第 4 章库存管理

第4章库存管理 4 CHAPTER 内容提要 ●库存是指各种资源的储备，存贮论是要回答：到底应该保持多少存货才算是合理的。 ●存贮论中有需求、补充、费用和存贮策略等基本概念。 ●介绍确定性存贮模型和随机性存储模型

第4章库存管理 库存管理也称为存储管理。库存是指各种资源的储备。国家有库存，企业有库存，家庭、个人也有库存。当然，这里主要研究企业的库存问题。近年来的统计数据表明，库存费用已占库存物品价值的20% ～ 40%，因此物流中的库存控制是十分重要的。

第4章库存管理 制造厂商为了避免发生停工待料现象，就要储存一定数量的原料；商店为了避免缺货现象而失去销售机会也会储存一定数量的商品。事实上，所有的公司（包括JIT方式下的公司）都要保持一定的库存。保持一定的库存是正常的。但是我们还应注意到库存需要付出代价，而且高库存一般是没有必要的。

第4章库存管理 储存过多除积压资金外，还要支付一笔存贮保管费用，同时存货有可能成为陈旧物，所以持有存货是有风险的。一方面需要存货，另一方面持有存货既有成本，又有风险，于是就产生了一个问题：“到底应该保持多少存货才算是合理的”？

第4章库存管理 专门研究这类有关存储问题的科学，构成了运筹学的一个分支，叫做存贮论（Inventor theory），也称为库存论。在存贮论中，上述问题以另外两个问题的形式出现：（1）什么时间进行订货? （2）每次订货量为多少？

4.1 存贮模型中的基本概念 一般地，在讨论一个存储问题时将涉及以下几个基本概念：需求、补充、费用和存储策略等。

4.1.1 需求（也称为存贮的输出） 需求是指单位时间（以年、月、日或其他量为单位）内对某种物质的需求量，我们用R来表示。对存储来讲，随着需求的发生（即从存储中取出一定数量的库存），使存储量减少，这也就是存储的输出。需求可分为连续性需求和间断性需求。在连续性需求中，随着时间的变化，需求连续地发生，因而存贮量也连续减少；在间断性需求中，需求发生的时间极短，可以看作瞬时发生，因而存贮量的变化是跳跃式地减少。如图4.1、图4.2所示：

库存1 库存2 库存1 库存2 T 0 T 0 图4.2 图4.1 4.1.1 需求（也称为存贮的输出）图4.1表示，当连续性需求发生时，输出是连续的。图4.2表示，当间断性需求发生时，输出是间断的。

4.1.1 需求（也称为存贮的输出） 根据需求的数量特征，可将需求分为确定性需求和随机性需求。在确定性需求中，需求发生的时间和数量是确定的，如面粉厂每天按合同卖给食品厂120包面粉。在随机性需求中，需求是随机的，如车站售报亭每日卖出的报纸可能是1000份，也可能是800份。但是经过大量的统计以后，可能会发现每日卖出的报纸数量的统计规律，故称之为具有某种随机分布的需求。对于随机性需求，要了解需求发生的时间和数量的统计规律性。

4.1.2 补充（也称为存贮的输入） 从开始订货（或发出内部生产指令）到存贮的实现（入库并处于随时可供输出以满足需求的状态）需要经历一段时间。这段时间可以分为两部分。

4.1.2 补充（也称为存贮的输入） 1、拖后时间（或提前时间）从开始订货到开始补充（开始生产或货物到达）货物的这段时间称为拖后时间。但是，从为了按时补充存储，需要何时订货的角度看，这段时间也可称为提前时间。在同一存储问题中，拖后时间和提前时间是一致的，只是观察的角度不同而已。拖后时间可能很长，也可能很短；可能是随机性的，也可以是确定性的。

4.1.2 补充（也称为存贮的输入） 2．入库时间（或生产时间）从开始补充到补充完毕的时间称为入库时间（或生产时间）。这部分时间和拖后时间一样可能很长，也可能很短；可能是随机性的，也可以是确定性的。对存储问题进行研究的目的是找出一个存储策略，以确定多少时间补充一次以及每次补充多少数量的货最为合理。

