第 六章

1. 第 六章 扭 转

2. 6—1概述 • 6—2薄壁圆筒的扭转（虎克定律） • 6—3 传动轴的外力偶矩  扭矩及扭矩图 • 6—4 圆轴在扭转时的应力  强度条件 • 6—5圆轴扭转时的变形  刚度条件

3. 扭转的受力特点 ：在杆件的两端作用两个大小相等、 转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。 § 6 - 1 概 述 机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁 及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。

4. 扭转的变形特点：杆件的任意横截面都发生绕 杆件轴线的相对转动。 m m 扭转受力简图

5. m m n n l §6—2 薄壁筒的扭转（虎克定律） 一， 薄壁筒扭转的应力 用截面法求任一横截面 n—n 上的内力

6. m m n m n Mn n l n 薄壁圆筒扭转时其任一横截面 n-n 上的内力为扭矩，记作 Mn。 横截面上的应力只能是 剪应力。

7. 试验 m m 观察到的现象 预先在圆筒的表面画上 等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。 所有的圆周线都保持不变； 所有的纵向线都倾斜了一个相同的角度。

8. 设想 横截面上各点处的剪应力的方向必与圆周相切。 m m 薄壁圆筒扭转后，横截面保 持为形状，大小均无改变的 平面，相邻两横截面绕圆筒 轴线发生相对转动。

9. A D B C m m 圆筒两端截面之间相对 转动的角位移，称为 相对扭转角，用 表示。 圆筒表面上每个格子的 直角的改变量，称为 剪应变。用表示 。

10. D A D1 A D  B C B C m m t dx C  C1 圆周各点处剪应力的方向于圆周相切，且数值相等。近似的认 为沿壁厚方向各点处剪应力的数值无变化。

11. m 推导公式 n r x n 由上述分析，就可得出薄壁筒扭转时，横截面上任一点处 的剪应力  都是相等的，而其方向于圆周相切。

12. m n Mn r x n r 为薄壁圆筒平均半径

13. m n Mn r x n 上式为薄壁筒扭转时横截面上剪应力的计算公式

14. Mn 　　薄壁筒扭转时横截面上的剪应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致。

15. y dz d a x dy b c dx z 二， 剪应力互等定理 (1) 在单元体左，右面（杆的横截面）上只有剪应力，其方向于 y 轴平行。 由平衡方程 　　可知，两侧面的内力元素  dy dz 大小相等，方向相反， 将组成一个力偶。

16. y dz d a x dy b c dx z 其矩为 ( dy dz) dx (2) 要满足平衡方程

17. y dz d a x dy b c dx z 在单元体的上，下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对 内力元素 它们组成的力偶，其矩为

18. y dz d a x dy b c dx z 此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx 数量相等而转向相反，从而可得 （6－2）

19. y dz d a x dy b c dx z 剪应力互等定理： 单元体两个相互垂直平面上 的剪应力同时存在，且大小 相等，都指相（或背离）该 两平面的交线。

20. y dz d a x dy b c dx z 纯剪切应力状态： 单元体平面上只有剪应力 而无正应力，则称该单元体 为纯剪切应力状态。

21. A D B C m m l 三，剪切胡克定律 由图所示的几何关系得到 式中， r为薄壁圆筒的外半徑

22. A D B C m m l 薄壁圆筒的扭转 试验发现， 当外力偶 m 在某一范围内 时， φ与 m （在数值上等 于 Mn）成正比

23. Mn o  o 从 Mn与 之间的线性关系， 可推出 与  间的线性关系。 （6－3） 该式称为材料的剪切胡克定律

24. G称为材料的剪切弹性模量。其常用单位是G Pa。 剪切胡克定律只有在剪应力不超过材料的剪切屈服 S 极限时才适用。即材料在线弹性范围内工作。

25. 拉(压)，剪切弹性模量与泊松比的关系 　　理论和实验研究表明，对于各向同性材料，它们存在如下关系： （6－4）

26. y dz d a dy x b dx z 四，等直圆杆扭转时的应变能 1，纯剪切应力状态下的比能 假设单元体左侧固定， 因此变形后右侧将向下 移动 dx。 dx

