Spektras

1. Spektras Prancūzų matematikas Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) J.Furjė idėja – išskaidyti (dekompozicija) vieną sudėtingą signalą į sinuso ir kosinuso funkcijas

2. Ortogonalių ir Ortonormuotų Funkcijų Aibė Kodėl į sinuso ir kosinuso f – jas, o ne į kitas? Signalą galima išskaidyti į bet kokias (pvz.:stačiakampio ar trikampio) funkcijas kurios sudaro Ortogonalių ir Ortonormuotų funkcijų aibę. Ortogonalios funkcijos, tai tarpusavyje nekoreliuojančios funkcijos. Ortogonalios funkcijos, kurių amplitudė =1, vadinamos Ortonormuotomis. Be to,Sinuso ir Kosinuso funkcijos turi atkartojamumo savybę (angl. Sinusoidal fidelity) Sinuso ir Kosinuso funkcijos, į kurias išskaidomas signalas, sudaro bazinių funkcijų aibę. Atkartojamumo savybė – sinuso signalui sklindant tiesine sistema jo forma išlieka. Keičiasi amplitudės ir fazės skaitinės reikšmės. Bazinės funkcijos viena nuo kitos skiriasi tik dažniu, todėl dažnis yra nepriklausomas kintamasis Sinuso ir kosinuso bazinės funkcijos skaičiuojamos: Spektras

3. kosinuso k – toji bazinė funkcija Bazinių funkcijų pavyzdžiai sinuso k – toji bazinė funkcija. Bazinių funkcijų pavyzdžiai: Spektras

4. Norint atlikti N=32 reikšmių signalo dekompoziciją, reikia sudaryti (N/2 + 1) bazinių funkcijų Dažnių ašies vaizdavimas stačiakampėse koordinatėse Išskaidydami signalą (nepriklausomas kintamasis laikas) į bazines funkcijas(jų nepriklausomas kintamasis dažnis) atvaizduojame jį iš laiko srities į dažnių sritį. Pirmas būdas Reikšmės dažnių srityje, gali būti numeruojamos didėjimo tvarka Laiko srities signalo (nepriklausomas kintamasis laikas) atvaizdis dažnių srityje (nepriklausomas kintamasis dažnis) vadinamas SPEKTRU Antrasis būdas Eilės numerius k padalinti iš laiko srities reikšmių skaičiaus N ir gautus rezultatus atidėti horizontalioje ašyje. Taip gaunama normuota dažnių ašis Ketvirtas būdas Sužymėti horizontalią ašį taip, kad kiekvienos atskaitos vertė atitiktų dažnį matuojamą hercais (svyravimų skaičiumi per sekundę) Trečias būdas - sužymėti horizontalią ašį kampinio dažnio reikšmėmis Spektras Laiko srities signalo atvaizdavimas į dažnių sritį vadinamas FURJĖ TRANSFORMACIJA

5. Dažnių ašies vaizdavimo stačiakampėse koordinatėse pavyzdžiai Ketvirtas būdas Pirmas būdas Dažnių ašies reikšmių numeriai (k) Dažnių ašies reikšmės Hercais Trečias būdas Antras būdas Normuota dažnių ašis Dažnių ašies reikšmės radianais per sekundę Spektras

6. Spektro skaičiavimo būdai Pirmas sprendimo būdas. Sudaryti N tiesinių lygčių sistema su N nežinomųjų. N – laiko srities reikšmių skaičius. Lygtys sudaromos taip: pirmoji lygtis: visų bazinių funkcijų pirmųjų reikšmių suma prilyginama pirmajai signalo reikšmei antroji lygtis : visų bazinių funkcijų antrųjų reikšmių suma prilyginama antrajai signalo reikšmei  N-toji lygtis : visų bazinių funkcijų N-tųjų reikšmių suma prilyginama N-tajai signalo reikšmei Sudarytą lygčių sistemą galima spręsti GAUSO metodu Šiam sprendimo būdui realizuoti reikalinga daug skaičiavimo resursų, todėl praktinių uždavinių sprendimui jis netaikomas. Spektras Skaičiuojant spektrą sprendžiamas uždavinys: kiekvienai laiko srities reikšmei rasti ją atitinkančią dažnio srities reikšmę. Šį uždavinį galima spręsti keliais būdais. Antras sprendimo būdas pagrįstas nenormuotoskoreliacijos koeficiento skaičiavimu. Galime manyti, kad taikant šį būdą ieškomas žinomos formos signalas tiriamame signale. Žinomos formos signalu pasirenkamos skirtingo dažnio ir vienodo ilgio bazinės sinuso ir kosinuso funkcijos, kurios sudaro ortogonalių ir ortonormuotų bazinių funkcijų sistemą.

7. Spektro skaičiavimas koreliacijos metodu Bazinės funkcijos skaičiuojamos pagal formules: Kiekviena bazinė funkcija turi N reikšmių. i = 0..N-1 Spektrui skaičiuoti sudaroma (k = 0..N/2) sinuso ir (k = 0..N/2) kosinuso bazinių funkcijų Spektras Koreliacijos reikšmės su kosinuso bazinėmis funkcijomis vadinamos REALIĄJA spektro dalimi ir žymima Re(k), o koreliacijos reikšmės su sinuso bazinėmis funkcijomis vadinamos MENAMA spektro dalimi ir žymima Im(k). Pereinant iš Laiko srities į dažnių sritį gaunama (k = (N/2 + 1) ) realiosios Ir menamosios dalies reikšmių.

