Model dyskretny systemu ciągłego

1. Model dyskretny systemu ciągłego Odpowiedź stanu systemu ciągłego (t0 = 0) lub Dla dwóch kolejnych chwil próbkowania Przemnażając przez wyrażenie na i odejmując od wyrażenia na

2. Przyjmując, że u(t) jest stałe pomiędzy chwilami próbkowania Odpowiedź stanu systemu ciągłego (t0 = 0) Zmieniając zmienna całkowania Definiujemy macierze możemy napisać równanie stanu lub w postaci uproszczonej

3. Odpowiadające równanie wyjścia przy czym Dla wartości własnych macierzy A oraz AD zachodzi (twierdzenie Frobenius’a)

4. Podsumowanie Mając model systemu ciągłego: Model systemu dyskretnego: przy czym:

5. Przykład 1 Dany jest model transmitancyjny systemu ciągłego Zbudować model przestrzeni stanu ciągły i dyskretny Metoda zmiennej pomocniczej

6. Zmienne stanu Równania stanu w dziedzinie zmiennej s Równania stanu w dziedzinie zmiennej t Równania wyjścia w dziedzinie zmiennej s Równania wyjścia w dziedzinie zmiennej t

7. Ostatecznie Macierz tranzycji w dziedzinie zmiennej s Macierz tranzycji w dziedzinie zmiennej t

8. Wprowadzenie impulsatora i ekstrapolatora zerowego rzędu Dla okresu próbkowania Ts = 1s

10. Przykład 2 Dany jest model systemu ciągłego w przestrzeni stanu Znaleźć odpowiedź modelu dyskretnego na wymuszenie skokowe jednostkowe Wartości własne systemu są zespolone, sprzężone Układ drugiego rzędu oscylacyjny, o pulsacji drgań nietłumionych i współczynniku tłumienia odpowiednio

11. Dyskretyzacja z wprowadzeniem impulsatora i ekstrapolatora zerowego rzędu Dla Ts = 0.1 otrzymamy I oczywiście

12. Wartości własne macierz AD Sprawdzić! Stan i wyjście policzymy rekurencyjnie, zakładając zerowe warunki początkowe

13. Wynik

14. Przebieg zmiennych stanu, Ts = 0.1s

15. Przebieg zmiennej wyjścia, Ts = 0.1s

16. Przebieg zmiennej wyjścia, Ts = 0.5s

17. Przebieg zmiennej wyjścia, Ts = 2s

18. Transmitancja, Ts = 0.1s

19. Ostatecznie

20. Sterowalność i obserwowalność Obok stabilności – dwa podstawowe pojęcia teorii sterowania Przykład 3 Mamy system Liniowy, stacjonarny, 1 – wejście, 1 - wyjście

21. Transmitancja Zera i bieguny transmitancji Transmitancja po redukcji

22. Schemat blokowy modelu przestrzeni stanu

23. Transformacja do postaci diagonalnej Schemat blokowy modelu w nowej przestrzeni stanu

24. Cztery różne statusy zmiennych stanu: - v1 można na niego wpływać sterowaniem u i można go obserwować z wyjścia y - v2 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ale można go obserwować z wyjścia y - v3 można na niego wpływać sterowaniem u, ale nie można go obserwować z wyjścia y - v4 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ani nie można go obserwować z wyjścia y

25. Można wyróżnić cztery podsystemy: - związany ze zmienną stanu v1 sterowalny i obserwowalny - związany ze zmienną stanu v2 niesterowalny, ale obserwowalny - związany ze zmienną stanu v3 sterowalny, ale nieobserwowalny - związany ze zmienną stanu v4 niesterowalny i nieobserwowalny Stany niesterowalne i nieobserwowalne mogą być alb stabilne, albo niestabilne System, którego wszystkie stany niesterowalne są stabilne jest nazywany stabilizowalnym System, którego wszystkie stany nieobserwowalne są stabilne jest nazywany wykrywalnym

26. Sterowalność Sterowalność określa możliwości wpływania na stan (lub wyjście) systemu odpowiednim ukształtowaniem wejścia Ogólnie wyróżnia się dwa określenia sterowalności: 1. Sterowalność do początku (controllability-to-the-origin), nazywana krócej sterowalnością (controllability) 2. Sterowalność od początku (controllability-from-the-origin), nazywana krócej osiągalnością (reachability) Ograniczymy się do zapoznania się z podstawowymi wynikami znanymi dla systemów liniowych, a w szczególności stacjonarnych

27. Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy: Stan x0 nazywamy sterowalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza stan systemu x(t) z stanu x0 do stanu zerowego w pewnym skończonym czasie T Stan zerowy osiągany ze stanu x0 przy zastosowaniu różnych wejść u1(t) i u2(t), w różnych skończonych czasach T1 i T2 oraz po różnych trajektoriach Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy: Stan x1 nazywamy osiągalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza stan systemu x(t) z stanu zerowego do stanu x1 w pewnym skończonym czasie T Stan x1 osiągany ze stanu zerowego przy zastosowaniu różnych wejść u1(t) i u2(t), w różnych skończonych czasach T1 i T2 oraz po różnych trajektoriach

28. Systemy ciągłe Sterowalność stanu Stan sterowalny Stan systemu liniowego jest sterowalny, jeżeli można system przeprowadzić z tego stanu do stanu za pomocą odpowiedniego wejścia w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest sterowalny, mówimy, że system jest całkowiciesterowalny lub krócej sterowalny

29. Sterowalność systemu System sterowalny System liniowy jest sterowalny w skończonym przedziale czasu , jeżeli istnieje wejście , które przeprowadzi system z dowolnego stanu do stanu zerowego Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu na który nie można oddziaływać przez jakiekolwiek wejście systemu, wówczas system jest niesterowalny

30. Sterowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego Twierdzenie SSC LS1 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy sterowalności: nxnm; n – wymiar stanu, m – wymiar wejścia Dla m=1 macierz sterowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia sterowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy sterowalności

31. Przykład 4. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Konstruujemy macierz sterowalności

32. Stąd Dla sprawdzenia sterowalności policzymy wyznacznik zatem System jest niesterowalny (względem stanów)

33. Lewa górna podmacierz macierzy sterowalności ma wyznacznik różny od zera, zatem Przykład 5. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu

34. Transmitancja systemu Konstruujemy macierz sterowalności stąd

35. Macierz sterowalności jest niezależna od współczynników licznika transmitancji systemu Wyznacznik macierzy sterowalności Wyznacznik macierzy sterowalności nie zależy współczynników wielomianu charakterystycznego a0, a1 oraz a2, zatem system o takiej strukturze jest zawsze sterowalny względem stanu

36. Przykład 3 - powrót Konstruujemy macierz sterowalności Dwa stany sterowalne, dwa niesterowalne

37. Zwykle i-ty wektor własny odpowiadający i-tej wartości własnej macierzy A jest definiowany Ze względu na porządek mnożenia, tak określony wektor własny vi jest nazywany prawostronnym wektorem własnym Podobnie można zdefiniować lewostronny wektor własny wi Dokonując transpozycji Widać: lewostronne wektory własne A są prawostronnymi wektorami własnymi AT

38. Twierdzenie SSC LS2 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz B

39. Twierdzenie SSC LS3 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+m) ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a

40. Twierdzenie SSC LS4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz B nie ma wierszy zerowych

41. Sterowalność a przekształcenia podobieństwa Sterowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa

42. Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność są równoważne Możemy tą równoważność wypowiedzieć w następujący sposób: Jeżeli system ciągły posiada cechę sterowalności stwierdzoną w oparciu o podane wyżej twierdzenie, to oznacza to, że będziemy mogli znaleźć trajektorię wejścia, która będzie przemieszczać system z dowolnego stanu początkowego do dowolnego stanu końcowego System ciągły sterowalny  system ciągły osiągalny

43. Przykład 3 - powrót Test sterowalności Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a Lewostronne wektory własne dla dla dla dla

44. Patrząc na nietrudno spostrzec, że System jest niesterowalny

45. Przykład 6. Układ elektryczny; wejście – napięcie u, wyjście - prąd y Budowa modelu Równania bilansowe Zależność wiążąca Różniczkując zależność wiążącą i podstawiając do drugiego równania bilansowego

46. Wybierając zmienne stanu Równania stanu Równanie wyjścia System z natury ma diagonalną strukturę – możemy zastosować Twierdzenie 4 jeżeli wartości własne są jednokrotne

47. Wartości własne Ponieważ obydwa wiersze macierzy B są zawsze niezerowe – system jest sterowalny, jeżeli tylko wartości własne są jednokrotne Macierz testu Kalmana

48. Wyznacznik macierzy Kalmana Jeżeli wartości parametrów elementów układu Równania stanu Równanie wyjścia Wartość własna dwukrotna

49. Wyznacznik macierzy Kalmana Schemat blokowy układu Równania stanu są niezależne Odpowiedzi stanu gdzie, , x10 i x20 – warunki początkowe

50. Do stanu końcowego Można doprowadzić system tylko ze stanów początkowych a nie ze wszystkich