Лекція 6 .

1. Лекція 6. Елементи векторної алгебри. Кафедра інформатики та комп‘ютерних технологій доцент Бесклінська О.П.

2. Зміст • 1.Поняття вектора. Основні означення. • 2. Лінійні операції над векторами. • 3. Проекція вектора на вісь. • Лінійна залежність і незалежність векторів. Базис. • 5. Прямокутна декартова система координат. • 6. Вектори в ПДСК. • 7. Поділ відрізка у даному відношенні.

3. 1.Поняття вектора. Основні означення. Геометрично вектор являє собою напрямлений відрізок і позначається В А або де точка А– початок вектора, а В– його кінець.

4. Відстань між початком вектора і його кінцем називають довжиною (або модулем) вектора і позначають або Вектори, які лежать на одній прямій або паралельних прямих, називають колінеарними .

5. Вектори і рівні, якщо вони колінеарні, мають однакові модулі і однакові напрями Два вектори називають протилежними, якщо вони колінеарні, мають однакові модулі і протилежні напрями.

6. Вектор, початок і кінець якого збігаються, називають нуль–вектором. Напрям його не визначений. Вектор, довжина якого дорівнює одиниці називають одиничнимвектором. Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора називають ортом вектора і позначають Три вектори називають компланарними, якщо вони лежать в одній або паралельних площинах.

7. 2. Лінійні операції над векторами. 1) додавання (віднімання) векторів; 2) множення вектора на число (скаляр). і Сумою векторів і називають вектор + який сполучає початок вектора з кінцем вектора за умови, що вектор прикладений до кінця вектора Правило трикутника +

8. Суму двох векторів можна будувати також за правилом паралелограма +

9. Віднімання векторів визначається як дія, обернена додаванню. і Різницеювекторів називають вектор – який в сумі з вектором складає вектор або, іншими словами, це вектор, що сполучає кінець вектора з кінцем вектора за умови, що і прикладені до спільного початку –

10. Добутком вектора на скаляр називають вектор такий, що і напрям якого збігається з напрямом вектора якщо , або протилежний до напряму якщо

11. 3. Проекція вектора на вісь. Віссю називають напрямлену пряму, на якій вибрано початок відліку, додатний напрям і одиницю довжини. Проекцією векторана вісьuназивають додатне число, якщо вісь u і вектор однаково напрямлені, і від’ємне число , якщо вісь uі вектор протилежно напрямлені . В В φ φ А А А1 В1 В1 u А1 u б А

12. Лінійна залежність і незалежність векторів. Базис. Застосовуючи лінійні операції над векторами, можна знаходити вирази вигляду які називають лінійними комбінаціями векторів числа -коефіцієнти. Вектори називають лінійно залежними, якщо існують такі числа не всі рівні нулю, що лінійна комбінація і лінійно незалежними, якщо ця рівність виконується лише за умови, коли всі числа рівні нулю.

13. Сукупність лінійно незалежних векторів називають базисом простору якщо для кожного вектора з існують такі дійсні числа що справедлива рівність: . Цю рівність називають розкладом вектора у базисі

14. Базисом на площині називають довільну упорядковану пару неколінеарних векторів. Базисом у просторі називають довільну упорядковану трійку некомпланарних векторів. , Якщо вектори – базис у просторі і вектор розкладений за базисом, тобто точисла називають координатами вектора в даному базисі.

15. 5. Прямокутна декартова система координат. Точку О і упорядковану трійку некомпланарних векторів (базис) називають декартовою системою координат у просторі. Точка О – початок координат, а осі, які проходять через початок координат в напрямі базисних векторів, називають осями координат. Упорядковану трійку одиничних попарно ортогональних векторів називають ортонормованим базисом.

16. Рене Декарт (1596-1650) – великий французький філософ, фізик, математик і фізіолог. Математику називав як науку “ про порядок і міру”. Вважав що математика більш ніж інші науки відповідає вимогам розуму. Поклав в основу своєї наукової філософії поняття про рух матерії. Вніс рух у математику. Ввів поняття змінної величини.

17. Довільній точці М простору можна співставити у ПДСК вектор який називають радіус-вектором точки М відносно точки О. Тоді існує єдина трійка чисел (x, y, z) така, що Координатиx, y, z радіус-вектора називають координатами точки М і пишуть М (x, y, z)

18. z М(х,у, z) z у у О х х

19. 6. Вектори в ПДСК. Нехай в ПДСК Oxyzзадано вектор Це означає, що в ортонормованому базисі вектор можна подати у вигляді де координати вектора у цьому базисі.

20. Ці координати – проекції вектора z на координатні осі, тобто γ β α y x O де кути, які вектор утворює з осями координат

21. Довжину (модуль) вектора знаходять за формулою Напрямні косинуси :

22. Якщо відомі координати початку та кінця вектора то його координати знаходять за формулою Довжина вектора

23. 7. Поділ відрізка у даному відношенні. B M A М(x, y, z), Координати точки, яка ділить відрізок навпіл (λ=1):