المحددات

1. المحددات إعداد صباح عبد الله عبد العظيم مدرس المناهج وطرق تدريس الرياضيات كلية التربية – جامعة السويس

2. محدد الدرجة الثانية إذا كانت أ مصفوفة مربعة علي النظم 2 × 2 حيث: أ = فإن محدد المصفوفة أ ويرمز له بالرمز | أ | ويسمي بمحدد الرتبة الثانية، وهو العدد المعروف كالتالي: | أ | = = س و – ع ص س ص ع و القطر الآخر س ص ع و القطر الرئيسي ويلاحظ أن قيمة محدد الرتبة الثانية يساوي حاصل ضرب عنصري القطر الرئيسي مطروحًا منه حاصل ضرب عنصري القطر الآخر

3. محدد الرتبة الثالثة يسمي محدد المصفوفة علي النظم 3 × 3 محدد الرتبة الثالثة، ولايجاد قيمة محدد الرتبة الثالثة فإن: = أ( هـ ط – ح و) – ب ( د ط – ز و) – جـ( د ح – ز هـ ) أ ب جـ أ ب جـ د هـ و د هـ و ز ح ط ز ح ط هـ و د هـ د و - ب = - جـ أ ح ط ز ط ز ح

4. المحدد الأصغر المناظر لأي عنصر في مصفوفة إذا كانت المصفوفة أ علي النظم 3 × 3 حيث: أ11 أ 21 أ31 فإن المحدد الأصغر المناظر للعنصر أ11 يرمز له بالرمز | أ 11 | أ12 أ 22 أ32 أ = أ22 أ32 أ13 أ 23 أ33 أ23 أ33 وهو لاحظ أننا حصلنا علي هذا المحدد بحذف الصف والعمود المتقاطعين علي العنصر أ11كالآتي: أ11 أ 21 أ31 أ12 أ 22 أ32 أ13 أ 23 أ33

5. بالمثل فإن المحدد الأصغر المناظر للعنصر أ21 يرمز له بالرمز | أ 21 | هو أ12 أ32 أ12 أ22 أ21 أ31 فإن المحدد الأصغر المناظر للعنصر أ31 يرمز له بالرمز | أ 31| هو أ13 أ33 أ13 أ23 أ23 أ33 فإن المحدد الأصغر المناظر للعنصر أ12 يرمز له بالرمز | أ 12| هو وهكذا، وجميع المحددات هي محددات من الرتبة الثانية

6. ملاحظات مهمة 1- إذا كانت أ مصفوفة مربعة علي النظم 3 × 3 علي الصورة: ، ومحدد أ يرمز له بالرمز | أ | حيث: | أ | أ11 أ 21 أ31 أ12 أ 22 أ32 أ = أ12 أ32 أ22 أ32 أ12 أ22 أ13 أ 23 أ33 أ13 أ33 أ23 أ33 أ13 أ23 = أ 11 - أ 21 + أ 31 = أ 11 | أ 11 | - أ 21 | أ 21 | + أ 31 | أ 31 |

7. ملاحظات مهمة 2- لاحظ أننا ضربنا كل عنصر في المحدد الأصغر المناظر له مسبوقًا بالإشارات + ، - ، + علي الترتيب وإشارة المحدد الأصغر المناظر للعنصر أ و هـ تتعين بالقاعدة: إشارة | أ و هـ | هي نفس إشارة ( - 1 ) و + هـ فمثلا إشارة | أ 21 | هي نفس إشارة ( -1 ) 1 + 2 وهي سالبة وإشارة | أ 31 | هي نفس إشارة ( -1 ) 1 + 3 وهي موجبة وبعبارة أخري: • لتحديد إشارة أي محدد أصغر مناظر لعنصر ما نجمع رتبتي الصف، والعمود اللذين يتقاطعان عند هذا العنصر: • فإذا كان مجموع الرتبتين زوجيًا كانت الإشارة موجبة. • إذا كان مجموع الرتبتين فرديًا كانت الإشارة سالبة. • ونلاحظ أن قاعدة الإشارات للمحدد الأصغر تكون كالآتي: + - + - + - + - +

8. ملاحظات مهمة 3- يمكن فك المحدد بدلالة عناصر أي صف ( أو عمود ) ومحدداتها الصغري ولكن بإشارة مناسبة.

