求函数零点近似解的一种计算方法 ----- 二分法

1. 求函数零点近似解的一种计算方法-----二分法 北京市第15中学 潘启银 2010\12

2. 教学内容分析 • 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（B版）》的第二章2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法-----二分法．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，它体现了函数的思想以及函数与方程的联系。为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，为数学3中算法内容的学习做了铺垫。二分法体现了数学的逼近思想，对学生以后学习圆周的计算，球的面积体积公式的由来等微积分的知识起了奠基的作用。

3. 学生情况分析 • 学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.

4. 教学目标 • （1）知识与技能： • 1.体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤 。 • 2.会用二分法求方程的近似解，并能用计算机辅助求解。 • 3.会用二分法思想解决其他的实际问题。

5. 教学目标 • （2）过程与方法： • 1.通过对二分法原理的探索，引导学生用联系的观点理解函数与方程，形成用函数的观点处理问题的意识。 • 2.通过求具体方程近似解介绍二分法并总结其步骤，体现了从具体到一般的认知过程。 • 3.利用逼近求解，渗透从有限到无限的数学思想。

6. 教学目标 • （3）情感与态度： • 1.通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感。 • 2.在二分法步骤的探索、发现过程中，获得成功的体验，锻炼了克服困难的意志，建立学习数学的自信心。

7. 教学重点和难点 • 1．教学重点：渗透二分法思想；理解二分法的原理；掌握用二分法求给定方程近似解。 • 2．教学难点：二分法的原理；零点所在区间的判断；精确度的理解。

8. 教法选择和学法指导 • 情境教学法，发现法教学

9. 教学过程设计 • [情境引入] 中外历史上的方程求解： • 由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法．我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在《九章算术》，北宋数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》，南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载.在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果．1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N. H. Abel，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解．1828年，法国天才数学家伽罗瓦（E.Galois，1811-1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程．人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．

10. 教学过程设计 • [问题引入]问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？ • 想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？

11. 教学过程设计 • [学情预设] 学生独立思考，可能出现的以下解决方法： • 思路1：直接一个个电线杆去寻找． • 思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点．

12. 教学过程设计 • 老师从思路2入手，引导学生解决问题： • 如图，维修工人首先从中点C．查用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近

13. 教学过程设计 • 问题2： 假设电话线故障点大概在函数 的正实数零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？

14. 教学过程设计 ． 由于 ＜0， ＞0，所以函数 在区间（1，2）内有零点，进一步的问题是，如何找出这个零点？

15. 教学过程设计 • 生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.

16. 教学过程设计 • 师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.

17. 教学过程设计 • 步骤一：取区间(1，2)的中点1.5，用计算器算 得 ＞0 ,由 ＜0，得知 ＜0，所以零点在区间(1，1.5)内。 • 步骤二：取区间(1，1.5)的中点1.25，用计算器算得 ＜0.因为 ＜0，所以零点在区间(1.25，1.5)内.  • 结论:由于 ，所以零点所在的范围确实越来越小了. 如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．

18. 教学过程设计 • 问题3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似解呢？ • 引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法及用二分法求函数的零点近似值的步骤．

19. 教学过程设计 • [定义引入] 对于在区间，上连续不断且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

20. 教学过程设计 • 给定精确度 ，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如下： • 1、确定区间 ，验证 <0，给定精确度 ； • 2、求区间 的中点c； • 3、计算 ： • （1）若 =0，则c就是函数的零点；· • （2）若 <0，则令 b=c（此时零点 ）； • （3）若 <0，则令a=c（此时零点 ）； • 4、判断是否达到精确度 ： • 即若 ，则得到零点值a（或b）；否则重复步骤2—4． ，

21. 教学过程设计 • 利用二分法求方程近似解的过程，可以简约地用下图表示．

22. 例题剖析，巩固新知 • 例：借助计算器或计算机用二分法求 方程 的一个正零点的近似值（精确度0.01）. • 思考： • 问题（1）：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？ • 问题（2）：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？

23. 尝试练习，检验成果

24. 尝试练习，检验成果

25. 课堂小结，回顾反思 • 1、理解二分法的定义和思想，用二分法可以求函数的零点近似值，但要保证该函数在零点所在的区间内是连续不断； • 2、用二分法求方程的近似解的步骤.

26. 课外作业 • 1．[书面作业]第74页练习A组1、2；第79页《巩固和提高》22题 • 2．[课外思考]:如果现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了,那么怎么找出这个破裂处,要不要把水泥板全部掀起?

27. 教学反思 • 这节课既是一堂新课又是一堂探究课.整个教学过程,以问题为教学出发点, 以教师为主导，学生为主体，设计情境激发学生的学习动机，激励学生去取得成功，顺应合理的逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥学生的主体作用.整个教学设计中，特别注重以下几个方面： • （1）重视学生的学习体验,突出他们的主体地位.训练了他们用从特殊到一般,再由一般到特殊的思维方式解决问题的能力.不断加强他们的转化类比思想. • （2）注重将用二分法求方程的近似解的方法与现实生活中案例联系起来，让学生体会数学方法来源于现实生活，又可以解决生活中的问题. • （3）注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣. • （4）注重师生之间、同学之间互动，注重他们之间的相互协作，共同提高.