公開鍵暗号系

公開鍵暗号系 2011/05/09

公開鍵暗号 • Diffie Hellman 鍵共有理論　1976 • 1978年R. L. Rivest, A. Shamir, L. M. Adleman • 実際には英国が最初に開発 GCHQ James Ellis 1969ClifordCoks 1973 特徴暗号化に必要な公開鍵複合化に必要な秘密鍵公開鍵と暗号化プロセス、複合化プロセスが分かっていても、秘密鍵を見つけるのは困難

RSA暗号の原理 • 素因数分解を応用概念素数p、qの積nは簡単に計算できるが、nからp、qを計算するのは困難

素因数分解の例 p = 9010279，q = 9623083 n = p ×q = 86706662670157

剰余 nをmで割った余りを m mod nと書く a1 mod n = b1 , a2 mod n =b2 とすると a1 a2 ≡　b1b2mod n a1 +a2 ≡ b1+b2mod n

Eulerの関数 • ある整数nに対し、1からn-1の整数でnと互いに素な整数の個数 • 特にnが素数pの場合、Φ(p)＝p-1 例） 8と互いに素な整数 1,3,5,7 　よってΦ(8)=4 5と互いに素な整数 1,2,3,4 よってΦ(5)=4

Eulerの定理・Fermatの小定理 • ｒとnが互いに素な場合ｒΦ(n)≡1 mod n 特にnが素数pの場合 (Fermatの小定理）ｒp-1 ≡１　mod p

Eulerの定理 • p、qを素数とすると Φ(pq)= Φ(p)Φ(q)= (p-1)(q-1) 例） p=61,q=53 pq=61x53=3233 Φ(3233)=Φ(61-1)Φ(53-1)=3120

一次合同式 • １次合同式 ax ≡ b mod m が解xを持つ必要十分条件　→　a と m の最大公約数 gcd(a, m) が， b を割り切れる • １次合同式 ax ≡ 1 mod m が解xを持つ必要十分条件 →　a と m が互いに素である

逆元の存在 • gcd(a, m) = 1 となるとき，１次合同式 ax ≡ 1 mod m の解xが m を法にして唯１つ存在する　そのx を m を法とする a の逆元という • gcd(c, m) = 1 とすると，ca ≡ cbmod m ならば， a ≡ b mod mとなる

RSA暗号の根拠 • ｎを相異なる素数ｐ，ｑの積 • ｅを gcd(e,φ(ｎ))=1 となる正整数このとき ed≡ 1 mod Φ(n)なる dが存在し ed≡ 1 mod Φ(p)Φ(q) ≡ 1 mod (p-1)(q-1) かつ xed≡x modｎ n,ｄが公開鍵、eが秘密鍵となる

数学的根拠 x(p-1)を考える x(p-1)(q-1)≡1 mod q x(q-1)を考える x(q-1)(p-1)≡ 1 mod p x(q-1)(p-1)≡ 1 mod pq　≡1 mod n

数学的根拠 ed≡ 1 mod Φ(n) ≡ 1 mod Φ(p)Φ(q) であるから ed=1 +f(p-1)(q-1) xed=xxf(p-1)(q-1) xed≡ x mod n

暗号化 AがBに暗号文を送る場合 • aを暗号化するべき数 • AはBの公開鍵ｄ、ｎを使い b=ad mod n 　　を計算する（暗号化) ・bを相手に伝える

複合化 BはAから受け取った暗号文を複合する場合 Bは自分の秘密eを用いｂe を計算する(複合化） be=(ad)e=ade＝a mod n≡a

RSA暗号の基礎 • b,nを知っているだけでは複合化に必要なdを知るのは困難 • nを素因数分解する必要がある • 実際には、複数の素数の積が使われる

素因数分解の困難さ 2009年 232桁 768bit RSA 300桁 1024bit

参考文献・URL • 暗号解読　サイモン・シン　新潮出版 ISBN4-10-539302 ・http://www.math.kobe-u.ac.jp/~taka/asir-book-html/main/node94.html

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