4.1.3 费用 评价一个存储策略的优劣，常常以费用标准进行衡量，即计算该策略所耗用的费用为多少来优选存储策略。下面介绍费用项目的构成和属性。

4.1.3 费用 1、订货费订货费是指一次订货所需的费用。它包括两项费用，其一是订购费，如手续费，通信联络费，出差旅费等，它与订货的数量无关；其二是货物的成本费，如货物本身的价格，运输费等，它与订货的数量有关。如货物单价为K元，订购费用为C3元，订货数量为Q，则订货费用为C3+KQ。由于货物本身的单价与存贮系统的费用无关，因此。通常可不考虑货物的成本费，即订货费就指订购费。

4.1.3 费用 2、生产费生产费是指自行生产一次，以补充存贮所需的费用。它包括装配费和生产产品的费用，装配费与生产产品的数量无关；而生产产品的费用与产品的数量有关，与订货费类似，生产费一般不考虑生产产品的费用．即生产费专指装配费。 3. 存贮费存贮费是指保存物资所需费用。它包括使用仓库费，占有流动资金所损失的利息，保险费，存贮物资的税金，管理费，保管过程中的损坏所造成的损耗费等。

4.1.3 费用 4. 缺货费缺货费是指所存贮的物资供不应求所引起的损失费。它包括由于缺货所引起的影响生产、生活、利润、信誉等损失费。它既与缺货数量有关，也与缺货时间有关。为讨论方便，假设缺货损失费与缺货的数量成正比，与时间无关。

4.1.4 存贮策略 1、t-循环策略 t-循环策略：不论实际的存贮状态如何，总是每隔一个固定的时间t，补充一个固定的存贮量Q。

4.1.4 存贮策略 2、（t，S）策略（t，S）策略：每隔一个固定的时间t补充一次，补充数量以补足一个固定的最大存贮量S为准。因此，每次补充的数量是不固定的，要视实际存贮量而定。当存贮（余额）为I时，补充数量为Q=S－I。

4.1.4 存贮策略 3、(s，S)策略 (s，S)策略：当存贮(余额)为I时，若I＞s，则不对存贮进行补充；若I≤s，则对存贮进行补充，补充数量Q=S－I。补充后存贮量达到最大存贮量S。s称为订货点(或保险存贮量、安全存贮量、警戒点等)。在很多情况下，实际存贮量需要通过盘点才能得知。

4.1.4 存贮策略 4、（t，s，S）策略若每隔一个固定的时间t盘点一次，得知当时存贮 I，然后根据 I是否超过订货点s，决定是否订货、订货多少，这样的策略成为（t，s，S）策略。

4.2 确定型存贮模型 在存储系统中，如果需求（即销售）的速度R等都是确定的，就称这类存储模型为确定性存储模型。下面介绍确定型存储模型的几种常见的类型。

4.1.1 模型I 不允许缺货的订货—销售存贮模型 这类存储模型的特点是：需求是连续均匀的，需求（即销售）的速度为R，不允许发生缺货，否则缺货费用为无穷大；一旦存储量下降至零，则通过订货立即得到补充（补充时间极短），即货物瞬时到达，或订货提前期为零，如图4.3所示。销售开始时库存量为OA，随着均匀销售而降到零，即到达点B，通过订货库存量立即补充为BE（BEOA），再继续销售并一直重复下去。现在的问题是：每次通过订货立即得到的补充数量，即订货批量BE是多少，相邻两次订货的间隔时间（简称订货周期）又是多少，才能使总费用最小？

4.1.1 模型I 不允许缺货的订货—销售存贮模型库存量 E A B O T T 时间 t 图4.3 模型Ⅰ示意图

4.1.1 模型I 不允许缺货的订货—销售存贮模型 现考虑一个计划期t（年、季、月）内的情况。由于该问题是不允许缺货的订货—销售存储问题，故费用函数中无缺货损失费和装配费，即： F(Q)=订购费＋贮存费0000=每次订购费╳t内订购次数＋单个存贮周期的存贮费╳t内4存贮周期的次数

