De la distribution empirique à

1. De la distribution empirique à La distribution théorique

2. 1 - Les formes de distribution

3. La distribution symétrique Mode = Médiane =Moyenne arithmétique

4. Distribution asymétrique positive Mode < Médiane < Moyenne arithmétique

5. Distribution asymétrique négative Mode > Médiane > Moyenne arithmétique

6. Coefficient de dissymétrie de Pearson Le coefficient de Pearson a pour rôle de fournir une certaine mesure du degré de dissymétrie d’une distribution. Pour une courbe symétrique, ce coefficient est nul. Il est positifsi la distribution est étalée vers la droite Il est négatifsi elle est étalée vers la gauche.

7. Les formules sont les suivantes:

8. Application Calculez et interprétez le coefficient de dissymétrie de Pearson pour les données suivantes:

9. 2 - Variable centrée réduite Une variable centrée réduite est une variable dont la moyenne est égale à zéro et l’écart type est égal à un. La réduction d’une variable à une variable centrée réduite (cote Z ) se calcule toujours de la façon suivante :

11. Application

12. Que vaut X ( la moyenne de X=100 et son écart type=10 ) si: • Z = -3 • Z = -2 • Z = -1 • Z = 0 • Z = 1 • Z = 2 • Z = 3

13. 3 - Fonction de densité et lissage des ogivesSupposons l’histogramme suivant :

14. En augmentant le nombre de classes, on obtient les histogrammes suivants

15. En continuant d’augmenter le nombre de classes, on disposera d’un polygone dont l’enveloppe extérieure se rapprochera de plus en plus d’une courbe. Avec des données suffisamment nombreuses, on tendra de fait dans le cas présent vers une courbe symétrique en forme de cloche.

16. Si on plaçait sur l’ordonnée les fréquences relatives divisées par l’amplitude de la classe,chaque surface de rectangle vaudrait la fréquence relative. En effet, la surface de chaque rectangle serait égale dans ce cas : (fréquence relative/amplitude)*amplitude= fréquence relative Comme la somme des fréquences relatives est égale à un, la somme des rectangles sera égale à un En augmentant le nombre de classes, la somme des rectangles continuera de valoir un. Finalement, la surface sous l’ogive enveloppe vaudra un.

17. 4 -La distribution normale La distribution est symétrique: le mode, la médiane et la moyenne y sont identiques. La distribution est unimodale. Graphiquement, la distribution normale se présente sous la forme d’une cloche répartie autour de la moyenne. L’équation de la courbe normale se définit:

18. La carte de visite d’une distribution normale N( moyenne, écart type ) N(100, 10) N(100, 15)

19. Distribution normale centrée réduite N(0, 1)

20. La lecture de la table d’une distribution normale centrée et réduite La table donne toujours et seulement l’aire sous la courbe entre 0 et une valeur Z positiveprécise. Pour les cotes Z négatives, on procède par symétrie. À droite d’une cote Z de +4 ou à gauche d’une cote de Z de –4, l’aire sous la courbe est négligeable; l’ajout d’aire est donc minime. La tabulationse présente généralement sous deux formes:

21. P (N (0,1) >Z ) en fonction de Z

22. P (N (0,1) >Z ) en fonction de Z

23. Exemple : Pour déterminer l’aire entre une cote Z de 0 et une cote de 1,96, il faut trouver 1,9 dans la colonne de gauche et 0,06 sur la ligne du haut. À l’intersection de la ligne et de la colonne, on trouve 0,025 comme aire. Cela signifie qu’il y a une proportion de ( 0,50 –0,025 = 0,4750 ) des données qui ont des cotes Z se situant entre 0 et 1,96. P(0<Z<1,96)=0,4750

24. P (N (0,1 ) >.50 et < Z ) en fonction de Z

25. P (N (0,1 ) >.50 et < Z ) en fonction de Z

26. Exemple : Pour déterminer l’aire entre une cote Z de 0 et une cote de 1,96, il faut trouver 1,9 dans la colonne de gauche et 0,06 sur la ligne du haut. À l’intersection de la ligne et de la colonne, on trouve 0,4750 comme aire. Cela signifie qu’il y a une proportion de 0,4750 des données qui ont des cotes Z se situant entre 0 et 1,96.  : P(0<Z<1,96)=0,4750

27. Exercice Soit Z la variable normale centrée réduite. Calculer Pr(Z>1,64) Pr(Z<-1,64)     Pr(1,0<Z<1,5)     Pr(-1,0<Z<2)      Pr(-2.57<Z<2.2.57)    Pr(0<Z<1.96)      Pr(-1.96<Z<1,96) 1 - Servez- vous d’abord des deux tables à votre disposition 2 – Utilisez ensuite Excel pour consulter pour obtenir vos réponses.

28. Procédure Excel Fx; Statistiques; Loi .Normale.standard

29. Pour P ( -2 > = Z ) , on aurait pu calculer comme suit en Excel : = LOI .NORMALE.STANDARD(-2) ou encore = 1- LOI .NORMALE.STANDARD(2) Pour P ( Z >= 2), on aurait pu calculer comme suit : = LOI .NORMALE.STANDARD(-2) ou encore = 1- LOI .NORMALE.STANDARD(2) Pour P (-2 > = Z ) et P (Z > = 2), on aurait pu calculer comme suit : = 2*LOI .NORMALE.STANDARD(-2)

30. N (μ ,σ ) Transformation Z N (0, 1 ) μ (μ – μ)/ σ 0 μ + σ ((μ + σ)- μ )/ σ (0+1) =1 μ +2σ ((μ + 2σ)- μ )/ σ (0+2)=2 μ +3σ ((μ + 3σ)- μ )/ σ (0+3)=2 μ - σ ((μ - σ)- μ )/ σ (0-1) =1 μ -2σ ((μ - 2σ)- μ )/ σ (0-2)=2 μ -3σ ((μ - 3σ)- μ )/ σ (0-3)=2 Lecture d’une table normale quelconque à partir de la normale centrée réduite N (0, 1 )

31. N (μ ,σ ) N (0, 1 ) Lecture de Pr (X) à partir de Pr (Z) X = N(μ, σ)Z= N (0,1) Pr(X<=μ) = Pr( Z<=0) Pr(X<= (μ + σ))= Pr(Z <=1) Pr(X<= (μ +2σ))= Pr(Z<=2) Pr(X<= (μ +3σ))= Pr(Z<=3) Pr(X<= (μ -σ))= Pr(Z<=-1) Pr(X<= (μ -2σ))= Pr(Z<=-2) Pr(X<= (μ -3σ))= Pr(Z<= -3)

32. Retrouver X= N(100,10) à partir de Pr (Z=(N(0,1)) X= Z* σ + μ

33. Excel Lecture directe d’une table normale quelconque

34. Excel Lecture directe d’une table normale quelconque

35. Excel Lecture directe d’une table normale inverse quelconque

36. Application En vous servant des facilités que vous offre Excel, complétez les tableaux suivants ( Z désignant les valeurs centrées réduites de X )