Тема 5. Законы сохранения в нерелятивистской механике. Система материальных точек

1. Тема 5. Законы сохранения в нерелятивистской механике.Система материальных точек 5.1. Консервативные силы. Потенциальная энергия

2. Консервативными называют силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, а зависит лишь от его начального и конечного положений. y 1 2 x

3. h1 mg h h2 Рассмотрим работу силы тяжести на участке траектории от h1до h2 . Если считать силу тяжести постоянной и все время совпадающей по направлению с вектором перемещения, то: y A = mgּh = mghcosα =mgh. Но по модулю h =h1 – h2, т.е.A = mg(h1 - h2) = = - (mgh2 – mgh1)= - ΔU, x Таким образом, работа в данном случае определяется разностью начального и конечного значений некоторой функции, зависящей от высоты положения тела. Эта функция называется потенциальной энергией: U = mgh Работа же равна убыванию потенциальной энергии (этим объясняется знак минус): A = - Δ U

4. y 1 h1 h1 dr α l mg mg 2 h2 h2 x x Покажем, что сила тяжести является консервативной. Пусть тело перемещается под действием силы тяжести по двум разным траекториям, но начальные и конечные точки этих траекторий совпадают. y 2 1 dy α A = mglcosα = mg(h1 - h2) = = - (mgh2 - mgh1) = - ΔU U = mgh

5. Работа консервативной силы на замкнутой траектории равна нулю. Доказательство a 2 1 b • Работа консервативной силы A1a2 = A1b2 • 2. Работа на замкнутой траектории A = A1a2 + A2b1 ; • A2b1 = – A1b2 ; • А = A1a2 – A1b2 = 0.

6. Тема 5. Законы сохранения в нерелятивистской механике.Система материальных точек 5.2. Примеры консервативных сил

7. Силы электростатического взаимодействия Закон Кулона

8. F r1 r F1 dr F2 r2 Пусть заряд q перемещается под действием кулоновской силы из точки 1 в точку 2. Заряд Q закреплён. Q q 2 1 Определим работу, совершаемую силой Кулона при таком перемещении. Поскольку сила в этом случае изменяется с расстоянием между зарядами: то для определения работы необходимо просуммировать все элементарные работы на всей последовательности бесконечно малых перемещений (на каждом таком перемещении можно считать силу неизменной), т.е. провести интегрирование: Пределами интегрирования являются значения радиус-вектора rзаряда qв его начальном и конечном положениях.

9. F r1 r F1 dr F2 r2 Q q 2 1 Из результата интегрирования видно, что и в данном случае работа определяется убыванием некоторой функции, которую также назовём потенциальной энергией – электростатического взаимодействия: A = - Δ U

10. В случае разноимённых зарядов (силы притяжения): Используем аналогию для представления потенциальной энергии гравитационного притяжения:

11. Упругая сила - консервативна U x A = - Δ U

12. Тема 5. Законы сохранения в нерелятивистской механике.Система материальных точек 5.3. Сохранение механической энергии частицы в поле потенциальных сил

13. Для одной частицы в полепотенциальных сил Работа, определяемая убывание потенциальной энергии U, идёт на приращение кинетической энергии тела Т : т.е. откуда: Следовательно: Таким образом, механическая энергия частицы в поле потенциальных сил со временем не меняется: В поле сил тяжести у поверхности Земли:

14. Тема 5. Законы сохранения в нерелятивистской механике.Система материальных точек 5.4. Система материальных точек. Сохранение механической энергии и импульса системы частиц

15. F12 F21 Сохранение импульса замкнутой (изолированной) системы частиц Для двух частиц: 1 2 - 3-й закон Ньютона Таким образом, из фундаментального закона природы – закона сохранения импульса следует 3-й закон Ньютона: силы взаимодействия двух тел равны по величине и противоположны по направлению.

16. ri y Энергия системы: mk x mi - кинетическая энергия z Потенциальная энергия взаимодействия частиц: Rik Потенциальная энергия системы во внешнем поле:

17. ri y Закон сохранения механической энергии:полная механическая энергия системы тел, на которые действуют лишь консервативные силы, остается постоянной. mk Rik mi x z Для замкнутой системы тел, взаимодействующих консервативными силами: При действии неконсервативных сил (как внешних, так и внутренних):

18. Тема 5. Законы сохранения в нерелятивистской механике.Система материальных точек 5.5. Центр масс системы частиц. Скорость центра масс

19. Vc ri Rc r2 r1 с – центр масс. Его радиус-вектор: y mi с x z Скорость центра масс: Импульс система частиц: Т.е. суммарный импульс системы частиц равен её полной массе, умноженной на скорость центра масс системы.

20. 2r1 r1 r2 Центр масс системы из 2-х материальных точек y m1=2m с m2=m Т.е. положение центра масс совпадает с положением центра тяжести системы тел в поле сил тяжести. x

21. Тема 5. Законы сохранения в нерелятивистской механике.Система материальных точек 5.6. Уравнение движения центра масс системы частиц

22. Vc Rc внешние силы внутренние силы y с Ускорение центра масс: x z 0 так как: - по 3-му закону Ньютона

23. VC VC VC VC c c - уравнение движения центра масс системы частиц Следовательно, центр масс ведёт себя как материальная точка с массой, равной массе всей системы, на которую действуют внешние силы, т.е. силы со стороны тел, не принадлежащих данной системе. Для замкнутой (изолированной) системы частиц: Таким образом, что бы не происходило внутри замкнутой системы, её центр масс движется равномерно прямолинейно (или покоится).

24. - уравнение движения центра масс системы частиц Моделирование эксперимента: палка с лампочкой бросается под углом к горизонту. 1.Лампочка не в центре масс

25. 1. Лампочка не в центре масс

26. 2. Лампочка в центре масс

27. 2. Лампочка в центре масс

28. 2. Лампочка в центре масс

29. 1. Лампочка не в центре масс

30. Конец темы