Ch05 利率期限结构

1. Ch05 利率期限结构

2. 内容概要 • 收益率曲线 • 利率结构与利率期限结构 • 掌握利率期限结构的理论假说及其实证方法利率期限结构技术 • 了解利率期限结构的构造与拟合方法 • 了解利率期限结构的动态估计方法Vasicek模型和CIR模型

3. 利率期限结构 利率结构：不同种类、不同期限的资金使用有不同的利率 • 期限结构 • 风险结构 • 信用结构 • 利率期限结构：在某个时点不同时期的零息票债券的利率的集合 比如，在某个时点t, 市场有的零息票债券的市场价格，我们就可以通过上式分别计算出，这就是一个时点t的利率期限结构。

4. 息票债券的利率期限结构 • 把息票债券看作是一个不同期限零息票债券的组合，这样就可以利用零息票债券的利率期限结构进行计算。

5. 息票债券的利率期限结构 = • 利率的期限结构等于零息债券的到期收益率结构，但不等于息票债券的到期收益率结构 • 利用远期利率：

6. 收益率曲线 • 描述债券到期收益率和到期期限之间关系的曲线叫做收益率曲线。 • 我们可以将收益率 表示为年到期的债券现在应支付的年利率，也就是说在时间区间 上的平均年利率。对到期前不支付利息的债券而言，收益率是由债券目前的价格和面值（到期价格）的比值求出。如果 表示该比值，则： 5-1

7. 债券收益率曲线 • 收益率曲线一般具备以下特点：（1）短期收益率一般比长期收益率更富有变化性；（2）收益率曲线一般向上倾斜；（3）当利息率整体水平较高时，收益率曲线会呈现向下倾斜（甚至是倒转的）形状。

8. 即期利率 • 即期利率（spot rates）是定义期限结构的基本利率，即期利率 是指已设定到期日的零息票债券的到期收益率，它表示的是从现在（ ）到时间t的货币收益。利率和本金都是在时间t支付的。 • （1）按年复利： ，其中t必须为整数，否则需要调整。 • （2）每年m期复利： ，其中mt必须为整数，即t必须是 的整数倍数。 • （3）连续复利：

9. 贴现因子和现值 • 一旦即期利率确定，很自然就要在每一个时间点上，定义相应的贴现因子（discount factors） 。未来现金流必然通过这些因子成倍增加，已得到相当的现值。对于不同的复利计息形式，它们定义如下： • （1）每年复利记息时， • （2）每年m期复利记息时， • （3）连续复利记息时， • 贴现因子把未来现金流直接转化为相对应的现值。因此已知任意现金流（ ）相应与市场即期利率，现值是：

10. 远期利率 • 远期利率（forward rates）指的是资金的远期价格，它是未来两个日期间借入货币的利率，也可以表示投资者在未来特定日期购买的零息票债券的到期收益率。 • （1）按年复利： 对于每年复利计息，远期利率满足： 即 • （2）每年m期复利： • 对于每年期的复利计息，远期利率满足： • 即

11. 远期利率 • （3）连续复利：对于连续复利记息，远期利率 对于所有 都成立，并且满足： • 因此，存在：

12. 远期利率与零息券 • 1.零息券 • 零息券是指当前以一固定的价格买入债券，到期后（期限为T）可以赎回1元。在利率不波动且短期利率为r的情况下，很显然存在： • 假定短期利率是可变但可确定的。 表示t时刻当期的利率，称为短期利率（short rate）,则：

13. 远期利率与零息券 • 由于现实世界利率是不确定的，因此有必要进一步对利率可变的情形进行分析。根据公式（5-1）和远期利率公式，可得： • 这里， 是目前债券的价格， 是当期看来时刻的远期利率。

