確率･統計 Ⅰ

1. ここです！ 確率･統計Ⅰ • 確率論とは • 確率変数、確率分布 • 確率変数の独立性 ／ 確率変数の平均 • 確率変数の平均（続き）、確率変数の分散 • 確率変数の共分散、チェビシェフの不等式 • ベルヌイ試行と二項分布 • 二項分布（続き）、幾何分布など • 二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布 • 正規分布とその性質 • i.i.d.の和と大数の法則 • 中心極限定理 • 統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係） • 統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定） 第8回 二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布

2. 二項分布の近似、 ポアソン分布、正規分布 • 二項分布のポアソン近似 • ポアソン分布 • 二項分布の正規近似 • ポアソン近似と正規近似の関係について

3. 「ポアソン分布」 と呼ぶ（後出） 二項分布のポアソン近似 X を 二項分布 B(n, p)に従う確率変数とする。 λ=npを一定にしてn→∞ のとき、 nがある程度大きく、しかも pが小さい場合に、左辺（二項分布） を右辺の式（ポアソン分布）で近似できる。 目安としては、n≧100, p≦0.05

4. 二項分布のポアソン近似の様子 p=0.01, n=300 ∴λ=np=3

5. （…省略） …300 r → 0 二項分布のポアソン近似の様子 二項分布B(300, 0.01) ∴np=3

6. （…省略） …3000 r → 0 二項分布のポアソン近似の様子 二項分布B(3000, 0.001) ∴np=3

7. （…省略） …30000 r → 0 二項分布のポアソン近似の様子 二項分布 B(30000, 0.0001) ∴np=3

8. （…省略） ……∞ r → 0 二項分布のポアソン近似の様子 （λ=3のポアソン分布）

9. これもシンドイが こっちよりはずっと楽 二項分布のポアソン近似の方法 X が 二項分布 B(n, p)に従うとき、 nが大きく（n≧100）、 pが小さい（ p≦0.05）ならば のかわりに を計算 （λ= np）

10. 二項分布のポアソン近似（例題） 例題： ビジ確率1/400 のパチスロを400回回したとき、少なくとも一回当たる確率を求めよ。 Xを B(400, 1/400) に従う確率変数とするとき、1 - P(X=0) を求めればよい。 まじめに計算すると P(X=0) = (399/400)400

11. 二項分布のポアソン近似（例題） 例題： ビジ確率1/400 のパチスロを400回回したとき、少なくとも一回当たる確率を求めよ。 パラメータλ= 400×1/400 = 1のポアソン分布として計算すれば 1 - 0.37 = 0.63

12. ［再演習］ 二項分布 [4] ある部品が一定期間内に故障を起こさない確率を「精度」と呼ぼう。 (1) 精度が0.999の部品1000個のうち、どの部品も故障しない確率を求めよ。 (2) 精度が0.999の部品10000個のうち、どの部品も故障しない確率を求めよ。

13. 二項分布の近似、 ポアソン分布、正規分布 • 二項分布のポアソン近似 • ポアソン分布 • 二項分布の正規近似 • ポアソン近似と正規近似の関係について

14. ポアソン分布 P( X = r )が次の式で与えられる確率分布を、パラメータλのポアソン分布 という： ( r = 0, 1, 2, … ) 離散型； 値無限個 （問） これが確かに確率分布であることを確かめよ。

15. r =0 1 2 3 4 … ポアソン分布 （比率はこのまま、全部で 1 になるように、全体に e -λ を掛ける。）

16. ポアソン分布の平均と分散 確率変数 Xがパラメータλの ポアソン分布に従うとき、 • E(X) =λ • V(X) =λ （問） これらを確かめよ。

17. r =λ ポアソン分布のグラフ ポアソン分布 (λ=10 ) （ r = 0, 1, 2, …… ） 最大値

18. λ= 0.7 λ= 1 λ= 2 λ= 3 λ= 5 λ= 8 r → 0 1 2 ポアソン分布のグラフとλ λによる変化

19. ポアソン分布の意味 空間または時間の１単位あたり、 平均λ回起こる（ことがわかっている） 事象があるとする。 例1：製品１個あたり平均２個の傷が入る工芸品 例2：ぶどうパン１個あたり平均２個の干しぶどうが入る工場 例3：昼間の１時間あたり平均３回の電話がかかる会社

