Раздел III 3 . Хидравлика на канализационните мрежи

1. Раздел III3. Хидравлика на канализационните мрежи Тема 17 Математическо моделиране на потоците в канализационната мрежа • Уравнения на De Saint Venant • Особености на прехода от и към напорен режим (Концепция на пиезометричния процеп на Preisman)

2. 3.1. Уравнения на De Saint Venant • Безнапорните нестационарни неравномерни движения на водата в призматични легла могат да бъдат описани формално чрез система от две уравнения, отразяващи два фундаментални физични закона – за съхранение на масата (за непрекъснатостта на потока) и за съхранение на количеството на движението (втори закон на Newton) • Това математическо описание (модел) на такива потоци е предложено от De Saint Venant през 1871 г. Уравнение на непрекъснатостта на потока

3. Уравнение на непрекъснатостта на потока • Относно масата на водата с плътност ρ в произволно избран обем на потока с дължина ∆x, изминаван за време ∆t, може да се запише: (1) • Тъй като ∆x е много малка величина, то може да се приеме ∆x2 = 0 • Тогава (2) • Относно масовия баланс за участъка с дължина ∆x може да се запише: (3) • Или (4)

4. Уравнение на непрекъснатостта на потока • Относно диференциалa на произведението в лявата част на уравнение (3) може да се запише: (5) • От друга страна е валиден изразът: (6) • Oтносно d∆x/dtпри ∆t→0може да се запише по дефиниция: (7) • Или (8)

5. Уравнение на непрекъснатостта на потока • Относно пълния диференциал на функцията F = f(x,t)може да се запише: (9) Или (10) • При заместването на изразите (8) и (10) в уравнение (5) се получава: (11) Или предвид израза (3), зависимостта (11) приема вида: (12) Или (13)

6. Уравнение на непрекъснатостта на потока • Относно втория и третия член в лявата част на уравнение (13) може да се запише: (14) • Предвид на израза (14), уравнение (13) добива окончателно вида, известен като уравнение на непрекъснатостта : (15) • При отсъствие на страничен приток q и при правоъгълен профил на потока с ширина B и воден стоеж h, уравнение (15) приема вида: (16) • При стационарно движение уравнение (16) има вида: (17)

7. Уравнение за запазване на количеството на движение • Съгласно втория закон на Newton, изменението на количеството на движението е равно на сумата от силите Pi, които предизвикват това изменение: (18) • Относно пълния диференциал на скоростта v можедасе запише: (19) • От друга страна е валиден изразът dx/dt = v. • Тогава лявата част на уравнение (18) може да бъде представено във вида: (20) • За дефиниране на дясната част на уравнение (18) трябва да бъдат разгледани силите Pi

8. Уравнение за запазване на количеството на движение • Силите на хидростатичния натискFp, на триене Ffина теглото Gi, които действат по оста xсъответно на границите и в обема на произволно избранoто елементарно водно тяло от потока с дължина ∆x, измината за време ∆t,могат да бъдат представени графично, както следва:

9. Уравнение за запазване на количеството на движение • Относно компонентата Giна теглото G може да се запише: Gi = m.g.i (21) • Относно силата на триене Ff може да се запише: Ff = m.g.I (22) • Относно резултантната на силите на хидростатичния натиск се получава: (23) • За призматично легло с правоъгълен профил (ширина B, воден стоеж h и площ на живото сечение S), последният израз може да бъде представен по дефиниция, както следва: (24)

10. Уравнение за запазване на количеството на движение • Предвид изразите (20), (21), (22) и (24), уравнение (18) приема вида: (25) Илиокончателно: (26) • Последното уравнение е известно като “пълно динамично уравнение на De Saint Venant” • Уравнението на De Saint Venant се прилага и в следните опростени модификации в някои от симулационните програмни продукти: • Без първия член – безинерционна вълнả • Без първите два члена - стационарна вълнả (стационарно неравномерно движение) • Без първите три члена - кинематична вълнả (равномерно движение)

11. 3.1. Уравнения на De Saint Venant • Двете уравнения на De Saint Venant бяха изведени по-горе при приемането на правоъгълно живо сечение на потока. • За канализацията обаче са характерни по-сложни тръбни профили, чиито геометрични параметри се изразяват чрез трансцендентни уравнения. • За кръгло сечение са характерни следните геометрични и хидравлични зависимости:

12. 3.1. Уравнения на De SaintVenant • За сложните (неправоъгълни) канализационни профили при извеждането на уравненията на De Saint Venant с отчитане на съответните геометрични и хидравлични характеристики се получават следните изрази: където Φ1(h)и Φ2(h)са комплицирани трансцендентни алгебрични функции

13. 3.2.Особености на прехода от и към напорен режим • Уравненията на De Saint Venant са валидни само за безнапорни потоци, а в канализационните участъци е възможно при определени условия да възникват и напорни движения които, както е известно, се описват формално с други (по-прости) зависимости • При моделирането на динамичните потоци в канализационните мрежи е важно да се дефинират точно местата и моментите на преход от и към напорен режим, за да бъдат прилагани своевременно и адекватно съответните зависимости • Ясно е, че определянето на тези пунктове и моменти е практически невъзможно, затова в съвременните модели и програмни продукти се прилага една опростяваща виртуална конструкция на правите тръбни участъци, известна като “концепция на пиезометричния процеп на Preisman” • Както се вижда от илюстрацията на следващия слайд, пиезометричният процеп на Preisman решава радикално проблема с преминаването от и към напорен режим в правите канализационни участъци, като въвежда профил с безнапорно движение, при което дори при хидравлично претоварване на канализационния участък навсякъде и във всеки момент са валидни уравненията на De Saint Venant

14. 3.2.Особености на прехода от и към напорен режим • Ширината на пиезометричния процеп b може да бъде определена с израза: където с - скоростта на звука във водна среда • Обикновено се приема b = 0,1D с което при моделирането неизбежно се внася известна (но приемливо малка) грешка