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从二次剩余到 k 次剩余的密码体制

曹珍富 上海交通大学计算机系 上海交通大学可信任数字技术实验室 http://tdt.sjtu.edu.cn. 从二次剩余到 k 次剩余的密码体制. 本报告内容来自我和合作者最近完成的两篇论文. Zhenfu Cao; Xiaolei Dong; Licheng Wang; Jun Shao ; Xiaodong Lin. " A Unified Goldwasser-Micali Type Cryptosytem ”.

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从二次剩余到 k 次剩余的密码体制

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Presentation Transcript

  1. 曹珍富 上海交通大学计算机系 上海交通大学可信任数字技术实验室 http://tdt.sjtu.edu.cn 从二次剩余到k次剩余的密码体制 本报告内容来自我和合作者最近完成的两篇论文

  2. Zhenfu Cao; Xiaolei Dong; Licheng Wang; Jun Shao ; Xiaodong Lin. "A Unified Goldwasser-Micali Type Cryptosytem”. Zhenfu Cao; Xiaolei Dong; Licheng Wang; Jun Shao; Xiaodong Lin. "More Efficient Cryptosystems From k-th Power Residue Symbols”.

  3. 开始于两三年前，一种全新的密码理论体系将得到研究。开始于两三年前，一种全新的密码理论体系将得到研究。 开始于十几年前，多方密码学解决了云计算安全和隐私的基础问题： • 想法很简单： 做一个应用需求 的理论实践者。

  4. 提纲 • 星光闪耀 • 历史回顾 • 最新进展 • 总结

  5. 星光闪耀 • CNET\NEWS 2013年3月13日报道 Cryptography scientists win 2012 Turing Award • 获得ACM 图灵奖的主要工作 • Probabilistic Encryption 概率加密 • Interactive Proof Systems 交互证明系统

  6. 星光闪耀 • CNET\NEWS 2013年3月13日报道 Cryptography scientists win 2012 Turing Award • ACM 图灵奖颁奖词部分摘录 • 开创了可证明安全性的领域 • 建立了将密码学从艺术变为科学的数学结构

  7. 历史回顾 • 1982 STOC：第一个公钥概率加密体制 • 密钥生成：N=pq, y ∈R JN\QRN pk=(n,y), sk=(p,q) • 加密：m=(m0m1…mk-1)2, x ∈R ZN ci = ym_ix2 mod N • 解密：mi=0 if (ci/p)=1, mi=1 if (ci/p)=-1 • 安全性：IND-CPA, 标准模型 基于QR假设：不知p,q，判断JN中二次剩余困难 Game G0: 原方案 Game G1: y ∈R QRN, 密文已不含m任何信息

  8. 历史回顾 • 1982 STOC：第一个公钥概率加密体制 • 密钥生成：N=pq, y ∈R JN\QRN pk=(n,y), sk=(p,q) • 加密：m=(m0m1…mk-1)2, x ∈R ZN ci = ym_ix2 mod N • 解密：mi=0 if (ci/p)=1, mi=1 if (ci/p)=-1 • 特性：加密、解密高效（尽管逐比特） 支持加法同态（仅对消息空间大小为2有意义） 密文长度：k·log N 密文扩展因子：log N

  9. 历史回顾 • 1984 CRYPTO：Blum & Goldwasser • 密钥生成： • N=pq， p=q=7 (mod 8)， 公钥N，私钥p，q • 加密：借助一个强随机比特串发生器G • c1=m⊕G(r), c2=r2^(h+1) mod N, • 其中r ∈R QRN，h仅由N和m的长度决定（公开） • 解密： • 利用p，q，根据CRT，由c2解出r • 再计算G(r) 并由c1解出m • 特点： • 密文长度小：k+log N • 不再支持加法同态

  10. 历史回顾 • 第一种改进框架：仅在剩余次数上下功夫！ • 加密消息m，基于模N的k次剩余符号 c=ymxk mod N, (x, N)=1 (1) 其中y是模N的k次非剩余。 • 解密：解特殊形式的离散对数问题 c φ(N)/k =(ymxk ) φ(N)/k =[y φ(N)/k ]m mod p (2) • 改进着眼点：如何使(2)式易求（知道p）？ • k = 2时，即为GM方案，(2)式易求。 • k 决定消息空间的大小

  11. 历史回顾 • 1985 FOCS：J. Cohen & M. Fischer • 可验证的鲁棒电子选举方案 • 基于 k 次剩余： • k为素数、且大于投票人数 • k整除p-1、但不整除q-1 • 解密：在[0,k)空间内搜索 • 但本质上仍然只是加密0或1（代表有效选票），然而利用增大的消息空间[0,k)和加法同态性质可以实现选票计数。

  12. 历史回顾 • 1988 IEICE, Y. Zheng, T. Matsumoto, H. Imai • 基于奇数次剩余 • 加密：逐块加密，每块不超过剩余次数 k • 解密：逐块解，每块随机反复试——直到成功 • 缺点：剩余次数 k 不能太大 • 定义了剩余类指数(Class-index)问题 • Class-index比较问题——相当于判定两个随机元素是否具有相同的广义Jacobi符号。 • Class-index计算问题——相当于求给定某个元素的广义Jacobi符号。