4.1.1 模型I 不允许缺货的订货—销售存贮模型 下面设法求出了f（Q）的表达式。假设货物的销售速度为R(常数），订货批量Q(OA＝BE)，4订货周期(贮存周期)为T(OB)，又设一次订购费为C3，t内货物4单位存贮费为C1。因为在时间t内，订购货物的总量应等于销售货物总量R t ，4所以在t 时间内的订购次数为：（公式4-1）

在一个订货周期T内，补充订货量应等于该时间内货物的销售量，即在一个订货周期T内，补充订货量应等于该时间内货物的销售量，即或（公式4-2）由图4.3 可以看出，在一个存贮周期T内的存贮量恰好为OAB的面积即，于是: = 4.1.1 模型I 不允许缺货的订货—销售存贮模型 = （公式4-3）

为使费用最小，对4-3 式中对Q求导得： 令 ,解得且因此，当时，取极小值，即为最优订货批量。 4.1.1 模型I 不允许缺货的订货—销售存贮模型（公式4-4）

（公式4-5） （公式4-6） = （公式4-7） 4.1.1 模型I 不允许缺货的订货—销售存贮模型最佳定货周期：一个计划期t内的最佳定货次数 [X]表示不超过X的最大整数。计划期t 内的最小费用为：

4.1.1 模型I 不允许缺货的订货—销售存贮模型 该存贮模型的最优存贮策略是：在计划期t 内，每相隔订货一次，其订货次，每次订货量，这时t 内的最小费用为。

4.1.1 模型I 不允许缺货的订货—销售存贮模型 说明：（1）在C1 C3一定的条件下，由（公式4-4 ）知Q 与R不成正比，而与R的平方根成正比，当C3=0时，由（公式4-6）知，n*=。表明订购费为零时，订购次数越多越好；（2）上述模型是否会出现定货批量Q不是常数；回答是否定的，在需求速度R为常数情况下可证只有Q1 =Q2 ，计划期t 内的费用才会最小；

4.1.1 模型I 不允许缺货的订货—销售存贮模型 （3）最小费用中没有考虑货物成本—但不影响上述公式，如果需要考虑成本，只要在最小费用上加项KRt （K为单位成本）；（4）该模型是在理想的条件下进行的与实际情况有差距，但从这里可以学到分析存贮问题的方法，以便研究更复杂的问题。

4.1.1 模型I 不允许缺货的订货—销售存贮模型 例4.1某物资销售速度为2吨/天，订购费用为10元/次，每天存贮费为每吨0.2元/(吨·天)，若以一年(按306天计算)为一个计划期，求该存贮系统的最佳订货批量、最佳订货周期、最佳订货次数，及计划期内的最小费用。

14.1(吨/次) 7.07(天) [43.27]=43(次) 4.1.1 模型I 不允许缺货的订货—销售存贮模型解R＝(2吨/天)，C3＝10(元/次)，C1＝0.2元/(吨·天)，t=306(天) 则： = 865.5(元/年)

4.2.2 模型Ⅱ 不允许缺货的生产—销售模型 模型Ⅱ与模型Ⅰ相似，仅是补充方式不同。模型Ⅰ是订货（补充时间极短），模型Ⅱ是自行生产（补充时间较长），即：随着每批货物的生产，陆续供应需求，同时将多余的货物入库存储，如图4.4所示。仍考虑计划期为t的情况。设生产速度为P（常数），销售速度为R（常数）,每次生产批量为Q，生产周期为T，最大库存量为S。

4.2.2 模型Ⅱ 不允许缺货的生产—销售模型 因而开始时，一方面以速度P生产货物，另一方以速度R销售货物，且PR＞0。因此，以库存速度PR进行库存。假设经时间Tp库存已满，即最大库存量为 S（PR）Tp 此时停止生产，而只以速度R进行销售，直至库存为零完成一周期，则不生产时间为 TkTTp 即：生产周期T分为纯生产时间Tp和不生产时间Tk。

A S • B Tp Tk T t 图4.4 模型Ⅱ示意图 4.2.2 模型Ⅱ 不允许缺货的生产—销售模型库存量 O 时间

4.2.2 模型Ⅱ 不允许缺货的生产—销售模型 由于生产批量Q 就是时间TP内的生产量PTP，同时也是一个存贮周期T内货物的销售量RT，故 Q＝PTP＝RT （公式4-8）在计划期t内的生产次数 n，为：（公式4-9）