20. ポアソン分布の意味 このとき、特定の１単位に、 実際にそれが 何回起こるかの確率 パラメータλのポアソン分布 例1：製品１個あたり平均２個の傷が入る工芸品 例2：ぶどうパン１個あたり平均２個の干しぶどうが入る工場 例3：昼間の１時間あたり平均３回の電話がかかる会社

21. N 大 N 大 ポアソン分布の意味 例1：製品１個あたり平均２個の傷が入る工芸品 区画数 N 区画に傷のある確率 p = 2 / N 各区画に傷ができる事象は独立 ∴ 製品1個の傷の個数 Xは B(N, p)に従う （N個分のベルヌイ試行とみなせるから） N p = λ = 2

22. N 大 ポアソン分布の意味 例2：パン１個あたり平均２個の干しぶどうが入る工場 × N個 パンの数 N 干しぶどうの数 2N 干しぶどう１個がこのパンに入る確率 p = 1 / N 各干しぶどうがこのパンに入る事象は独立 ∴ パン1個の干しぶどうの個数 Xは B(2N, p)に従う （2N個分のベルヌイ試行とみなせるから） 2N p = λ = 2

23. N 大 N 大 t1 t2 t1 t2 t1 t2 ポアソン分布の意味 例3：昼間の１時間あたり平均3回の電話がかかる会社 1時間を N等分 1区間に電話のかかる確率 p = 3 / N 各区間に電話のかかる事象は独立 ∴ 1時間の電話の回数 Xは B(N, p)に従う （N個分のベルヌイ試行とみなせるから） N p = λ = 3

24. λ=0.7のポアソン分布の値 ポアソン分布（例） 馬に蹴られて死んだプロシアの兵士 （1875-1894）

25. ポアソン分布（例） 馬に蹴られて死んだプロシアの兵士 （1875-1894）

26. ポアソン分布（例題） 例題： 1個につき平均2個の傷が普通の工芸品がある。傷が5個以上ある製品は返品を受け付けている。製作した製品の何%が返品されると考えられるか。 Xを 1製品あたりの傷の個数とすると、 Xはパラメータλ=2 のポアソン分布に従う。

27. ポアソン分布（例題） 例題： 1個につき平均2個の傷が普通の工芸品がある。傷が5個以上ある製品は返品を受け付けている。製作した製品の何%が返品されると考えられるか。 約 5% ≒ 0.052

28. ポアソン分布の応用例 • 細胞内の染色体交替数、バクテリア数など、生物統計への応用 • 放射線物質の崩壊 • 在庫管理（いくつ仕入れておけば売り切れの確率をあるレベル以下にできるか） • 電話や道路の混雑状況の見積もり→回線数をどれだけ用意すれば、（平常時は）十分やっていけるか • etc…

29. 二項分布の近似、 ポアソン分布、正規分布 • 二項分布のポアソン近似 • ポアソン分布 • 二項分布の正規近似 • ポアソン近似と正規近似の関係について

30. 「正規分布」 と呼ぶ（後出） 二項分布の正規近似 X を 二項分布 B(n, p)に従う確率変数とする。 （ド・モアブル-ラプラスの定理） n→∞のとき、

31. 「標準正規分布」 と呼ぶ（後出） 二項分布の正規近似´ X を 二項分布 B(n, p)に従う確率変数とする。 （ド・モアブル-ラプラスの定理；別の形） n→∞のとき、

32. r’ 二項分布の正規近似の様子 p = 0.3 n = 10

33. r’ 二項分布の正規近似の様子 p = 0.3 n = 100

34. r’ 二項分布の正規近似の様子 p = 0.3 n = 1000

35. x 二項分布の正規近似の様子 標準正規分布

36. 正規分布 確率密度関数が次の式で与えられる確率分布を、平均μ, 分散σ2の正規分布 N(μ,σ2)という： （問） これが確かに確率分布であることを確かめよ。