  13. 历史回顾 • 1988~1990：曹珍富 • 基于三次剩余，定义在Eisenstein环上 （88年全国“三码”会议论文集，178-186页） • 基于k次剩余，将GM的不可区分性概念推广到k不可区分性，并提出长消息处理机制 （自然杂志’89，通信学报’90) （详见本人：《公钥密码学》，1993）

  14. 历史回顾 • 1990 EUROCRYPT：K. Kurosawa, et al. • 推广Y. Zheng等人的工作： k >1 • 对 k 次剩余密码系统可行的参数选择条件进行了讨论，给出了6组条件。 • 局限：解密时的搜索空间大小为 k， 实际应用中 k 不能太大。

  15. 历史回顾 • 1994 STOC： J. Benaloh & D. Tuinstra • 免收据的密码电子投票协议（旨在克服“贿选”问题——投票者V无法向候选人C证明V投了C的票） • 基于 k 次剩余：k 整除p-1， 但k2不整除p-1，且 k 不整除q-1 • 消息空间：[0,k) • 解密效率低下：搜索空间[0,k) • 存在解密二义性：AfricaCrypt’11, L. Fousse et al.

  16. 历史回顾 • 1998 CCS：D. Naccache & J. Stern • 基于 ∏pi次剩余, pi为小素数 • 支持长消息：消息空间大小—— ∏pi • 能高效解密：搜索空间大小——∑pi • 评价：迈出了一大步！消息空间大小随搜索空间大小呈指数增长！

  17. 历史回顾 • 第二种改进框架：改动剩余次数和模数(使指数问题线性化)！ • 加密消息m，基于模N的k次剩余符号 c=ymxk mod N (1’) • 解密：解特殊形式的离散对数问题 c φ(N’)/k =(ymxk ) φ(N’)/k =[y φ(N’)/k ]m mod N’ (2’) 或 ct =(ymxk )t =[yt ]m mod N’ (2’) • 改进着眼点：构造特殊子群，使(2’)式易求m（知道N的分解）。

  18. 历史回顾 • 1998 EUROCRYPT：T. Okamoto & S. Uchiyama • N=p2q， N’=p2, k=N • 解密原理: cp-1= [yp-1]m = gm mod p2 • 着眼点： • 子群 Γ={g∈(Z/p2Z)*: <g>p=1}中模p2的离散对数易求 • 方案特点： • 加解密高效、消息空间巨大、支持加法同态 • 密文长度：log N • 密文扩展因子：3

  19. 历史回顾 • 1999 EUROCRYPT：Paillier • N=N’=p2q2, k=√N=pq • 解密原理：cφ(N)/k=[yφ(N)/ k]m =gm mod N （优化：φ(N)/k可被λ(k)=lcm(p-1,q-1)代替） • 着眼点 • 子群 S={g<N: <g>k=1}中模 N的离散对数易求 • 方案特点： • 加解密高效、消息空间巨大、支持加法同态 • 密文长度： log N • 密文扩展因子：2

  20. 最新进展 • 2013 EUROCRYPT：M. Joye & B. Libert • N=pq, k=2t ，y为满足(y/N)=1的二次非剩余 • 指数级增长的消息空间 • 快速解密 • 支持加法同态 • 密文长度：log N • 密文扩展因子：≥ 4 • 融合了两种改进框架！离散对数易解的特殊子群为由(y/p)k生成的k阶子群。

  21. 最新进展 • 我们最近的改进：Cryptology ePrint Archive: Report 2013/569 • N=pq, k 只要求仅含小素数因子 • 指数级增长的消息空间 • 支持加法同态 • 密文长度：log N • 密文扩展因子：方案1 ≈ 4， 方案2 ≈ 2 • 快速解密：比 JL13 快2~10倍 • 也融合了两种改进框架，离散对数易解的特殊子群也是由(y/p)k生成的k阶子群，但y的选取更自由：只要(1) ordp(y)= ordq(y)= k 或 (2) y为p的原根即可！

  22. 固定k=βα≈2128，解密时间随β的变化趋势

  23. 固定k=βα≈2128，解密时间随α的变化趋势

  24. 总结一 • 保持加法同态途径： • 消息空间提升到指数上，{ gm : g 符合特定的条件 } • 高效解密途径： • 利用高次剩余符号滤掉随机项 • 构造离散对数易解子群 • 降低带宽、减少密文扩展的途径： • 在确保安全级别条件下，尽量不增大模数 • 在相同消息空间里编码更多消息 • 提升比值 k/φ(N) • 以线性增长搜索空间换取指数增长消息空间

  25. 总结二 • 当k为偶数时，强剩余假设与标准剩余假设之间的GAP有多大？ • 强剩余问题：给定x∈(Z/NZ)*, 判定x是否为模N的k次剩余。 • 解决强剩余问题 在eO((lnln N)(lnlnln N)^2)内分解N (Adleman & McDonnell, FOCS’1982) • 标准剩余问题：当k为偶数时，给定x∈JN,k(即广义Jacobi符号为1的集合），判断x是否为模N的k次剩余。

  26. 总结三 • Cocks基于二次剩余符号的IBE可否推广到高次剩余符号？ • 非常奇怪： Cocks 的IBE还没做到，但是有些特殊用途的IBE和ABE却能做到。

  27. 谢谢！

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