14. 举例 假设债券市场上所有的参与者都相信未来5年的1年期短期利率（Short interest rate）如表1所示 。 表1 第n年的短期利率

15. 举例 2.求零息债券当前合理的价格假设零息债券面值为100元，则由表1可得该债券的合理价格，如表2所示 表2 零息债券的合理价格

16. 3. 由面值和表2给出的合理价格，计算零息债券到期收益率 举例 表3 到期收益率

17. 举例

18. 举例

19. r r t 0 t 0 利率期限结构的传统理论假说 • 一般而言收益率曲线形状主要有三种：收益率曲线是在以期限长短为横坐标，以收益率为纵坐标的直角坐标系上显示出来。主要有三种类型：第一类是正收益曲线（或称上升收益曲线），其显示的期限结构特征是短期国债收益率较低，而长期国债收益率较高。第二类是反收益曲线（或称下降收益曲线），其显示的期限结构特征是短期国债收益率较高，而长期国债收益率较低。这两种收益率曲线转换过程中会出现第三种形态的收益曲线，称水平收益曲线，其特征是长短期国债收益率基本相等。 r t 0

20. 传统利率期限结构理论假说 • 1. 预期假说 • 预期假说（expections hypothesis）是指投资者的预期决定未来利率走向的一种理论，该理论认为，远期利率等于市场整体对未来短期利率的预期。换句话说，流动性溢价为零。 • 纯预期理论把当前对未来利率的预期作为决定当前利率期限结构的关键因素。该理论认为，市场因素使任何期限长期债券的收益率等与当前短期债券收益率与当前预期的超过到期的长期债券收益率的未来短期债券收益率的几何平均。 • 如果买卖债券的交易成本为零，而且上述假设成立，那么投资者购买长期债券并持有到期进行长期投资时，获得的收益与同样时期内购买短期债券并滚动操作获得的收益相同。

21. 2.流动性偏好假说 • 流动性偏好假说（liquidity preference hypothesis）认为，相对长期债券而言，投资者通常更偏好短期债券。因为长期债券的流动性比短期债券要差，持有长期债券的投资者担负着更大的市场风险——价格波动和难以变现的风险，因此这类债券持有者必须要求相应的更高的收益补偿。这种由于增加市场风险而产生的对长期债券收益的报酬称为流动性贴水。

22. 传统利率期限结构理论假说 3. 市场分割假说 • 市场分割假说（market segmentation hypothesis）认为,固定收益证券市场根据不同的到期日进行细分，短期利率与长期利率相对独立进行运动。这一假说认为，长期债券市场的投资者群体不同于短期债券市场中的投资者群体，。收益率曲线的形状就是由这些不同的偏好综合而成的。这样，在每一个期限区间内市场参与者的供求偏好就决定了均衡利率，从而导致两种金融工具的价格之间并不存在必然的联系，因而两种利 4.期限偏好理论 • 期限偏好理论综合了期限结构其余三种理论的内容。 • 该理论假设借款人和贷款人对特定期限都有很强的偏好。但是，如果不符合机构偏好的期限赚取的预期额外回报变大时，实际上它们将修正原来的偏好的期限。 • 期限偏好理论是以实际挂念为基础的，即经济主体和机构为预期的额外收益而承担额外风险。在接受分隔市场理论和纯预期理论部分主张的同时，也剔除两者的极端观点，较近似的解释真实世界的现象。

23. 传统利率期限结构理论假说 • 上述四个假说都具有合理性成分，但没有一种理论可为我们所实际观测到的现象提供完全的解释。 • 相比较而言，预期假说相对最具有解释性，它提供了预期的具体数值，因此可以对这一理论进行检验。 • 相关检验结果显示，预期假说相对有效，而其偏差可以归结为流动性偏好。 • 在目前的市场上，投资者的数量众多，市场之间的联系日益紧密，所以市场分割假设就逐渐被淘汰。 • 因此，预期假说结合流动性偏好假说考虑的风险因素可为收益率曲线提供了一种简单可靠的解释。

24. 利率期限结构预期假设检验 • Campbell and Shiller利用美国利率数据对利率期限结构预期假说的各种内在含义进行了实证检验，结果表明利率时间序列均为一阶单整。 • Engle和Granger、Hall et al、Engsted和Tangaar等利用协整方法在多变量框架下对不同期限利率之间的关系进行了研究。结果表明，利率预期假说在这种多变量框架下如果成立，则不同到期期限的利率向量序列应当仅由一个共同的随机趋势来驱动。

