第十二章轴对称

第十二章轴对称 小结与复习第一节

一.轴对称图形 • 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 • 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做_对称点_____. 1、轴对称图形： 2、轴对称：

知识回顾： 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形轴对称图形一个两个 (1)轴对称图形是指( ) 具有特殊形状的图形, 只对( )图形而言; (2)对称轴( )只有一条 (1)轴对称是指( )图形的位置关系,必须涉及 ( )图形; (2)只有( )对称轴. 区别一个两个一条不一定如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形. 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称. 联系

4、轴对称的性质： ①关于某直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

练习： 1、国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是（） A.加拿大、韩国、乌拉圭 B.加拿大、瑞典、澳大利亚 C.加拿大、瑞典、瑞士 D.乌拉圭、瑞典、瑞士 C 加拿大韩国澳大利亚乌拉圭瑞典瑞士

2、小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现“ ”的样子，请你判断这个英文单词是（） A (B) (A) (D) (C)

L 3、△ABC与△DEF关于直线L成轴对称，则∠C是多少度？ 650 750

3. 解:

二.线段的垂直平分线 1、什么叫线段垂直平分线？经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 2、线段垂直平分线有什么性质？线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等（纯粹性）。你能画图说明吗？

3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。（完备性）3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。（完备性） 4.线段垂直平分线的集合定义：线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合。

M A F C D B E p N G Q MN⊥AF于P AP = AF 思考？ 1、图中的对称点有哪些？ 2、点Ａ和Ｆ的连线与直线MN有什么样的关系？直线MN垂直且平分线段ＡＦ定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。图中的两个三角形关于直线MN对称

直线MN垂直平分线段AF、CD、BE M A F C D B E P. .Q p N G Q 轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。即对称点的连线被对称轴垂直平分。类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。

记住了！ 动动手，你也会有发现！画线段AB的垂直平分线L，在L上取任意点P，量一量点P到A与B的距离，你有什么发现？再取几个点试试。你能说明理由吗？结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．反过来,若AP=BP，则P在线段AB的垂直平分线上。结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.

A C B D M B A D N 理解了吗？ AD为BC的中垂线 1、因为，所以AB＝AC。理由： 2、因为，所以A在线段BC的中垂线上理由：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． AB＝AC 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 3、如图， NM是线段AB的中垂线, 下列说法正确的有：。 ①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线 ①②③

4、下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（　　） 4、下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C

会用了吗？ 典例：如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。 A 解： ∵ED是线段AB的垂直平分线 ∴ ∵ △BCD的周长=BD+DC+BC ∴ △BCD的周长= = = E D C B P91---92——1、2、3、4、5、8、9题 BD=AD AD+DC+BC AC+BC 12+7=19

这节课，你有何收获？

例如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

练习：如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴。练习：如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴。

问题：对于轴对称图形而言，如何作出它们的对称轴呢？问题：对于轴对称图形而言，如何作出它们的对称轴呢？ • 只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。

你能作出五角星的其它对称轴吗？

例：如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请画出来。例：如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请画出来。

如图，A，B是路边两个新建小区，要在路边增设一个公共汽车站。使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？如图，A，B是路边两个新建小区，要在路边增设一个公共汽车站。使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？

某地有两所大学和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定该点。某地有两所大学和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定该点。

变式训练：某地有两所大学和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定该点。变式训练：某地有两所大学和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定该点。

如图：请找出一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P在∠ACB的平分线上。如图：请找出一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P在∠ACB的平分线上。

如图，∠AOB内一点P，P1P2分别为P关于OA，OB的对称点， P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2 =5cm，求△PMN的周长。

如图，E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D。求证：OE为CD的垂直平分线。如图，E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D。求证：OE为CD的垂直平分线。

如图，长方形ABCD沿着AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，如果∠BAF=600求∠DAE，∠AEF的度数。如图，长方形ABCD沿着AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，如果∠BAF=600求∠DAE，∠AEF的度数。

如图，把一张长方形纸片ABCD对折，使点C落在E处与AD交于点O，请写出图中所有相等的线段。如图，把一张长方形纸片ABCD对折，使点C落在E处与AD交于点O，请写出图中所有相等的线段。

