Комбинаторные алгоритмы

1. Комбинаторные алгоритмы Локальный поиск

2. Простейшая задача o размещениях • Дано:Полный графG= (F ⋃ D,E), стоимости вершин f: F→ Q+ и реберc: E→ Q+ такие, что для любых трех вершин i, j, k F ⋃ D выполненоci,kci,j+ cj,k. • Найтимножество H F и назначение : D→ H такое, что общая стоимость открытых предприятий и стоимость назначения минимальна.

3. Как назначать клиентов • F– множество предприятий • D–множество клиентов • Если множество открытых предприятий H задано, тооптимальным будет назначить каждого клиента к ближайшему предприятию.

4. ОкрестностьN(H) H,H: • Открыть новое предприятие H := H⋃{i}, iF \ H, • Закрыть одно предприятие H := H \ {i}, iH. • Открыть одно новое предприятие и закрыть одно старое предприятие H := H⋃{i}\ {j}, iF \ H,j H. В каждом из трех случаев перераспределить клиентов к ближайшим предприятиям.

5. Алгоритмлокального поиска Input (G,f: F→ Q+ , c: E→ Q+) • Выбрать произвольноетекущее решение H. • While существует решение H′N(H)такое, что XH + YH > XH′ + YH′doH:=H′. Output(H,H)

6. Идея анализа • Алгоритмлокального поисканаходит локальный оптимум в окрестности N(H). • Оценим как сильно произвольный локальный оптимум в окрестности N(H) может отличаться от глобального.

7. Оценка на стоимость назначения Лемма5.1 Рассмотрим произвольный локальный оптимум Hи H. Тогда YH ≤ X* + Y* = OPT. .

8. Доказательство леммы 5.1(1) Сравним решение H c некоторым оптимальным решением H*. • i*  H*− H. Добавим i* к H и переназначим всех клиентов таких, что *(j) =i*к предприятию i*. Так как H− локальный оптимум, то стоимость нового решения должна быть больше чем стоимость решения H,H .

9. Доказательство леммы 5.1(2) • i*  H* ∩H.Поскольку в решении Hкаждыйклиент назначен к ближайшему предприятию, то • Суммируя по всем предприятиям в оптимальном решении получим

10. Переназначение клиента j к предприятию i′ = γ(*(j)) при закрытии предприятия i. H i=φ(j) i′=γ(φ*(j)) γ H* i*=φ*(j) j

11. Стоимость переназначения Лемма5.2 Рассмотрим произвольного клиента j,для которого φ(j) = i, и i ≠ i′ = γ(φ*(j)). Тогда стоимость переназначения клиента j от предприятия iк предприятию i′ не превышает 2cj,φ*(j).

12. Доказательство леммы 5.2 H i=φ(j) i′=γ(φ*(j)) γ H* i*=φ*(j) j

13. Оценка на стоимость предприятий Лемма5.3 Рассмотрим произвольный локальный оптимум Hи H. Тогда XH ≤ X* + 2Y*. .

14. Доказательство леммы 5.3(1) Сравним решение H c некоторым оптимальным решением H*. • Предположим, что мы хотим закрыть предприятие i H. Тогда каждый клиент j, обслуживавшийся в iдолжен быть назначен к другому предприятию в H−{i}. • Назовем предприятиеiбезопасным, если для любого предприятия i* H*предприятие γ(i*) ближайшее к i* в H не совпадает с i. • Тогда при закрытии предприятия i, каждого его клиента j можно переназначить к предприятию γ(φ*(j)), а стоимость переназначения по лемме 5.2 оценить величиной 2cj,φ*(j).

15. Оценка на стоимость безопасных предприятий • Так как H− локальный оптимум, то стоимость нового решения при закрытии предприятия должна быть больше чем стоимость решения H,H .

16. Опасные предприятия • Пусть i H− опасное предприятие. • Существует R= {i*H*|γ(i*) = i}, R ≠ . • Пусть i′ − ближайшее к iв R. • Рассмотрим решения в окрестности N(H), возникающие при • добавлении к H предприятия i* R −{i′} • замене предприятия iна предприятие i′.

17. Опасные предприятия H i = i′ H* i i′ − опасные предприятия Каждое предприятие из H* попадает ровно в одно множество R.

18. Добавление к H предприятия i* R −{i′} • Добавим к H предприятиеi* и назначим всех клиентовj таких, что (j) =iи *(j) =i*к предприятию i*. • Так как H − локальный оптимум, то стоимость нового решения должна быть больше чем стоимость решения H,H .

19. Замена предприятия iна предприятие i′. • Заменим предприятие iна предприятие i′. Переназначим клиентов j таких, что (j) =iи • *(j)  Rна предприятие γ(*(j)), • *(j)  Rна предприятие i′.

20. Замена iна i′. H* R H i i′

21. Оценка стоимости замены iна i′ • Заменим предприятие iна предприятие i′: fi′−fi. • Переназначим клиентов j таких, что (j) =iи • *(j)  Rна предприятие γ(*(j)): Лемма 5.2  ≤ 2cj,φ*(j). • *(j)  Rна предприятие i′: =cji′−cji. Суммируя по всем клиентам и учитывая, что стоимость нового решения должна быть больше чем стоимость решения H,H, получим:

22. Оценка на стоимость опасного предприятия

23. Упрощение • φ(j)=i & φ*(j)=i′: cji′−cji≤ 2cji′ = 2cjφ*(j). • φ(j)=i & φ*(j) R− {i′}: cji′ +cjφ*(j) −2cji ≤cii′ +cjφ*(j) −cji≤ ciφ*(j)+cjφ*(j) −cji≤2cjφ*(j).

24. Доказательство леммы 5.3(2) • Безопасное предприятиеi: • Опасное предприятиеi:

25. Оценка на локальный оптимум • Теорема5.4 Рассмотрим произвольный локальный оптимум Hи H. ТогдаXH+YH≤ 3OPT. • Доказательство. • YH ≤ X* + Y* (Лемма 5.1) • XH ≤ X* + 2Y*(Лемма 5.3) • XH + YH ≤ 2X* + 3Y*≤ 3OPT.

26. Практика • Оценить трудоемкость алгоритма локального поиска. Является ли алгоритм локального поиска полиномиальным? • Рассмотрим следующий алгоритм. Input (G,f: F→ Q+ , c: E→ Q+) • Увеличить стоимость каждого предприятия в 2 раза, то есть положить fnew:= 2fiдля всех i F. • Решить пример с новыми стоимостями алгоритмом локального спуска. Output(H,H) • Оценить стоимость полученного решения.