z-Dönüşümü

1. z-Dönüşümü Sayısal İşaret İşleme Dersi YTÜ, EHM Müh. Böl.

2. z-Dönüşümü • Fourier Dönüşümünün genelleştirilmesidir. • Çünkü Fourier Dönüşümü pek çok işaret için hesaplanamaz! • Çoğu durumda z-dönüşümünü hesaplamak daha uygundur. • Tanımı: • DTFT tanımıyla karşılaştırırsak: • z karmaşık bir değişkendir, z=r ej • Eğer z=ej yerine konulursa, z-dönüşümü DTFT’ye dönüşür.

3. Im Birim Çember r=1 0  Re 2 0 2 z-dönüşümü ve DTFT • z-dönüşümü karmaşık z değişkeninin bir fonksiyonudur. • Karmaşık z-düzlemi üstünde gösterilmeye uygundur. • Eğer=0-2 aralığında z=ej çizilirse, birim çember (unit circle) elde edilir.

4. z-Dönüşümünün Yakınsaması • DTFT her zaman yakınsamaz • x[n] işareti mutlak toplanabilir değilse, DTFT sonsuz toplam üretir • Örnek: x[n] = anu[n], |a|>1;işaretinin bir DTFT’si yoktur • z-dönüşümünde karmaşık z değişkeni r ej olarak yazılır: • x[n]’in DTFT’siüstel dizi r –nile çarpılmıştır • Dolayısıyla, bazı r değerleri için toplam sonlu olabilir • z-dönüşümü {g[n]r-n}’in DTFT’sine eşittir.

5. Im Re Yakınsaklık Bölgesi • z-dönüşümünün yakınsadığı tüm z değerleri kümesi • Her bir r değeri yarıçapı r olan bir çemberi temsil eder • Yakınsaklık bölgesi çemberlerden oluşur • Örnek: z- dönüşümü 0.5<r<2 değerleri için yakınsıyorsa, • ROC şekildeki gibidir • ROC birim çemberi içerdiği için, DTFT’si hesaplanabilir • Tüm dizilerin z-dönüşümü yoktur • Örneğin: • Herhangi bir r değeri için yakınsamaz • ROC yoktur, z-dönüşümü yoktur • Ama DTFT’si vardır! • Dizisonlu enerjilidir • DTFT ortalama karesel anlamda (mean-squared sense) yakınsar

6. Im 1 a Re o x Örnek: Sağ-Taraflı Üstel Dizi (Nedensel) • Yakınsaklık için gerekli koşul: • ROC’de tanımlı X(z): • ROC: Yarıçapı aolan çemberin dışındaki bölge • Sağ-taraflı dizilerin (right-sided sequences) ROC’leri bir çemberin dışıdır.

7. Örnek: Sol-taraflı Üstel Dizi (Anti-causal) ROC: |z|< |a|

8. İki-Taraflı Üstel Dizi Im o x o x Re

9. Sonlu Uzunluklu Dizi

10. Z-Dönüşümünde ROC’nin Özellikleri • ROC (0,0) noktasının etrafında bir halka ya da disk şeklindedir • DTFT ancak ve ancak ROC’nin birim çemberi kapsamasıyla hesaplanabilir • ROC içinde asla bir kutup olmaz • Sonlu-uzunluktaki diziler için ROC bütün z-düzlemidir • muhtemelen z=0 ve z= hariç • Sağ-taraflı bir dizinin ROC’si en dıştaki kutbun dışındaki alandır (Muhtemelen z=  dahildir) • Sol-taraflı bir dizinin ROC’si en içteki kutbun içindeki alandır (Muhtemelen z=0 dahildir) • İki taraflı bir dizi kutuplar tarafında sınırlanan bir halkadır • ROC kapalı bir alandır • ROC belirlenmeden z-dönüşümü tek şekilde (“uniquely”) bir diziyi betimlemez

11. Transfer Fonksiyonu: Kararlılık, Nedensellik ve ROC • İmpuls yanıtı h[n] olan bir sistem düşünelim • z-dönüşümü H(z) ve kutup-sıfır diyagramı şekildeki gibi olsun • Başka bir bilgi olmadan h[n] dizisi tek şekilde belirlenemez • |z|>2 or |z|<½ or ½<|z|<2 • Eğer sistem kararlıysa, ROC birim çemberi içermelidir: ½<|z|<2 • Eğer sistem nedenselse, dizi sağ taraflı olmalıdır: |z|>2