9. محدد المصفوفة المثلثية المصفوفة المثلثية هي مصفوفة جميع عناصرها التي تحت القطر الرئيسي ( أو فوقه) أصفار فمثلا 2 3 ، ، 0 5 ونلاحظ أن قيمة محدد المصفوفة المثلثية يساوي حاصل ضرب عناصر قطرها الرئيسي 2 6 8 1 0 0 6 4 0 0 9 5 أي أن: أ11 0 0 2 5 7 0 0 1 أ12 أ 22 0 = أ 11 أ22 أ 33 أ13 أ 23 أ33

10. أي أن: أ11 0 0 أ12 أ 22 0 = أ 11 أ22 أ 33 أ13 أ 23 أ33 ولبرهان ذلك نفك المحدد باستخدام عناصر الصف الأول أ11 0 0 أ12 أ 22 0 =أ 11 ( أ22× أ33 – أ 23 × 0 ) = أ 11 أ22 أ 33 أ13 أ 23 أ33

11. إيجاد مساحة سطح مثلث باستخدام المحددات يمكنك استخدام المحددات لإيجاد مساحة سطح المثلث، بمعلومية إحداثيات رؤوسه كالآتي مساحة سطح المثلث الذي رؤوسه: س( أ ، ب ) ، ص( جـ ، د ) ، ع ( هـ ، و ) هي | م | حيث: أ ب 1 م = جـ د 1 لاحظ أن: م تعني قيمة م الموجبة 1 2 هـ و 1

12. حل نظام من المعادلات الخطية بطريقة كرامر 1- حل أنظمة المعادلات الخطية في مجهولين إذا كان لدينا نظام من المعادلات الخطية في مجهولين كالآتي: مصفوفة المعاملات هي المصفوفة التي عناصرها معاملا المجهولين بعد ترتيب النظام أ س + ب ص = م جـ س +د ص = ن لإيجاد قيمة س ، ص: أ ب م ب إذن محدد مصفوفة المعاملات ويرمز له ∆ = جـ د ن د محدد المجهول س ويرمز له الرمز ∆ س = أ ب أ م محدد المجهول ص ويرمز له الرمز ∆ ص = جـ د جـ ن

13. فيكون: ∆ص ــــــــــــــ ص = ∆س ∆ م د – ب ن ــــــــــــــ س = = ـــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ ∆ أ د – ب جـ أ ب م ب أ ب أ م أن - م جـ جـ د ن د جـ د جـ ن = ـــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ أ د – ب جـ

14. 1- حل أنظمة المعادلات الخطية في ثلاثة مجاهيل إذا كان لدينا نظام من المعادلات الخطية في مجهولين كالآتي: أ1 س + ب1 ص + جـ 1 ع = م أ2 س + ب2 ص + جـ 2 ع = ن أ3 س + ب3 ص + جـ 3 ع = ك لإيجاد قيمة س ، ص ، ع: م ب1 جـ 1 أ 1 م جـ 1 أ 1 ب1 جـ 1 إذن محدد مصفوفة المعاملات ويرمز له ∆ = أ 2 ن جـ 2 أ 2 ب2 جـ 2 ن ب2 جـ 2 أ 3 ب3 جـ 3 ك ب3 جـ 3 أ 3 ك جـ 3 محدد المجهول س ويرمز له الرمز ∆ س = محدد المجهول ص ويرمز له الرمز ∆ ص =

15. محدد المجهول ع ويرمز له الرمز ∆ع = ∆ع ∆ص ∆س والآن إذا فرضنا أن ∆ ≠ صفر فإن س = ــــــــــــــــــ ، ص = ــــــــــــــــــــ ، ع = ــــــــــــــــــــــــ ∆ ∆ ∆ أ 1 ب1 م أ 2 ب2 ن أ 3 ب3 ك