ЭКОНОМЕТРИКА

1. ЭКОНОМЕТРИКА Лекция 10 Тестирование модели на гомоскедастичность остатков Взвешенный метод наименьших квадратов

2. X1 X2 X3 X4 X5 Гетероскедостичность и ее последствия Y Y = a0+a1X b1 X Наличие случайного возмущения приводит к размытости значенийYнезависимо отX. Для случайного возмущения предполагается выполнение ряда требований: условий теоремы Гаусса-Маркова.

3. X1 X2 X3 X4 X5 Гетероскедостичность и ее последствия Y Y = a0+a1X b1 X Распределение uдля каждого наблюдения имеет нормальное распределение и нулевое ожидание, но дисперсия распределений различна.

4. Гетероскедостичность и ее последствия Условия обеспечивающие гомоскедастичность(однородность) случайных возмущений: 1. Средние значения случайных возмущений в каждом наблюдении равно нулю 2. Распределения одинаковы для всех наблюдений

5. Гетероскедостичность и ее последствия Последствия нарушения условия гомоскедастичности случайных возмущений: 1. Потеря эффективности оценок коэффициентов регрессии, т.е. можно найти другие, отличные от МНК и более эффективные оценки 2. Смещенность стандартных ошибок коэффициентов в связи с некорректностью процедур их оценки

6. Тест Голдфелда-Квандта Данный тест предназначен для того, чтобы проверить гипотезу об отсутствии гетероскедастичности случайных возмущений в схеме Гаусса-Маркова 1. Случай уравнения парной регрессии Имеем спецификацию модели в виде: Yt=a0 + a1xt+ut Имеем выборку в объеме n наблюдений за переменными Ytи xtдля оценки параметров этой модели Задача: проверить гипотезу об отсутствии гетероскедастичности в полученной модели

7. Тест Голдфелда-Квандта В основе теста лежат два предположения: 1. Случайные возмущения подчиняются нормальному закону распределения 2. Стандартные ошибки случайных возмущений σ(ut) пропорциональны значениям регрессора xt.

8. Алгоритм применения теста Голдфелда-Квандта Шаг 1. Имеющаяся выборка из n наблюдений сортируется по возрастанию значений регрессора х Шаг 2. Полученная в результате сортировки выборка делится на три примерно равные части Шаг 3. Для первой и третьей частей выборки строятся модели парной регрессии, т.е. для них вычисляются оценки параметров a0 и a1 В результате получаются две модели парной регрессии (для каждой части общей выборки): Y1=ã01 + ã11x +u1(10.1) Y3=ã03 + ã13x +u3(10.2) Исходя из принятых допущений, считается, что, если ошибки случайных возмущений в «первой» и «третьей» частях выборки будут равны, то условие гомоскедостичностивыполняется

9. Алгоритм применения теста Голдфелда-Квандта Шаг 4. Для уравнений (10.1) и (10.2) вычисляются значения ESS1и ESS3. Где ESS=Σ(ui2)=Σ(yi-ã0-ã1xi)2 Шаг 5. Проверяется гипотеза о равенстве σu1и σu3 5.1.Формируется случайная переменная GQв виде: В схеме Гаусса-Маркова переменная GQ имеет закон распределения Фишера.

10. Алгоритм применения теста Голдфелда-Квандта 5.2. Вычисленное значение GQ сравнивается с критическим значением Fкр(Pдов,n1,n3): Если GQ ≤ Fкр(Pдов,n1,n3) и 1/GQ ≤ Fкр(Pдов,n1,n3), то гипотеза о гомоскедастичности случайных возмущений принимается Случай уравнения множественной регрессии. Yt=a0+a1x1t+a2x2t+a3x3t+ut Сортировка проводится по величине р=|x1|+|x2|+|x3| Если интерес представляет конкретный регрессор, который приводит к гетероскедастичности, алгоритм повторяется для каждого регрессора в отдельности В результате обнаруживается регрессор вызывающий гетероскедастичность

11. Алгоритм применения теста Голдфелда-Квандта Государственные расходы на образование в различных странах Применение ф-ии «ЛИНЕЙН» Fкр=3.0 Модель гетероскедастична Модель: (по всей выборке) Y=-2.32 + 0.067X (10.4)

12. Алгоритм применения теста Голдфелда-Квандта Случай уравнения множественной регрессии Имеем: • Спецификацию модели: Yt=a0+a1x1t+a2x2t+a3x3t+ut(10.5) 2. Выборку наблюдений за переменными {Y,x1,x2,x3} 3. Модель по этим данным гетероскедастична 4. Известны значения σ(ut)в каждом наблюдении Задача: преобразовать модель так, чтобы случайные возмущения были гомоскедастичны

13. Метод исправления гетероскедастичности Способ 1. Делится каждое уравнение наблюдений на свое σ(ut) и получается: (10.6) Тогда дисперсия случайного возмущения в каждом уравнении наблюдений есть: Модель (10.6) в каждом уравнении наблюдения имеет одинаковые дисперсии случайного возмущения равные 1 Недостаток способа – оценить σ(ut) не возможно!

14. Метод исправления гетероскедастичности Способ 2. Предполагаем, что σ(ut)=λxkt, где xkt регрессор «вызывающий» гетероскедастичность Пусть для примера это регрессор x2t Уравнение (10.5) делится на значение этого регрессора. (10.7) Дисперсия случайного возмущения при этом есть: Уравнения модели (10.7) имеют постоянную дисперсию случайного возмущения равнуюλ2

15. Метод исправления гетероскедастичности Если регрессоров, приводящих к гетероскедастичности,несколько, то делается предположение: Обе части модели (10.5) делятся на величину Σ│xj│ Тогда дисперсия случайного возмущения полученной модели есть:

16. Метод исправления гетероскедастичности Относительные расходы на образование в различных странах Применение ф-ии «ЛИНЕЙН» Fкр=3.0 Модель: Y=-0.066 + 0.053X (10.5)

17. Метод исправления гетероскедастичности Диаграмма рассеяния и графики моделей с гетероскедастичными и гомоскедастичными случайными возмущениями. (10.4) (10.5)

18. Метод исправления гетероскедастичности 2. Случай уравнения множественной регрессии Продолжим рассмотрение предыдущего примера, но в качестве дополнительного регрессора примем х2 – численность населения Здесь: Y – расходы на образование x1- размер ВВП x2- численность населения

19. Метод исправления гетероскедастичности Исходные данные для построения модели

20. Взвешенный метод наименьших квадратов Предполагается, что дисперсию случайного возмущения можно представить в виде: где: σ02 – дисперсия единицы веса λ – заданная константа, например ±0.5; ±1; ±2; Вес случайного остатка вычисляется по правилу:

21. Взвешенный метод наименьших квадратов Рассмотренные способы устранения гетероскедастичности носят название «Взвешенный метод наименьших квадратов». Теорема. Если в схеме Гаусса-Маркова не выполняется предпосылка о гомоскедастичности случайных возмущений, то наилучшей линейной процедурой оценки параметров модели является: где: Р матрица ковариаций случайных возмущений в уравнения наблюдений:

22. Проблема гетероскедастичности Выводы: 1. Гетероскедастичность приводит к смещенности оценок параметров модели 2. Одним из способов обнаружения гетероскедастичности является тест Голдфелда-Квандта 3. Взвешенный метод наименьших квадратов позволяет получить несмещенные оценки параметров модели в условиях гетероскедастичности