第 16 讲 Lebesgue 积分的定义与性质

1. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 目的：了解Lebesgue积分的科学意义，熟练掌握Lebesgue积分的定义及其基本性质。 • 重点与难点：Lebesgue积分的引入及其性质。

2. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 基本内容： • 一．Lebesgue积分的定义 • 问题1：分析Riemann积分的缺陷，我们应如何定义可测函数的积分？

3. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 到目前为此，一切准备工作就绪，我们可以来定义Lebesgue积分了。定义Lebesgue积分的方法有多种，其一是利用简单函数来定义，根据上一章，对E上任一非负可测函数f，可以找到一列单调递增的简单函数 ，使得 ，而对每个简单函数 ，若

4. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 则可自然定义 的积分为： • 若此和式极限存在，则可定义该极限为f的积分，最后再过渡到一般的可测函数。 • 第二种方法是如引言所说，找一串

5. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 序列 ，使记 ，讨论和式极 • 限是否存在。 • 还有一种办法，就是对E作任意划分： • 记 ，然后象Riemann积分那样作对应于该划分的小

6. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 和数 与大和数 ，讨论相对于划分的加细，其大和数与小和数的极限是否相等。 • 本章将采用第二种做法。 • 定义1 设 是测度有限的可测集，f是定义在E上的有界可测函数，即存在

7. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • ，使 • 若D： 是 的任一分点组，则记 • 对任意 ,作和式

8. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 称S(D)为f对应分点组D的一个“和数”。如果存在常数A，使得对任意 • 总有 当任意分点组D满足 时 • 换言之， 则称f在E上是Lebesgue可积的，并称A为f在E上的

9. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • Lebesgue积分，记作 • 有时为简便起见，也记 ，若 • ，则记 当 是Riemann可 • 积函数时，其Riemann积分仍沿用数学分 • 析中的写法，记作 ，后面将会看

10. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 到，当 Riemann可积时，必有 • ，由此可见Lebesgue积分确是Riemann积分的推广。 • 对 的任意分点组D： • 可作两个特殊的和数为：

11. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 称 ， 分别为f 对应分点组D的“大和数”与“小和数”。显然对于f 的任一和数 ，有 • 由此可见，极限 存在当且仅当

12. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 都存在且相等。 • 正如Riemann积分一样，人们可能会问，什么样的可测函数是Lebesgue可积的呢？下面的定理说明：任一有界可测函数都是Lebesgue可积的。

13. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • （2） 有界可测函数的积分 • *定理1 设 是测度有限的可测集，f是E上的有界可测函数，则f在E上Lebesgue可积。 • 证明：记S是相对于所有分点组D的“小和”的上确界， 是相对于所有分点组的“大

14. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 和”的下确界，即 。 • 往证 。 • 首先证明 ，设 • 是两个任意的分点组，则

15. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 将D与D合并起来构成一个新的分点组，记 • 为 可以看成分点组D中又加进了一些 • 分点，称为D的一个“加细”，假设对任意 • 与 之间加入了某些分点 • 即 • 于是

16. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质

17. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 类似地， • 于是 • 这说明，相对于任一分点组D的加细 ，

18. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • “大和”不增，“小和”不减，且 中任一 • 数不超过 中任一数，从而 。 • 再证 。设D为任意的分点组，则由 • 于 故

19. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 令 时，则 进而 • 。 • 最后，令 ，往证 • 注意到 ， • ，故

20. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 由此可见 • 所以 ，即f有E上Lebesgue可 • 积。证毕。 • （3） 例 • 例 设

21. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 在[0,1]上Lebesgue可积，且 • 事实上,对于任一分点组,若 • 则 ，且对任意 • ，有 ，而 • 对其它的分点 总有 • 所以

22. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 令 立得 • 不难看出， 在[0，1]上不是riemann • 可积的。所以，Lebesgue可积函数类比 • Riemann可积函数类要广。

23. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 二．Lebesgue积分的性质 • 问题2：回忆Riemann积分的性质，由此猜测Lebesgue积分应具有什么性质？

24. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • *定理2 设 都是E上的 • 有界可测函数，则 • （i）对任意 • 证明：从积分定义立知（i）是显然的。

25. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • （ii）若E1，…，Em是E的可测子集， • 则

26. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 证明：只需就m=2情形证之，一般情形 • 完全类似可证.设 是任意正数, • D： 是任一分点组，使 • 得 ,记 ,则 • 令

27. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • ,则 • 分别构成E1与E2的一个划分，从而

28. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 由的任意性知 • 反之，由于

29. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 且 • 由 的任意性得

30. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 综上(ii)得证。 • 证明：设 ，对任意 • ，分别取 中分点组D： • 使得 令

31. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 则 是互不相交的有限个可测集，且 • ，于是由（ii）知

32. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质

33. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 所以 • 再由 的任意性得 • 另一方面，由Lebesgue积分定义及 互 • 不相交易知

34. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 故 • 再由

35. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 得 • 仍由 的任意性得

36. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 所以 • 证毕。

37. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • (iv)当 时， • 证明 令 ，则 • 由L-积分的定义显然有 ，再由 • (i),(iii)知， • 即 。证毕。

38. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 推论 设 且f是E上有界可测函数,则 • 证明：因为 故由定理1的(iii)、 • (iv)得 ，即

39. 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 • 作业：P166 1，4