三.用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.三.用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等. 点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______. 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______. (x, － y) (－ x, y)

练习 (抢答) 1、完成下表. (2, 3) (-1,-2) (-6, 5) (0,1.6) (4,0) (-2, -3) (1, 2) (6, -5) (-4,0) (0, -1.6) 2、已知点P(2a+b,-3a)与点P’(8,b+2). 若点p与点p’关于x轴对称，则a=_____ b=_______. 若点p与点p’关于y轴对称，则a=_____ b=_______. 2 4 -20 6

c 0 · -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 5 4 · B 3 2 1 -1 -2 -3 -4 例：已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(- 4，1),C(-1，3)，作出△ABC关于y轴对称的图形。 y · · 解：点A(-3,5),B(-4,1), C(-1,3)，关于y轴对称点的坐标分别为A’(3,5), B’(4,1),C’(1,3).依次连接A’B’,B’C’,C’A’,就得到△ABC关于y轴对称的△A’B’C’. A A’ · C’ · B’ x 归纳:（P44）先求出已知图形中的特殊点(如多边形的顶点或端点)的对应点的坐标,描出并连接这些点,就可得到这个图形的轴对称图形.

0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 y x=1 P(-2,4) P’(4,4) · · 1 ’ M(-1,1) M’(3,1) · · -1 x -2 · · N(-3,-2) N’(5,-2) 思考：如图,分别作出点P,M,N关于直线x=1的对称点, 你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗? 15 点（x, y）关于直线x=1对称的点的坐标为（2-x, y）

D(6,5) F(3,3) E(6,1) M(-4,-3) N(-4,-7) 如图，分别作出△ABC关于直线x=1（记为m) 和直线y=-1（记为n）对称的图形，它们的对应点的坐标之间分别有什么关系？ • 如图： m Y A(-4,5) B(-1,3) C(-4,1) x X O n G(-1,-5) 点（x, y）关于直线x=1对称的点的坐标为（2-x, y）关于直线y=-1对称的点的坐标为（x, -2-y）点（x, y）关于直线x=m对称的点的坐标为（2m-x, y）,关于直线y=n对称的点的坐标为（x, 2n-y）

类似: 若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于直线y=n对称，则; 归纳:若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于直线 x=m对称，则; y1=y2 (m= ) X2=2m-x1 x1=x2 y2=2n-y1 (n= )

A P C B 1.如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。（1）求证：PA=PB=PC。（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。

4.利用轴对称变换作图： 如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？ B A L P

利用轴对称变换作图： 1.有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。 A C B

归纳： 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；连接任意一对对于的对应点的线段被对称轴垂直平分。

思考如果有一个图形和一条直线，如何作出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？

A’ B’ 如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′? 作法： 1、过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA’=OA，点A’就是点A关于直线l的对称点； 2、类似地，作出点B关于直线l的对称点B’； 3、连接A’B’. A B ∴ 线段A’B’即为所求。

B C A 例1：如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。分析：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要作的图形。作法： O l 1、过点A作直线l的垂线，垂足为点O， A’ 在垂线上截取OA’=OA， C’ 点A’就是点A关于直线l的对称点； B’ 2、类似地，分别作出点B、C关于直线l的对称点B’、C’； ∴△A’B’C’即为所求。 3、连接A’B’、B’C’、C’A’。

B B B B 我行了：如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。 C C C C A A A A A’ l l C’ B’ B’ ∴△A’B’C即为所求。 ∴△AB’C’即为所求。作法：作法： 1、分别作出点A、B关于直线l的对称点A’、B’； 1、分别作出点B、C关于直线l的对称点B’、C’； 2、连接AB’、B’C’、C’A。 2、连接A’B’、B’C、CA’。

归纳几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

利用轴对称，可以设计出精美的图案。请你用所学的知识来欣赏下列美丽的图案利用轴对称，可以设计出精美的图案。请你用所学的知识来欣赏下列美丽的图案

要在燃气管道L上修建一个 泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ B A 你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律吗？ C 哈，我知道怎样作

下面的第二个时间可由第一个怎样变换而得到

练习 1.如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形。 2.用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合.

A· M N E B 1. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） • .

第十二章 轴对称