ЗАДАЧИ по стереометрии

1. ЗАДАЧИ по стереометрии

2. Необходимые формулы и теоремы • Площадь треугольника можно вычислить по формулам • Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле • Объем пирамиды V=1/3SоснH • Медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1 начиная от вершины • Площадь квадрата или ромба S=1/2d1d2. • Площадь ромба, параллелограмма S=ah • Радиус окружности описанной около треугольника можно вычислить по формуле • Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, расположен в середине гипотенузы

3. В правильной четырехугольной пирамиде известны длина стороны основания 2 и длина высоты 2. Найдите: а) объем пирамиды; б) площадь боковой по­верхности; в) угол наклона бокового ребра к плоскости основания; г) угол наклона боковой грани к плоскости основания; д) радиус вписанного шара; е) радиус описанного шара; ж) расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания;

4. з) расстояние от вершины пирамиды до ребра основания; и) расстояние от ребра основания до противоположной грани; к) расстояние между боковым ребром и скрещивающейся с ним диагональю ос­нования; л) объем вписанного конуса; м) площадь боковой поверхности описанного конуса.

5. 2 а) объем пирамиды; площадь боковой по­верхности; К 2 В В О

6. в) угол наклона бокового ребра к плоскости основания; В С А D 2 К ? О

7. В С А D 2 г) угол наклона боковой грани к плоскости основания; К ? О Т

8. В С К А D Р 2 О1 О Т К д) радиус вписанного шара; О Т

9. К В С А D 2 е) радиус описанного шара; О К О2 С О

10. В С А D 2 ж) расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания; К F О

11. В С К А D Н 2 Е Т О K з) расстояние от вершины пирамиды до ребра основания; и) расстояние от ребра основания до противоположной грани; Е O T

12. В С А D 2 к) расстояние между боковым ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания; К F О

13. В С А D 2 z Векторно-координатный метод K N y O S x

14. В С А D 2 K л) объем вписанного конуса; м) площадь боковой поверхности описанного конуса. O

15. "Объемы тел"

16. №1 Дано: DABC- правильная пирамида АВ=3, AD=23 Найти:V D 23 3 С О А N М В

17. №4 Дано: DABC- пирамида, треугольник АВС прямоугольный, АВ-гипотенуза АС=6, ВС=8.Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45о Найти: V D В О А 8 6 С

18. F №2 Дано: FABCD- правильная пирамида FCO=45º, FO=2 Найти: V 2 B C O A D

19. №5 Дано: DABC- пирамида, треугольник АВС равнобедренный АС=АВ=10, ВС=12. AD=BD=CD=5 Найти:V D 5 10 В О А М 10 12 С

20. F №6 Дано: FABCD- пирамида, ABCD- ромб,А=30о.hромба=6. Каждый из двугранных углов при основании равен 45о Найти:V B C М O A D К

21. №7 Дано: DABC- пирамида треугольник АВС равнобедренный АС=АВ=10, ВС=12. Каждый из двугранных углов при основании равен 45о Найти:V D 10 В О А М 10 12 С

22. 2 K 2 B C E T O A D

23. №3 Дано:FABCDEK-правильная пирамида, FO(ABC),FМAK, FO=4, FM=5 F Найти:V 4 B C O A D M K E

24. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна а и составляет угол в с плоскостью боковой грани и угол с плоскостью основания. Объем прямоугольного параллелепипеда a ? ? D С ? А В ?

25. В правильной треугольной призме через сторону ВС основания и середину бокового ребра проведено сечение, составляющее угол в с плоскостью основания. Найдите объем призмы, если сторона ее основания равна 10 см. Объем прямой призмы М С D А 10 В

26. Объем призмы и цилиндра Дана правильная шестиугольная призма, О – центр ее основания, Найдите: объем призмы; объем описанного около призмы цилиндра; объем вписанного в призму цилиндра

28. Задача Дано: АМ – наклонная к плоскости γ, МО ┴ γ, АЕ – луч на плоскости γ, образующий острый угол βс проекцией наклонной; угол МАО = α, угол ВАО = β, угол МАВ = φ. Докажите: cos φ = cos α∙ cos β М γ φ α О А β В Е

29. Задача Дано: луч АМ образует равные острые углы с лучамиAF и АЕ. Докажите: проекцией лучаАМ на плоскость EAF является биссектриса АО угла EAF. М F C А O B Е

30. Все грани параллелепипеда – равные ромбы со стороной а и острым углом Объем наклонной призмы Найдите объем параллелепипеда. D С а К α В А

31. M \\ // // \\ O А D В С Если боковые ребра пирамиды равны (или составляют равные углы с плоскостью основания), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды.

32. M \\ // \\ O А D К F В С Е Если двугранные углы при основании пирамиды равны (или равны высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

33. ВСПОМНИТЕ,ПРИГОДИТСЯ!!! • ТЕОРЕМА ПИФАГОРА: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов • В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. • В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив • угла 30°равен половине гипотенузы. • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов • Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне • Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними

34. B L=13, R=5 Дано: Найти: Н. 13 Н С О 5 А

35. ВB Дано: 0 <АВС=90, L=3 B НАЙТИ:R, H. С О А

36. 0 Дано:<АВС=120, L=6 В НАЙТИ: R,H. 120° 6 С О А

37. В Дано:АВС-РАВНОСТОРОННИЙ, L=12, R=10 12 Найти: ОК, Н. 10 C О А К

38. 0 В Дано:Н=12,<ОКВ=30, АС=60. Найти: R,L. 12 О С К А

39. В Дано: L=10, =30° Найти: R  С О А

40. В • Дано: R=3, треугольник АВС прямоугольный • Найти: площадь треугольника АВС О С А

41. В Дано:H=63,треугольник АВС равносторонний Найти:R О С А

42. В Дано:H=15,R=20, АОС=60° Найти:площадь треугольника АВС. C О А К

43. Определение: Многогранник называется вписанным в сферу (вписанным в шар), если все вершины многогранника принадлежат этой сфере. Про сферу в этом случае говорят, что сфера описана около многогранника.

44. Вспомним, что множество точек, равноудалённых от концов отрезка в плоскости, есть серединный перпендикуляр, проведённый к этому отрезку. m В С А АВ=ВС

45. Множество точек, равноудалённых от двух данных точек, есть плоскость, перпендикулярная к отрезку с концами в данных точках, проходящих через его середину (плоскость серединных перпендикуляров). А В С АВ=ВС

46. Множество точек, равноудалённых от «n» данных точек («n» больше 2), лежащих на одной окружности, есть прямая, перпендикулярная плоскости этих точек, проходящая через центр описанной около них окружности. m В А O С D E

47. Значит, около любой треугольной пирамиды можно описать сферу. M А В O H С

48. Если около основания пирамиды можно описать окружность, то около этой пирамиды можно описать сферу. • Следствие: Около любой правильной пирамиды можно описать сферу. M А В O H D С

49. Центр сферы, описанной около пирамиды, высота которой проектируется в центр описанной окружности вокруг основания, лежит на середине диаметра, проведённого через центр этой окружности, перпендикулярно ей. В Е 2R H r D А 2R-H С

50. Центр сферы, описанной около пирамиды лежит в точке пересечения прямой перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр описанной около основания окружности и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведённой через середину этого ребра.