27. y dz d a dy x b dx z 因为变形很小，所以在变形过 程中，认为上，下两面上的外 力将不作功。只有右侧面的外 力 (dydz)对相应的位移 dx作 了功。 dx

28. 当材料在线弹性范围内内工作时， 上述力与位移成正比，因此，单 元体上外力所作的功为 y dz d a dy x b dx z dx 比能为

29. 将  = G 代如上式得

30.  剪应变为 剪应变为 思考题：指出下面图形的剪应变 2 0

31. m1 m3 m2 n 从动轮 从动轮 主动轮 §6—3 外力偶矩  扭矩和扭矩图 1, 传动轴的外力偶矩

32. m1 m3 m2 n 从动轮 从动轮 主动轮 　　一传动轴，转速为 n转/min，轴传递的功率由主动轮输入，然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为 Nk千瓦（KW)，则作用在该轮上的外力偶矩 m可按以下方法求得。

33. （6－1） m—— 作用在轴上的力偶矩，( N.m ) P ——轴传递的功率，(kW) n ——轴的转速 ( r/min )

34. m n m n m x x • • 11，扭矩和扭矩图 分析图示圆轴任一横截面 n—n上的内力。仍用截面法。 在n—n截面处假想将轴 截开取左侧为研究对象

35. m n m n m Mn m x x • • x • • Mn 横截面上的内力应是一个 力偶称为该横截面上 扭矩 取右侧为研究对象 其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。

36. m n m n m Mn m x x • • x • • Mn 扭矩符号的规定 右手螺旋法则：当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正， 反之为负。 + +

37. 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于 杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示 扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。 例题1

38. m1 m3 m2 n B C D A 例题1：一传动轴如图所示，其转速 n = 300/min ，主动轮输 入的功率为有N1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率， 三个从动轮输出的功率分别为N2 = 150 kW 、N3 = 150 kW 及N4 = 200 kW。试做扭矩图。 m4

39. m1 m3 m2 B C A D n B C D A 解:计算外力偶矩

40. 2 A B C D 2 x B C 计算 CA 段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩 。假设 M n2为正值。 由平衡方程 (-) 结果为负号，说明M n2 应是负值扭矩

41. 1 3 3 1 注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算结果 　　　符号相同。 同理，在 BC 段内 (-) A B C D 在 AD 段内 (+)

42. 6.37 B C A D 4.78 + 9.56 作出扭矩图 从图可见，最大扭矩 在 CA段内。

43. 1 . 横截面上的应力 §6—4 等直圆轴扭转时的应力 • 强度条件 预先在圆杆的表面画上 等间距的纵向线和圆周线， 从而形成一系列的正方格子。

44. m m 试验结果： 等直圆杆扭转变形后， 两圆周线绕杆件的轴线相对 旋转了一个角度，两圆周线的 形状和大小均未改变; 在变形微小的情况下， 纵向线则倾斜了一个 相同的角度 

45. m m 刚性平面假设：变形前轴的圆形横截面 ，在变形后仍保持 为同样大小的圆形平面。且半径仍为直线。

46. 几何方面 a b Mn Mn 倾角  是横截面圆周上任一 点A 处的剪应变,d是 b—b 截面相对于a—a截面象刚性 平面一样绕杆轴转动的一个 角度。 A D b a dx

47. E G a b 经过半径 O2D 上任一 点G的纵向线EG 也倾 斜了一个角度 它也就 是横截面半径上任一点 E 处的剪应变 Mn Mn A D b a dx

48. E G a b Mn Mn A D 此时式说明 ：同一半径  圆周上各点剪应变  均相 同 ，且其值与  成正比。 b a dx

49. E G 物理方面 由剪切胡克定律 a b Mn Mn A D 同一圆周上各点剪应力  均相同，且其值与  成正比 ，   垂直与半径。 b a dx

50. 静力学方面 dA dA Mn 整个横截面上的内力元素  的合力必等于零，并组成 一个力偶这就是横截面上的 扭矩Mn。 o r