4.2.2 模型Ⅱ 不允许缺货的生产—销售模型 而在T内的存储量为，即△OAB的面积。仍设t内单位货物的存储费为C1，而生产的装配费为C3，则计划期t内的总费用为f（Q）装配费存储费 每次生产的装配费t内生产次数单个存储周期的存储费t内存储周期的次数     （4-10）

为了求出使f(Q)取极小的 ，只要将上式对Q求导，且令，便得到最佳生产批量为：（公式4-11）最大库存量（公式4-12）最佳生产周期：（公式4-13） 4.2.2 模型Ⅱ 不允许缺货的生产—销售模型

= 4.2.2 模型Ⅱ 不允许缺货的生产—销售模型（公式4-14）最佳生产次数：以及计划期t 内的最小费用为：（公式4-15）

如果生产货物的速度P很大，即P R，则 故即模型I模型Ⅱ的特例。 4.2.2 模型Ⅱ 不允许缺货的生产—销售模型

4.2.2 模型Ⅱ 不允许缺货的生产—销售模型 例4.2 某装配车间每月需要零件甲400件，该零件由厂内生产，生产率为每月800件，每批生产准备费为100元，每月每件零件的存贮费为0.5元，试求最小费用与经济批量。解该问题符合模型Ⅱ的假定条件，因此可直接应用上述公式。已知：C1=0.5元/(件·月)，C3＝100元，R=400件/月， P＝800件/月

566(件) = 1.4(月) 0.7(月) =141.4(元/月) = = (800-400)╳0.7=280(件) 4.2.2 模型Ⅱ 不允许缺货的生产—销售模型于是有：

4.2.2 模型Ⅱ 不允许缺货的生产—销售模型 即每次的经济批量为566件，这566 件只需0.7月可生产完成，相隔0.7月后。进行第二批量的生产，周期为1.4月，最大存贮水平为280件，最小费用为：141.4元／月。

4.2.3 模型Ⅲ 允许缺货的订货—销售存贮模型 模型Ⅲ和模型Ⅰ大致相同，只是在两次订货的间隔内有一段时间允许暂时缺货，等下次来货时再集中补充所短缺的部分。假设销售货物的速度为R，订货批量为 Q，最大库存量为S，S’＝Q-S为缺货量，t＝n T为计划期，其中T为存贮周期，n为周期次数。这时T分为两段T1和T2，在T1段上不缺货，以速度R均匀地销售货物。直至库存为零，但不是马上补充，而要停止一段时间T2，即T2缺货时间，然后从下个周期开始时通过订货进行补充。先补充短缺部分S‘，再补充库存S，这样完成计划期内的一个周期，然后重复下去。如图4.5所示．

4.2.3 模型Ⅲ 允许缺货的订货—销售存贮模型 由以上假设可知，在t内的周期次数（4-16）又一个周期T内的订货量Q应等于T内的销售量RT，即；（4-17）

4.2.3 模型Ⅲ 允许缺货的订货—销售存贮模型 而T1段上的销售量RT1，恰好把库存量S销完，即；（4-18）（4-19）而在T1段上的存储量为（△OBA的面积）；T2段上的缺货量为（△BCE的面积）

Q 4.2.3 模型Ⅲ 允许缺货的订货—销售存贮模型库存量 A s o B T2 E T1 时间 S’ C T t 图4.5 模型Ⅲ示意图

= = 4.2.3 模型Ⅲ 允许缺货的订货—销售存贮模型假设在t内单位货物的存储费为C1，单位货物的缺货损失费为C2，一次订购费为C3，那么计划期t内总费用为 f (Q，S)=订购费+存贮费+缺货损失费 =单次订购费╳订购次数＋单个周期的存贮费╳周期次数＋单个周期的缺货损失费╳周期次数（公式4-20）

4.2.3 模型Ⅲ 允许缺货的订货—销售存贮模型 式中，f为Q和S的函数，令

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