第 5 章 不定积分

1. 第 5 章不定积分 知识点 • 定义 • 性质 • 换元 • 分部 难点 • 换元积分法 • 分部积分法

2. 要求 • 掌握 不定积分的性质 积分基本公式 换元积分法 分部积分法 • 理解 原函数 不定积分概念

3. 5.1 原函数 定义1设 是定义在某区间上的已知函数如 果存在一个函数 ，对于该区间上每一点都 满足： ，则称函数 是已知函数 在该区间上的一个原函数。 5.2 不定积分的概念 定义2 函数 的所有原函数，称为 的不定 积分，记作：

4. 例 求函数 的不定积分 解 因为 即 是被积函数 的一个原函数，所以 5.3 基本积分公式 公式见教材

5. 5.4 不定积分的性质 性质1不定积分的导数等于被积函数（或不定 积分的微分等于被积表达式），即 或 。 性质2一个函数的导数的不定积分等于这个函 数加上任意一个常数（或一个函数的微分的不定积 分等于这个函数加上任意一个常数），即 或 性质3非零常数因子，可以移到积分号之前，即 （k为非零常数）

6. 证 明因为 恰好是 左端的被积函数，从而可知 是 的 不定积分。 性质4两个函数代数和的不定积分，等于这 两个函数不定积分的代数和。即 这个公式可以推广到任意有限多个函数的 代数和的情形。

7. 5.5 不定积分的计算方法5.5.1 直接积分 例 求 解 =

8. 例 求 解 例 求 解 例 求 解 =

9. 5.5.2 换元积分法 1 第一类换元法（凑微分法） 如果要求的积分具有以下特征： 或 就设 于是上式变为： 例 求 解 令 ，则

10. 例 求 解 例 求 解 =

11. 例 求 解 2 第二类换元法 例 求 解 此题按第一类换元法（凑微分）已无法解决，需要用其它方法。

12. 设 ，即 ， 代入原式得： 还原 ， 原式＝

13. 例 求 解 设 则 = = 见图5.1所示 注意 被积函数中有 时,应设x=asint;有 时，应设x=atant；有 时，应设x=asect。

14. 分部积分法 例 求 解 令 ， ，则 ，

15. 例 求 解 = =

16. 小 结 1.原函数和不定积分概念 若是定义在某各区间上的函数。如果存 在一个函数 使得对于区间上每一点都有 或 ，则 被称为 在该区 间上的一个原函数， 的不定积分即为其全部原 函数记作： 2.性质 求不定积分是求导的逆运算，因此可由基本 求导公式导出常用的求积分公式。 函数和的积分等于各自积分的和。常数可以 移到积分号外面。

17. 3.要牢固掌握积分换元法 1）设 则 其中 可导， 连续。 2）设 可导， 连续，则 4.分部积分法 或