “Lecturas de Física” V1.“La incertidumbre no es propia de la mecánica cuántica solamente, es una característica en la determinación de las C.I. en la mecánica clásica”

33. Jacob Sinai (En la década de 1970)En el sistema de “obstáculos” de Lorenz considera el movimiento de un punto en un sistema plano con obstáculos convexos (billar de Sinai). Probó en forma rigurosa que una pequeña desviación en el estado inicial de un sistema, produce grandes cambios en su evolución posterior.

34. SOLUCIONES INESTABLES Ejemplos de sistemas dinámicos con soluciones inestables: Las cascadas discretas definidas por funciones tales como: f(x) = x2 – 1 VS f(x) = 2x2 - 1 ..\..\Astronomia\EMULADOR HP48\Emu48.exe

35. OTRO EJEMPLO Un modelo matemático muy estudiado: El modelo logístico. La iteración de la función: f(x) = K.x.(1 – x), 0 < x < 1Se llama cascada logística. La dinámica queda definida por: xn+1 = kxn(1 – xn) Es interesante su estudio para 0  K  4

42. Sensibilidad a las condiciones iniciales. (una característica del caos detreministico) Los gráficos siguientes corresponden a 200 iteraciones para dos valores iniciales muy próximos en la cascada logística con K = 4.

44. Algunos comportamientos 0 < K < 3 Régimen estacionario k = 3 Marginalmente estable, convergencia lenta.  k = 3.2 Periódico, con período 2 k = 3.5 Período 4; k = 3.56 Período 8; K = 3.567 Período 16..... k = 3.58 Período infinito (duplicación infinita) k = 3.835 Período 3 eventual, después período 2 k = 3.739 Período 5 eventual. k = 4 Comportamiento caótico

46. Auto-similaridad = Invarianza a escala

47. La ecuación logística Xsig = K (l - X) X k = 2.7

48. Iteración de la ecuación logística paraK = 2.7. Presencia de un atractor.

49. Iteración de la ecuación logística para K= 3.15. Presencia de dos atractores con valores Xl y X2.

50. ALGUNOS COMPORTAMIENTOS DE LA FUNCION LOGISTICA. xn+1= kxn(1 – xn) • K = 0.75 K = 1.0