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第六节 多元函数微分学的几何应用

第六节 多元函数微分学的几何应用. 一、空间曲线的切线与法平面. 二、曲面的切平面与法线. 1. 设空间曲线 的 参数方程 为 ：. 一、空间曲线的切线与法平面. 下面来求：. 我们在曲线. 上任取点. ，设它对应于. 附近的一点. 参数. ，即. 按定义，. 切线是割线的极限位置。. 因此，. 即. 对上式取极限，得. 方向向量. 切线的方向向量也称为曲线的切向量。. 由点法式得：点 处的 法平面方程 为. 过点 M 且与这点的 切线垂直 的平面. 法平面：. 法平面. 即. 0. 0. 设此方程组确定了. 用隐函数求导法，求出.

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第六节 多元函数微分学的几何应用

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Presentation Transcript

  1. 第六节 多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线

  2. 1.设空间曲线的参数方程为： 一、空间曲线的切线与法平面 下面来求：

  3. 我们在曲线 上任取点 ，设它对应于 附近的一点 参数 ，即 按定义， 切线是割线的极限位置。 因此，

  4. 即 对上式取极限，得

  5. 方向向量 切线的方向向量也称为曲线的切向量。

  6. 由点法式得：点处的法平面方程为 过点 M 且与这点的切线垂直的平面 法平面： 法平面

  7. 即 0 0

  8. 设此方程组确定了 用隐函数求导法，求出

  9. 例1求曲线 x=t, y=t2，z=t3在点(1,1,1) 处的切线及法平面方程. 解 1 2 3 即

  10. 例2 求曲线 在点(1,−2,1)处的切线及法平面方程. 解 设方程组 确定了 等式两边对 x 求导，得 即

  11. 解得 = = =

  12. 1 0 即

  13. 二、曲面的切平面与法线 在曲面上，通过点 M任意引一条曲线 ， 设的参数方程为 不全为0.

  14. 则 (链锁法则) (*)

  15. 由链锁法则，得 = (*)式变为 = 0 (#) 令 又 则(#)式可写为

  16. 这表明： 切平面的法向量为

  17. 切平面的方程为 + + 法线： 法线的方程为

  18. 即 令 则 = 即

  19. 用隐函数求导法 由前两式求出 再由第三式得

  20. 4、曲面的法向量的方向余弦 若用表示曲面的法向量的方向角，假定法向量的方向向上，即为锐角. 则法向量的方向余弦为:

  21. 例3 求球面在点(1,2,3)处的 切平面及法线方程. 解: ， ， 即

  22. 法线方程为 2 4 6 即

  23. 例4 求旋转抛物面在点(2,1,4)处的切平面及法线方程. 解: ， = = 即 法线方程为 4 2

  24. 曲面 平面 切平面 全微分的几何意义

  25. 作业 P100，4-8,10,12 补充题： 求曲面 上 对应点处的切平面及法线 的方程。

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