25. 利率期限结构预期假设检验 • 利用1996年5月至2006年10月上交所国债回购利率进行利率预期假说检验。从上交所回购利率的相关系数看，回购利率之间存在很大的相关性。尤其是长期之间存在较为明显的正相关。 • 在此基础上，我们对上交所回购利率进行了单位根检验。检验结果表明，除R003之外，都存在1个单位根，这表明序列不平稳。进行一阶差分为平稳序列，即I（1）。在确定了不同到期期限的国债回购利率序列均为一阶单整之后，即可通过利用多变量框架下Johansen协整检验。检验结果表明，在1%的显著性水平上存在一个随机向量，即表明我国国债回购市场上存在一个随机趋势，这也验证了利率期限结构预期假说在我国国债回购市场上是成立的。 • ——张宗新(2008)

26. 利率期限风险溢价的实证检验 • 利率期限风险溢价，是利率期限结构假说所隐含的重要条件。国外学者从不同角度对这一问题进行了大量研究。其中比较具有代表性的的研究是Campbell and Shiller等用t时点已知的即期利率期限结构信息来解释期限风险溢价。 • 研究结果表明，各类期限债券的期限风险溢价并没有随期限增加而单调增加，这说明长短期利差对期限风险溢价的时变性具有解释能力。

27. 收益率曲线的拟合及应用 • 从利率期限结构推导的角度而言，利率的模型可以分为静态模型和动态模型 ( 马特里尼和普里奥兰德， 2002) 。 • 静态模型就是以当天市场的债券价格信息为基础，构造利率曲线函数，利用所构造的利率曲线得到理论价格来逼近债券的市场价格，从而得出符合当天价格信息的利率期限结构。静态模型最为常见的方法包括样条法 (Splines Method) 和 Nelson — Siegel 模型等 ( 朱世武、陈健恒， 2003) 。 • 动态模型是从假设利率服从某种形式的随机微分方程出发，通过随机微分方程推导出一个理论上的利率期限结构。

28. 收益率曲线的拟合方法 • 1.样条法 （1）多项式样条法 多项式样条法是由麦克库隆茨（Mc Culloch）于1971年提出的, 它的主要思想是将贴现函数用分段的多项式函数来表示。在实际应用中，多项式样条函数的阶数一般取为三，从而保证贴现函数及其一阶和二阶导数都是连续的。于是我们用下式表示期限为t的贴现函数：

29. 收益率曲线的拟合方法 • （2）指数样条法 • 指数样条法则是考虑到贴现函数基本上是一个随期限增加而指数下降的函数，它是瓦西塞克（Vasicek）和弗隆戈（Fong）在1982年提出的，该方法将贴现函数用分段的指数函数来表示。同样为了保证曲线的连续性和平滑性，通常采用三阶的指数样条函数，其形式如下：

30. 收益率曲线的拟合方法 • 2.尼尔森-辛格尔（Nelson-Siegel） 模型 • 尼尔森和辛格尔在1987 年提出了一个用参数表示的瞬时 (即期限为零的) 远期利率函数。 • 由此我们可以求得即期利率的函数形式：

31. 收益率曲线的拟合方法 • 这个模型中只有四个参数, 即 , 根据式中的即期利率, 我们可以得到相应的贴现函数, 从而计算债券的模型价值用以拟合市场数据。虽然参数的个数不多, 但这样的函数形式已经有足够的灵活度来拟合收益率曲线的标准形状，递增的、递减的、水平和倒置的形状，如图所示。

32. 收益率曲线的拟合方法 • 3. 斯文森（Svensson）模型 • 斯文森将Nelson-Siegel 模型作了推广, 引进了另外两个参数 , 而得到如下的即期利率函数： • 这个模型也被称为扩展的Nelson-Siegel 模型，这一模型在计算短期债券价格时的灵活性大大增强。