37. 標準正規分布 確率密度関数が次の式で与えられる平均0, 分散1の正規分布を、 標準正規分布 N(0, 1)という：

38. N(np, npq) 二項分布の正規近似（再） X を 二項分布 B(n, p)に従う確率変数とする。 （ド・モアブル-ラプラスの定理） n→∞のとき、

39. N(0, 1) 二項分布の正規近似´ （再） X を 二項分布 B(n, p)に従う確率変数とする。 （ド・モアブル-ラプラスの定理；別の形） n→∞のとき、

40. 確率変数 Xは二項分布 B(n, p)に従う 確率変数 Zは正規分布 N(np, npq)に従う とする。 目安： np≧5 かつ nq≧5 二項分布の正規近似の方法 p が 0 や 1 に近くなく、n が十分大きいとき、 P( X = r ) = P( r - 0.5 ≦ X＜ r + 0.5 ) ≒ P( r - 0.5 ≦ Z＜ r + 0.5 )

41. では、これはどうやって計算するのか？ 二項分布の正規近似の方法 とても無理 式で書けば 数表を使う P( X = r ) = P( r - 0.5 ≦ X＜ r + 0.5 ) ≒ P( r - 0.5 ≦ Z＜ r + 0.5 )

42. 確率変数 Zは正規分布 N(np, npq)に従う とする。 確率変数 Z*は標準正規分布 N(0, 1) に従う N(0,1) の数表はある Z* に関する確率は分かる 二項分布の正規近似の方法 P( r - 0.5 ≦ Z＜ r + 0.5 )

43. 二項分布の正規近似（例題1） 例題： 確率変数 Xが B(10, 0.5) に従うとき、P(4≦X≦6) を厳密に求め、これと正規近似から得られる確率を比較せよ。

44. 二項分布の正規近似（例題1） 例題： 確率変数 Xが B(10, 0.5) に従うとき、P(4≦X≦6) を求め、これと正規近似から得られる確率を比較せよ。 P(4≦X≦6)=0.65625 Zを N(10×0.5, 10×0.5×0.5) = N(5, 2.5) に従う確率変数とすると P(3.5≦Z＜6.5) = P(-0.95≦ Z*＜0.95) = （N(0,1)の表を利用） ≒ 0.6578

45. 二項分布の正規近似（例題2） 例題： 確率変数 Xが B(30, 1/6) に従うとき、P(X≦5) を求め、これと正規近似から得られる確率を比較せよ。

46. 二項分布の正規近似（例題2） 例題： 確率変数 Xが B(30, 1/6) に従うとき、P(X≦5) を求め、これと正規近似から得られる確率を比較せよ。 P(X≦5)=0.6164 Z を N(30×1/6, 30×1/6×5/6) = N(5, 25/6) に従う確率変数とすると = P(-2.69≦Z*<0.24) = （N(0,1)の表を利用） ≒ 0.59…

47. 二項分布の近似、 ポアソン分布、正規分布 • 二項分布のポアソン近似 • ポアソン分布 • 二項分布の正規近似 • ポアソン近似と正規近似の関係について

48. 二項分布の正規近似とポアソン近似の関係について二項分布の正規近似とポアソン近似の関係について 正規近似［ B(n, p) → N(np, npq) ］ の条件： p が 0 や 1 に近すぎず、 n が十分大きいとき （目安：np≧5 かつ nq≧5） ポアソン近似［ B(n, p) → λ=npのポアソン分布］ の条件： pが小さく、 nが（npが小さすぎない程度）大きいとき （目安：n≧100 かつ p≦0.05） ※逆に言えば、 pがやや小さくても、 n が非常に大きいなど、両方の条件がクリアされているなら、どちらを使ってもよい。

49. （ は N(0, 1)に近づく。） 二項分布の正規近似とポアソン近似の関係について Yをパラメータλのポアソン分布に従う確率変数とする。 λ→∞ のとき、 Yは N(λ, λ)に近づく。

50. λ= 0.7 λ= 1 λ= 2 λ= 3 λ= 5 λ= 8 r → 0 1 2 ポアソン分布のグラフとλ（再） λによる変化