Решение тригонометрических уравнений

1. Решение тригонометрических уравнений Презентация к уроку алгебры и началам анализа в 10 классе, учитель математики Рахматулина Р.Р.

2. Леонард Эйлер • Швейцарец по происхождению, Леонард Эйлер прославил Петербургскую и Берлинскую академию наук, но наследие его принадлежит всему человечеству.    Родился Эйлер 15 апреля 1707 года в Базеле в семье пастора. Начальное обучение прошел дома под руководством отца, закончил Базельский университет, затем был приглашен работать в создаваемую тогда Академию наук в Петербурге. Именно в России Эйлер становится первым математиком мира, 886 работ - таков итог научной деятельности Эйлера. Долгую и плодотворную жизнь жизнь прожил Эйлер. Россия стала для него второй родиной, более 30 лет проработал он в Петербурге. В России выросли пять его детей, 38 внуков. Потомки великого ученого и сейчас живут в нашей стране.Основы тригонометрии и ее символику изложил в своих трудах Эйлер, теперь этот раздел математики изучают школьники всего мира.

3. Этидревнегреческиеученые совместно сдругими создали «тригонометрию» Тригонометрия – это чрезвычайно важный для жизни человека раздел математики. • Тригонометрия - слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников • Ещё древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения типа: sin x = a, где 0 < x < П/2 и |a| < 1. Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения • Как мы видим, часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда – с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна 0. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение. Ф.Виет Птоломей Клавдий.

4. Вопросы для повторения • Что называется арксинусом, арккосинусом, арктангенсом числа? Привести пример. •Для каких чисел определен арксинус, арккосинус, арктангенс числа? Привести пример. •Какие знаете формулы нахождения корней простейших тригонометрических уравнений: Sin x = a; Cos x = a; tg x = a? устное решение

5. 1.Вычислить: 2.Решить уравнения: • arccos • arccos(- • arcsin • arcsin(- • arcctg • arctg cos x = s in x = 1/2 sin x = - tg x = 2 cos x/2 = 3 sin 2x = - 1 tg ( - 3x) = 1 ctg x = 0 ctg ( - x/4) = 0 sin x = -2 . Ответы:1) п/6; 3п/4; п/6; -п/3; п/3; п/3 2)±п/4+2пк; (-1)•п/6+пк; (-1)+¹•п/3+пк; arctg2+пк; корней нет; -п/4+пк; - п/12+пк/3; п/2+пк; 2п+4пк; корней нет. .

6. 1 вариант. 1) sinx = 1 • a) x = -п/4 ; б) х =п + 2пn ; в) х = -п+4пn г) х =п /2 + 2пn;nєz • 2) cos0,5x = -1 • a) x = 3п+4пn ; б) х = 2п+4пn; в) х=п+2пn; г) х =п/2+пn/2; • nєz • 3) cos² +sin² = - ½ a) пn; б) п/2+2пn; в) – п/6+2пn; г)±п/3+пn ; nєz • 4)sin(x- п/2) = -1 • a) – 5п/6+2пк; б) –п/6+2пк; в) –п/6+пк; г)5п/6+2пк; кєz • 2 вариант • 1) sinx =1/2 . • а) (-1)+пк; б) (-1)•п/6+2пк; в) (-1)+¹•п/6+пк; г)п/6+2пк;кєz • 2)tg x/2 =- • а)7п/3; б)3п/6; в) 5п/6; г)4п/3 • 3)sin4x cos2x – cos4x sin2x = 0 • a)п/2•n; б) (-1)•п/6+пn; в)±п/4+пn; г) (-1)•п/3+2пn;nєz • 4) sin(п- x)-cos(п/2+x)= • a)(-1) •п/3+пn; б)(-1)•п/6+пк; в)±п/3+2пr; г)±п/6+2пm; • n,к,r,mєz

7. За 4 правильно решенных теста выставляется оценка «5», за 3 – «4», за 2 – «3».

8. (sin 3x+cos 3x)² = 1 + cos 3x 3 sin²2x + 7 sin 2x +2 = 0 Sin ² 3x+2 sin3x cos3x+cos ²3x=1+cos3x; 1+2 sin3x cos3x-1-cos3x=0; Cos3x•(2sin3x-1)=0; Cos3x=0 или 2sin3x=1; 3x=п/2+пn; sin3x=1/2; X= п/6+п/3•n; 3x=(1)•arcsin1/2+пк x=(-1)•п/18+п/3•к Ответ: ( п/6+п/3•n;(-1)•п/18+п/3•к)n‚кєz Sin2x=t, 3t²+7t+2=0; а=3 Д=в²-4ac=49-24=25 в=7 t=-2; t=-1/3 с=-3 При t=-2 Sin2x=-2 не имеет решений, При t=-1/3 Sin2x=-1/3; 2x=(-1)ⁿ•arksin(-1/3)+∏n;nєz 2x=(-1)ⁿ+•arksin1/3+∏n; X=(-1)ⁿ+•arcsin1/3 /2 +∏n ;nєz

9. Домашнее задание: 1. cos 2x +cos²x = (sin²x)/2; 2.sinx +sin2x = cosx+ 2 cos²x; 3.sinx + sin2x +sin3x =0; 4.cos2x – 5sinx – 3 =0; 5.sinx – sin³x+cosx–cos³x = 0; 6.sin³x = 0,5sin2x + sinx; 7.4sin²x = sin∏/2; 8.2(sin²2x +1)=sin(∏- 8x)+6cos²2x. Четыре уравнения на выбор.

10. Используемые ресурсы: • http://sferica.by.ru/history.html • 2. Учебник «Алгебра и начала анализа», А.Н. Колмогоров. • 3. Лекции дистанционного курса «Первое сентября» по теме «Решение тригонометрических уравнений». • 4. «Сборник задач по математике»,издательство «Лицей»1998г., автор А.А.Молчалин. • 5.Сборник заданий и методических рекомендаций «Математика ЕГЭ»,Ю.А.Глазков,И.К.Варшавский и др. • 6. http://lyceum-hlevnoe.my1.ru/load7. • 7. http://old.mitht.ru/rus/rstudios.htm. • 8. http://matan.alpol.ru/persons. • 9.http://wiki.vspu.ru/doku.php?id=workroom:sinus:index.