33. 利率期限结构的数据拟合 • （一）Matlab工具的利率期限结构拟合 • 得出零息票收益率曲线，通常的方法是所谓的息票剥离法。息票剥离法将息票从债券中进行剥离并在此基础上估计无息票债券利率水平，具体计算方法如下： • 设 为某债券的到期期限， 表示现金流；F表示债券的面值；P表示债券全价； 即期利率，根据债券定价公式从而得到：

34. 收益率曲线的拟合及应用 • 结合交易所国债价格数据和Nelson-Siegel模型，运用非线性最优化算法，采用Matlab软件估计得到的参数分别为： =3.9085, =-3.2874， =2.5628；三个参数的变化分别看作是即期利率曲线截距、斜率和曲度的变化。 利率期限结构

35. 分割国库券利率的使用问题 • 分割出来的零息债券交易量相对较小，流动性风险较高，因此所观察的分割国库券利率 含一定的流动性贴水 • 分割国库券有特定需求者，愿意支付较高的代价取得该类证券，使其代表性降低 • 分割国库券的税收待遇可能与原债券不同，税负差异也降低代表性

36. 收益率曲线的拟合及应用 • （二）基于SAS的利率期限结构拟合 • 1、模型拟合方法 • 多项式样条、Nelson-Siegel及Svensson扩展模型是最为常用且较成熟的模型。模型拟合的过程实际上就是估计模型参数的过程，期限结构的估计可以通过建立样本债券的实际价格与理论价格之间误差值的目标函数并使其最小来实现。 • 2、样本的选择 • 债券样本的选择对于形成合理的期限结构有着至关重要的影响，样本的不稳定性将会导致期限结构的拟合出现重大偏差。样本的稳定性具体将涉及样本自身价格的稳定性、数量的稳定性以及债券期限分布的稳定性。

37. 收益率曲线的拟合及应用 • 3、多项式样条法拟合 • 利用ＳＡＳ软件，根据前述多项式样条的表达式以及目标函数，基于2006年6月30日经过筛选后的18只债券，采用息票剥离法(bootstrap method)来拟合上证固定利率国债的即期收益率曲线。 多项式样条法拟合效果

38. 收益率曲线的拟合及应用 • 4、Nelson-Siegle-Sevensson方法拟合

39. 收益率曲线的拟合及应用 • 5、拟合结果的比较

40. 收益率曲线的拟合及应用 • 主成分分析在收益率曲线非平行移动分析中的应用 • 近年来的研究表明，收益率曲线一般都存在非平行移动，这样就会削弱久期和凸度在风险管理中的作用和效果。20世纪90年代，主成分分析逐渐引入到债券投资组合的风险管理领域。由于这种分析方法较好的度量了债券收益率非平行移动因素，从而日益成为债券分析和管理的重要方法。该方法之所以十分流行，原因在于它能使我们缩减风险因素的数量，而又不至于损失信息。 • 缪柏其(2004)得出了我国的利率期限结构具有代表性的三个主成分:利率期限结构、曲线的平移以及曲率的变化

41. 利率动态模型及其估计 • 一、常用的利率动态模型 • （一）均衡模型 • 单因子假定（瞬间）短期利率的风险中性过程是随机的，并且只有一个不确定性来源(单因子)。随机过程包括漂移和波动率两个参数，它们只与短期利率r有关，与时间无关。 • Merton在1973年首先提出了一个最简单的单因子模型： 。这里， 和 都为常数。长期而言，利率的波动具有均值回归（mean reversion）的特征。

42. 利率动态模型及其估计 • 1、Vasicek模型 • 在Vasicek模型中，短期利率r的变动为以下形式的随机过程： • 假定目前的瞬间利率 ，则未来某一时点s其瞬间利率的条件期望值和方差为： • 给定风险价格 ，在时点t时，到期日为T的零息票价格为： • Vasicek模型假设所有参数都不随时间变化，没有考虑利率水平对波动率产生的影响以及波动率本身的GARCH效应，同时，模型中负利率出现的概率也大于零，与实际情况不符。

