1 / 16

ALGORYTMY GEOMETRYCZNE

ALGORYTMY GEOMETRYCZNE. ZNAJDOWNIE OTOCZKI WYPUKŁEJ ZBIORU PUNKTÓW NA PŁASZCZYŹNIE. DANE : Q = {p 1 ,...,p n }, n  3 , p i  R 2 - zbiór punktów na płaszczyźnie WYNIK : Otoczka wypukła zbioru Q.

luisa
Download Presentation

ALGORYTMY GEOMETRYCZNE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ALGORYTMY GEOMETRYCZNE

  2. ZNAJDOWNIE OTOCZKI WYPUKŁEJ ZBIORU PUNKTÓW NA PŁASZCZYŹNIE

  3. DANE : Q = {p1,...,pn }, n3 , pi R2 - zbiór punktów na płaszczyźnie WYNIK : Otoczka wypukła zbioru Q. DEF.Otoczką wypukłą zbioru punktów Q na płaszczyźnie nazywamy najmniejszy zbiór wypukły na płaszczyźnie zawierający Q. FAKT. Jeśli |Q| < 0 , to otoczką wypukłą zbioru Q jest najmniejszy wielokąt wypukły P , taki że każdy punkt ze zbioru Q leży albo na brzegu , albo w jego wnętrzu.

  4. GRAHAM-SCAN (Q) {Q = {p1,...,pn}, n3 , jest danym zbiorem punktów na płaszczyźnie.} Algorytm wyznacza stos S zawierający wszystkie wierzchołki otoczki wypukłej CH(Q) uporządkowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara . Procedura korzysta z funkcji TOP(S) , której wartością jest element na szczycie stosu oraz NEXT-TO-TOP(S) , której wartością jest element poprzedzający wierzchołek stosu ; obie procedury nie modyfikują S }

  5. begin • Wyznacz punkt p0 = (x0, y0) , • gdzie : • y0 = min { yi : pi = (xi, yi) Q } • x0 = min { xi : pi = (xi, y0) Q } ; • Posortuj punkty ze zbioru Q – {p0} • ze względu na współrzędną kątową • w biegunowym układzie współrzędnych o środku w p0 • przeciwnie do ruchu wskazówek zegara; • jeśli więcej niż jeden punkt ma taką samą współrzędną kątową, • usuń wszystkie z wyjątkiem punktu położonego najdalej od p0. • Oznacz otrzymany zbiór : Q’ = { p0, p1, ... , pm };

  6. Utwórz stos pusty S; • PUSH (p0,S); • PUSH (p1,S); • PUSH (p2,S); { punkty p0, p1, p2 są na stosieS } • for i := 3 to m do • begin • while (przejście od NEXT-TO-TOP(S) przez TOP(S) do pi • nie oznacza skrętu w lewo w TOP(S) ) do • POP(S); • PUSH( pi , S); • end; • return S; • end ; T(n) = O(nlgn)

  7. ALGORYTM TESTUJĄCY CZY W ZBIORZE ODCINKÓW NA PŁASZCZYŹNIE ISTNIEJE PARA ODCINKÓW PRZECINAJĄCYCH SIĘ

  8. ANY-SEGMENTS_INTERSECT (S); {S jest skończonym zbiorem odcinków na płaszczyźnie S = { S1,... Sn } ; Si = [ kiL, kiP ] i = 1,...,n Zakładamy, że żaden odcinek nie jest prostopadły do osi Ox oraz żadne trzy różne odcinki nie przecinają się w jednym punkcie. Procedura sprawdza czy w S istnieje co najmniej jedna para odcinków przecinających się }

  9. begin T := ; Utwórz listę LS posortowanych końców odcinków z S w kolejności od najmniejszej współrzędnej x do największej , w przypadku równych – najpierw punkt o mniejszej współrzędnej y; dla każdego zaznacz czy jest lewym czy prawym końcem odcinka;

  10. for każdy punkt p z listy LS do begin if p jest lewym końcem odcinka s then begin INSERT (T,s); if (ABOVE (T,s) istnieje i przecina s ) or ( BELOW (T,s) istnieje i przecina s ) then return TRUE end; if p jest prawym końcem odcinka s then begin if oba odcinki (ABOVE (T,s ) and (BELOW (T,s)) istnieją and (ABOVE (T,s) przecina BELOW (T,s) ) then return TRUE; DELETE (T,s); end; end; return FALSE; end;

  11. ZNAJDOWANIE NAJMNIEJ ODLEGŁEJ PARY PUNKTÓW W ZBIORZE PUNKTÓW NA PŁASZCZYŹNIE DANE : n  N, n  2; Q = { p1, ... pn } : pi R2, pi = (xi, yi) 1  i  n WYNIK : p, p'  Q : ** (p,p') = min { d(p,q ) ;p,q  P }

  12. ZNAJDŹ-PARĘ-NAJMNIEJ-ODLEGŁYCH-PUNKTÓW( P,X,Y); • { Algorytm stosuje metodę "dziel i zwyciężaj" • Każde wywołanie rekurencyjne algorytmu otrzymuje jako dane wejściowe : • P  Q • tablicę X zawierającą punkty ze zbioru P • posortowane według współrzędnej x. • tablicę Y zawierającą punkty ze zbioru P • posortowane według współrzędnej y. } • (1) Sprawdzamy czy |P|  3 • TAK : wyznacz  = min {d(p,q), p,q P} • porównując odległości wszystkich par punktów w P; • niech p, q : d(p, q) =  • NIE : DZIEL (2)

  13. (2)DZIEL • Podziel P na dwa "równoliczne" podzbiory PL, PR • tzn .: |PL| =  |P| / 2  , |PR| =  |P| / 2  • przy pomocy prostej x = l , prostopadłej do osi Ox (ozn. prosta l) tak, że : • wszystkie punkty z PL leżą na lewo od prostej l lub na prostej • a wszystkie punkty z PR leżą na prawo od prostej l lub na prostej • Podziel X na tablice XL, XR • zawierające ,odpowiednio, punkty z PL, PR • , posortowane według współrzędnej x ; • Podziel Y na tablice YL, YR • zawierające ,odpowiednio, punkty z PL, PR • posortowane według współrzędnej y ;

  14. (3) ZWYCIĘŻAJ • Dwa wywołania rekurencyjne : • ZNAJDŹ-PARĘ-NAJMNIEJ-ODLEGŁYCH-PUNKTÓW ( PL, XL, YL); • WYNIK : L, pL, qL • ZNAJDŹ-PARĘ-NAJMNIEJ-ODLEGŁYCH-PUNKTÓW ( PR, XR, YR); • WYNIK : R , pR , qR

  15. (4) POŁĄCZ : • Oblicz :  = min {L , R} , niech p, q : d(p, q) =  • Oblicz = min { , * } • gdzie * = min { d(pL, pR) ; pL  PL ,pR PR } • Aby wyznaczyć * wystarczy : • rozpatrywać punkty z PL o współrzędnych x z przedziału [ l - , l] • i punkty z PR o współrzędnych x z przedziału [l, l + ] • (i)Utwórz tablicę Y' z tablicy Y zawierającą te punkty • uporządkowane według współrzędnej y; • (ii) Dla każdego p  Y' znajdź punkty w Y' w promieniu  od p, • oblicz odległości od p i wyznacz najmniejśzą (*) i punkty p*, q*, • ( tzn.: * = d(p*, q*) )

  16. Istotna obserwacja : Dla każdego p  Y' wystarczy przeglądać 7 punktów z Y' powyżej p

More Related