8. Tarkime turime signalą sudarytą iš dviejų bazinių funkcijų Skaičiuojame šio spektro realiąją ir menamąją dalis Spektras Dažnio srities signalas Re() Amplitudė Laiko srities signalas Dažnio reikšmių indeksai Amplitudė Dažnio srities signalas Im() Amplitudė Laiko reikšmių indeksai Dažnio reikšmių indeksai

9. Keičiant spektro amplitudžių reikšmes į reikšmes, reikalingas perėjimui iš dažnio srities į laiko sritį, jos Dalinamos iš (N/2) Spektro Tankis Pirma ir paskutinė reikšmės skaičiuojamos pagal formules plotis plotis plotis Amplitudė Dažnio reikšmių indeksai Spektro Tankis (Spectrum Density)

10. Šios atkarpos vadinamos dažnių juostomis. Dažnių ašis dalinama atkarpomis. Kiekvienos atkarpos vidurį atitinka bazinės funkcijos dažnis. Nagrinėjamas signalas užima 2/N dažnių juostą. Spektro Tankis Šios lygtys parodo skirtumą tarp vienos ir kitos srities, tačiau nepasako kodėl jos skiriasi Kiekvienai bazinės funkcijos galios reikšmei tenka visos dažnių juostos: Skirtumas atsiranda, nes dažnio sritis apibrėžiama kaip spektro tankis. plotis plotis plotis Spektro tankis pasako kiek signalo (amplitudės) tenka atskirai dažnio juostai Amplitudė Skaičiuojant Spektro tankį reikia bazinės funkcijos amplitudę dalinti iš ją atitinkančios dažnių juostos Dažnio reikšmių indeksai Spektro Tankis

11. Spektro Tankis Spektras Re() Re() Amplitudė Amplitudė Dažnio reikšmių indeksai Dažnio reikšmių indeksai Spektro Tankis Spektras Im() Im() Amplitudė Amplitudė Dažnio reikšmių indeksai Dažnio reikšmių indeksai Spektro Tankis

12. Atvirkštinė Furjė Transformacija Spektras Uždavinys: iš dažnių srities grįžti į laiko sritį (sintezės uždavinys) Sintezės lygtis: x[i] sintezuojamas signalas, kur i reikšmių skaičius i= 0…N-1.

13. Spektras Spektras Polinėse Koordinatėse Spektras gali būti vaizduojamas tiek stačiakampėje koordinačių sistemoje, tiek Polinėjė koordinačiųs sistemoje Polinėje koordinačių sistemoje spektro Realiosios (kosinusų) ir Menamosios (sinusų) dalies amplitudžių reikšmės vaizduojamos viena reikšme. Kaip tai įmanoma, dviejų skirtingų funkcijų su skirtingas amplitudes pavaizduoti vienu skaičiumi? Matome, sudėjus to paties dažnio sinuso ir kosinuso funkcijas, gaunama viena M amplitudės ir  fazės to paties dažnio kosinuso funkcija. Vadinasi, kiekvieną realiosios ir menamosios dalies reikšmių porą galime pavaizduoti dviejų reikšmių: M – amplitudės ir  – fazės pora.

14. Spektras Polinėse koordinatėse Spektras Spektras tankis Stačiakampėse koordinatėse Spektro tankis polinėse koordinatėse dažnis dažnis Fazinis spektras dažnis dažnis

15. Spektras Polinėse koordinatėse. Pastabos Šiuo atveju tenka nuspęsti fazės reikšmė lygi ar Fazinio spektro skaičiavimo klaidos Tarkim: tada Nors turėtų būti: Tarkim: Klaida įvyksta dėl neigiamos realiosios dalies. Norint išvengti klaidų, reikia tikrinti realiosios ir menamos dalių ženklus. Jei Re(x) < 0 ir Im(x) < 0, tai Jei Re(x) < 0 ir Im(x) > 0, tai Jei matote, kad fazinio spektro reikšmės kinta tarp ir , tai pamiršote atlikti fazės korekciją Spektras Dalyba iš nulio tada

16. Spektras Spektras Polinėse Koordinatėse X() Fazinis spektras esant l. MažomsRe(x) ir Im(x) amplitudėms. dažnis dažnis Jei tam tikroje dažnių juostoje spektro reikšmės mažos, tai šioje juostoje į fazinio spektro dažniausiai galima nekreipti dėmesio. Jei spektro reikšmės “paskendusios” triukšme, tai fazinio spektro reikšmės bus nuo  iki –, O pats fazinis spektras bus panašus į atsitiktinį signalą.

17. Spektras Fazinio spektro trūkio taškai ties 2 ir - 2. Spektras Polinėse Koordinatėse Fazinio spektro dviprasmiškumas taške 2 Fazinio spektro tiesinimas Neištiesinta ir Ištiesintas fazinis spektras Trūkio taškai atsiranda, nes sinuso ir kosinuso funkcijų periodas yra lygus 2:. Fazinį spektrą patogiau interpretuoti kai nėra trūkio taškų. dažnis Ištiesinto fazinio spektro reikšmės viršija  reikšmę. Atliekant fazinio spektro tiesinimą, prie paskaičiuotos Reikšmės pridedama arba atimama 2 . dažnis

18. X() Im() Re() Jei spektro menamos dalies reikšmės lygios nuliui, tai spektras polinėse koordinatėse turi trūkio taškus. Fazinio spektro dviprasmiškumas taške  Jei spektro Re() dalie reikšmės svyruoja apie nulį, tai X() reikšmės lieka Teigiamos, o fazinio spektro reikšmės “šokinėja” tarp  ir -, nes: dažnis dažnis fazė dažnis dažnis Spektras