43. 利率动态模型及其估计 • 2、CIR模型 • Cox, Ingersoll 和Ross（1985）提出的CIR 模型的初衷是为了克服Vasicek 模型的利率可以为负的缺陷。该模型的一个最大的优点在于，它同时可以模拟较长期利率的时间行为。但也有一个不当之处，就是当因素从单个扩展到多个时，再假定每个因素都是非负的显然有点不合理。若假定所有因素的和是非负的，则是较为合理的。

44. 利率动态模型及其估计 • （二）无套利模型 • 1、Ho-Lee模型 • Ho和Lee于1986年首先提出了无套利利率模型。该模型将期初的利率期限结构作为输入变量，以二项分布结构推导出利率期限结构的动态变化。在连续时间下，瞬间利率的SDE为： • 2、BDT模型 • Black,Derman & Toy(1990)提出的BDT模型，假定瞬时利率为对数的正态分布，模型中除了包含期初利率期限结构的信息，还将波动率利率期限结构视为输入变量。连续的BDT模型的SDE为：

45. 利率动态模型及其估计 • 3、HJM模型 • Heath,Jarrow&Monton(1990,1992)提出的N因子连续时间模型，是以外生方式指定远期利率的波动，而利率期限结构为远期利率的函数。HJM模型的远期利率随机过程为：

46. 构建利率期限结构的模型一般步骤 • 确定模型中的状态变量：即期利率、远期利率、互换利率及其隐含的状态变量 • 确定状态变量的动态过程 • 确定求解的计算方法：MM模拟、有限差分法 • 确定参数估计的方法：矩估计、极大似然等

47. 利率动态模型及其估计 • 二、基于中国债券市场的利率期限结构动态估计 • 朱世武、陈健恒（2005）利用Vasicek模型和CIR模型对中国债券市场利率期限结构进行估计。在数据选择上，短期利率数据采用银行间市场的7天回购利率,时间从2001年1月5日到2003年8月13日；同时，选择2003年的8月13日的零息票债券价格数据，零息票债券共有5只，全部是国家开发银行发行的金融债券。 • 从估计结果看，用Vasicek模型和CIR模型模拟出来的利率变动过程是很接近的,而这两个利率过程又较好地描述了实际利率过程的变动趋势。但是,实际的利率过程往往存在一些突变的现象。

48. 利率动态模型及其估计 模型模拟利率过程与实际利率过程

49. 利率动态模型及其估计 • 三、卡尔曼滤波法及其在利率模型中的应用 • （一）应用卡尔曼滤波法估计期限结构 • 在金融市场中，一些经济变量是不可预测的，例如实际利率、通货膨胀率、瞬间短期利率等。为推断这些变量的变化规律，往往通过一些可观测的变量利用科学的估计方法进行估计他们。卡尔曼滤波法（Kalman filters）就是一种非常重要的方法。卡尔曼滤波把不可观测的决定其他可观测的经济变量的变量称为状态变量。如果他们的变化过程是平稳的，可以假定他们的变化过程服从某个向量自回归过程。

50. 利率动态模型及其估计 • （二）卡尔曼滤波法在中国利率期限结构估计中的应用 • 宋福铁在《卡尔曼滤波法模拟和预测沪市国债期限结构》一文中，以多因素CIR为基础、运用卡尔曼滤波来模拟和估计我国1997-06-27日~2003-02-25 日期间交易所国债利率的期限结构。 • 采用卡尔曼滤波方法对多因素CIR模型中的状态变量进行处理。从RMSE和Theil’s U看，两个系数都最小，因此四因素模型的拟合度较高。图10-20是用四因素模型模拟前后的期限结构图，从两图对比来看，模拟效果较好，四因素模型不但拟合出了期限结构的基本走势，而且消除了个别收益率的异常波动，拟合后的图形也更平滑，更容易看出我国国债期限结构的走势。