Estatistica

1. Estatistica Teste de Hipóteses de umaamostra Prof. Helcio Rocha

2. TH – um caso • Uma indústriafabricacarcaças de motoreselétricos. O diâmetrointerno DI é umavariávelcrítica. • Valoresdiferentes de 150,00 mm inviabilizamseuuso • A cadahoraretira-se amostra de n = 9 carcaças e mede-se osrespectivos DIs • Cadaamostraretiradadáorigem a um TH: • H0 ► μ= 150 mm ► o processoestá sob controle • H1 ► μ≠ 150 mm ► o processoestá fora de controle, produzindodiâmetroselevados 9-2 9-2

3. Erros no TH • E se formoslevados a rejeitar H0, estando o processonaverdade sob controle? • ► ERRO TIPO I (alarme falso) • Estaremos rejeitando produtos cuja variabilidade está sob controle • Quais são os custos decorrentes deste erro? • A probabilidade do erro tipo I é denominada alfa

4. Erros no TH • E se formoslevados a não rejeitar H0, estando o processonaverdade fora de controle? • ► ERRO TIPO II (falso positivo) • Estaremos aceitando produtos cuja variabilidade está fora de controle • Quais são os custos decorrentes deste erro? • A probabilidade do erro tipo II é denominada beta

5. Cenários no TH

6. Erros no TH • Alfa, beta e o tamanho da amostra n estão todos relacionados • A prática usual na indústria e na pesquisa é estabelecer os valores de alfa e de n, de modo que beta fica determinado • Para erros tipo I com consequências mais sérias, selecione menores valores de α. • Escolha, então, um n com base em considerações de tempo, custo e outros fatores. (Triola)

7. Distribuição das médias amostrais H0: μ= 150 H1: μ≠ 150 • Supondo H0 verdadeira, esta é a curva de distribuição das médias amostrais com n = 9. • O desvio-padrão (erro padrão) desta curva é µ = 150 9-7 9-7

8. TH e estatística t • Para realizarmos o TH, convertemos as médias amostrais na estatística t • A distância entre a média amostral e µ é convertida em No. de erros-padrão a t NãorejeitaH0 RejeitaH0 RejeitaH0 tc tc Valores críticos 9-8 9-8

9. Alfa e t crítico • Suponha que a fábrica de carcaças tenha estabelecido a meta de alfa igual a 1% = 0,01 • A partir de alfa e do No. de graus de liberdade (n-1), encontramos o valor crítico da estatística t (tc); • Podemos usar a tabela t • Podemos usar no Excel a função INVT: • = INVT (alfa;g.l.) = INVT (0,01;8) = 3,36 Obs: se for usar INVT em TH unicaudal, duplique alfa

10. Tabela t

11. Estatística t versus t crítico • A próxima etapa é converter a média amostral em t (estatística t) • Caso a estatística t ultrapasse tc, rejeitaremos H0 • Caso a estatística t não ultrapasse tc, não rejeitaremos H0

12. Média amostral ► estatística t • Considere que a últimaamostra tenha tido média = 150,20 mm e s = 0,15 mm. • Podemosconfirmarque o processoestá sob controle? Podemos interpretar que a diferença entre 150,20 e 150,00 é resultante do comportamento aleatório das variáveis do processo? Para a análise, esta diferença será transformada em estatística t

13. Como t ultrapassa o valor crítico (tc = 3,36), consideramos que a distância entre 150,20 e 150,00 é significativa Assim, é pouco provável que se possa extrair uma amostra com média de 150,20 a partir de uma população de µ = 150,00. Então, µ ≠ 150,00. Estatística t

14. Análise do TH a = 0,01 tc t 4,0 3,4 • t cai numa região de rejeição de H0 • Há evidência suficiente para garantir que a média populacional de DIs é diferente de 150,00 mm 9-14 9-14 9-14

15. Passos do TH usando t Construa as hipóteses H0 e H1 Defina  e o tamanho da amostra, n Determine o valor crítico tc Colete os dados e calcule a média amostral Calcule a estatística t Se o módulo de t for maior do que o módulo do tc, rejeite H0; caso contrário, não rejeite H0.

16. Trabalhando com outro valor de tc • Use a tabela t para responder às questões abaixo: • E se no caso dos DIs das carcaças, tentando minimizar o erro tipo I... • trabalhássemos com alfa igual a 0,05? • Além disso, e se aumentássemos n para 15? Observe. • Como estas decisões impactariam no valor crítico tc?

17. Monitorando um processo com menor variabilidade • Recalcule a estatística t para responder à questão abaixo: • E se no caso dos DIs das carcaças o desvio-padrão amostral fosse menor? Suponha s = 0,14 mm. A média amostral de 150,20 mm acarretaria numa rejeição mais clara de H0?

18. p-value no TH • Com a difusão de pacotes de Estatística, tem crescido a realização de TH mediante a análise do chamado p-value. • O que é o p-value? • Voltemos ao caso da fabricação de carcaças de motores elétricos...onde a média amostral (150,20 mm) está 4,0 desvios-padrão acima do valor afirmado como média (máx.) populacional (150,00 mm)

19. p-value O p-value corresponde a área colorida na figura p-value 0 t = 4,0 • Suponhaque H0sejaverdadeira. • p-value é a probabilidade de se obterumaestatísticat mais extrema do que a resultante da amostra • Quanto maior é a estatística t, menor é o p-value

20. p-value e alfa • Alfa e p-value são medidas da probabilidade de se cometer o erro tipo-I • Alfa é o risco (máximo) que se está disposto a correr;também é conhecida como significância • p-value é o risco efetivo de se cometer o erro tipo-I (de acordo com a amostra) • Se o p-value é inferior aoalfa, rejeitamos H0; casocontrário, nãorejeitamosH0 • Ou, simplesmente, rejeita-se H0 sempre que o p-value for reduzido, não necessitando a comparação com alfa • p-valueé o nível de significância observado

21. Calculando o p-value • O p-valuepodeser calculado mediante a função DISTT do Excel: • = DISTT(x; graus de liberdade; caudas) • = DISTT (4,0; 8; 2) = 0,0039 = 0,39% • Como o p-value é muitopequeno, somoslevados a rejeitar H0e a confirmar H1 ► μ≠150 mm

22. p-value e alfa Este modelo de planilha permite simular um TH, tanto unicaudal quanto bicaudal; tanto para distribuição t quanto para normal. No gráfico: Em verde escuro, região do P-VALUE; em vermelho, região do ALFA

23. Passos do TH com p-value • Construa as hipóteses H0 e H1 • Defina  e o tamanho da amostra, n • Colete os dados e calcule a média amostral • Calcule a estatística t • A partir de t e do gl, encontre o p-value usando soft estatístico • Se o p-value for menor do que o , rejeite H0; caso contrário, não rejeite H0 9-23