12. Ters z-Dönüşümü

13. Ters z-Dönüşümü • z-dönüşümünün tersi Cauchy integraliyle hesaplanır • Daha kolay ve “kestirme” teknikler de var: • Gözlemleme yoluyla (Inspection method) • Kısmi kesirlere ayrıştırma yoluyla (Partial fraction expansion) • Güç serilerine genişletme yoluyla (Power series expansion) • Gözlemleme yoluyla (Inspection Method) • Bilinen z-dönüşümü çiftlerini kullanarak • Örnek:

14. Kısmi Kesirlere Ayrıştırma (Partial Fraction Expansion) ile Ters z-Dönüşümü • Verilen bir z-dönüşümü şu şekilde ifade ediliyorsa: • Kısmi kesirlerine ayrıştırılırsa • İlk terim ancak M>N ise kullanılır • Brbilinen bölmeyle hesaplanır • İkinci terim tüm birinci dereceden kutupları temsil eder • Üçüncü terim s dereceli kutupları simgeler • Her bir yüksek dereceli kutup için benzer bir terim bulunur • Her bir terimin gözlem yoluyla tersi hesaplanır

15. Kısmi Kesirlere Ayrıştırma • Katsayılar: • Örnekler üzerinden daha kolay anlaşılır!

16. Örnek: 2. Dereceden z-Dönüşümü • Payın derecesi paydanın derecesinden küçük (z-1 cinsinden) • Yüksek dereceli kutup yok

17. Örnek: Devam ediyor: • ROC sonsuza doğru uzuyor • Dolayısıyla sağ-taraflı bir dizi

18. Örnek 2: • Bo’ı bulmak için bölme yapılmalı:

19. Örnek 2: Devam ediyor: • ROC sonsuza uzuyor • Sağ-taraflı dizi

20. Güç Serilerine Genişletme Yoluyla Ters z-Dönüşümü • z-dönüşümü bir güç serisi olarak tanımlanır • Genişletilmiş formuyla: • Bu formdaki z-dönüşümleri kolayca tersine çevrilebilir (özellikle sonlu uzunlukta işaretler için) • Örnek:

21. z-Dönüşümü Özellikleri: Doğrusallık • Doğrusallık • Birleşmiş dizinin ROC’si her iki ROC’den daha büyük olabilir (Eğer toplamda kutup/sıfır sadeleşmeleri olursa) • Örnek: • Her iki dizi de sağ-taraflı • Her iki dizinin z=a’da bir kutbu var • Her iki dizinin ROC’si |z|>|a| olarak tanımlı • Birleşmiş dizide z=a’daki kutup, z=a’daki sıfırla sadeleşiyor • Birleşmiş ROC tüm z-düzlemini kaplıyor, z=0 hariç

22. z-Dönüşümü Özellikleri: Zamanda Kayma • nobir tamsayı • Eğer pozitifse, dizi sağa kayar • Eğer negatifse, dizi sola kayar • ROC kaymaya göre değişebilir • z=0 veya z= noktalarına kutup eklenip, çıkabilir • Örnek:

23. z-Dönüşümü Özellikleri: Üstelle Çarpma • ROC|zo| ile ölçeklenir • Tüm kutup/sıfır yerleri ölçeklenir • Eğer zo pozitif bir gerçel sayıysa: z-düzlemi küçülür ya da büyür • Eğer zobirim genlikli karmaşık bir sayıysa döndürür • Örnek: • Bu durumda, aşağıdaki ifadenin z-dönüşümünü bulalım:

24. z-Dönüşümü Özellikleri: Türev Alma • Örnek: • z-dönüşümü özelliklerini ve ROC’yi kullanarak

25. z-Dönüşümü Özellikleri: Eşleniklik • Örnek

26. z-Dönüşümü Özellikleri: Zamanda Ters Çevirme • Örnek: • Zamanda ters çevrilirse:

27. z-Dönüşümü Özellikleri: Konvolüsyon • Zamanda konvolüsyon z-bölgesinde çarpmaya karşılık gelir • Örnek: Dizilerin konvolüsyonunu hesaplayalım: • z-dönüşümlerinin çarpımı • ROC: Eğer |a|<1 ise ROC: |z|>1;eğer |a|>1 ise, ROC: |z|>|a| • Kısmi kesirlere ayrıştırma ile Y(z) belirlenir: