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忆 一 忆 知 识 要 点

忆 一 忆 知 识 要 点. 1. 直线与平面的位置关系 直线 a 和平面 α 的位置关系有 _____ 、 _____ 、 ________ 内,其中 ____ 与 _____ 统称直线在平面外 . 2. 直线和平面平行的判定 (1) 定义: _______________________, 则称直线 平行于平面; (2) 判定定理: a ⊄ α , b ⊂ α ,且 a ∥ b ⇒ ______ ; (3) 其他判定方法: α ∥ β , a ⊂ α ⇒ ________. 相交. 平行. 在平面. 平行. 相交.

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忆 一 忆 知 识 要 点

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Presentation Transcript


  1. 忆 一 忆 知 识 要 点 1. 直线与平面的位置关系 直线 a 和平面α的位置关系有_____、_____、 ________内,其中____ 与_____统称直线在平面外. 2. 直线和平面平行的判定 (1)定义:_______________________, 则称直线 平行于平面; (2)判定定理:a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒______; (3)其他判定方法:α∥β,a⊂α⇒________. 相交 平行 在平面 平行 相交 直线和平面没有公共点

  2. 忆 一 忆 知 识 要 点 3.直线和平面平行的性质理:a∥α,a⊂β,α∩β=l⇒a∥l. 4.两个平面的位置关系有_____、_____. 5.两个平面平行的判定 (1)定义:__________________,称这两个平面平行; (2)判定定理:a⊂α,b⊂α, a∩b=A,a∥β,b∥β⇒; (3)推论:a∩b=A,a,b⊂α,a′∩b′=A′, a′,b′⊂β,a∥a′,b∥b′⇒______. 相交 平行 两个平面没有公共点

  3. 忆 一 忆 知 识 要 点 6.两个平面平行的性质定理 (1)α∥β,a⊂α⇒_______; (2)α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒_______. 7.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α,b⊥α⇒________; (2)a⊥α,a⊥β⇒_________.

  4. ③⑤ ② D D

  5. 【例1】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE, BD上各有一点P, Q,且AP=DQ. 求证:PQ∥平面BCE. 证明:方法一如图, 作PM∥AB交BE于M, 作QN∥AB交BC于N,连接MN. ∵正方形ABCD, ABEF有公共边AB, ∴AE=BD.又AP=DQ,∴PE=QB, ∴四边形PMNQ是平行四边形 ∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE, ∴PQ∥平面BCE.

  6. 直线与平面平行的判定与性质

  7. ∴MQ∥BC 同理,PM∥平面BCE

  8. 直线与平面平行的判定与性质 判断或证明线面平行的常用方法有: (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α, b⊂α,a∥b⇒a∥α); (3)利用面面平行的性质定理(α∥β, a⊂α⇒a∥β).

  9. 证明:如图,连结AC交BD于点O,连结MO ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴O是AC中点,又M是PC的中点 ∴OM为△PAC的中位线 ∴AP∥OM 又∵ AP 平面BMD,OM 平面BMD ∴AP∥平面BMD 又∵平面PAHG∩平面BMD=GH ∴PA∥GH 如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证:AP∥GH.

  10. 平面与平面平行的判定与性质 【例2】如图所示,已知ABCD—A1B1C1D1 是棱长为3的正方体,点E在AA1上, 点F在 CC1上, G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1, H是B1C1的中点. (1)求证:E, B, F, D1四点共面; (2)求证:平面A1GH∥平面BED1F. 证明:(1)连结FG,在正方体ABCD-A1B1C1D1中 ∵AE=B1G=1,∴BG=A1E=2, ∴BG∥A1E,∴A1G∥BE. 又∵C1F∥B1G, ∴四边形C1FGB1是平行四边形, ∴FG∥C1B1∥D1A1, ∴四边形A1GFD1是平行四边形. ∴A1G∥D1F, ∴D1F∥EB, 故E, B, F, D1四点共面.

  11. (2)取BG的中点K,连接C1K. ∵H为B1C1的中点,∴HG∥C1K. 又∵C1F∥BK. ∴四边形BFC1K是平行四边形, ∴C1K∥BF,∴HG∥BF. 由A1G∥BE, A1G∩HG=G, BF∩BE=B. ∴平面A1GH∥平面BED1F. 证明面面平行的方法有: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行” 相互转化.

  12. 如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点, 求证:(1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG.

  13. 线面、面面平行的综合应用 【例3】如图所示,平面α∥平面β, 点A∈α, C∈α,点B∈β,D∈β,点E、F分别在线段AB、CD上,且AE∶EB=CF∶FD. 求证:EF∥β,EF∥α. 证明:①当AB,CD在同一平面内时, 由α∥β,α∩平面ABDC=AC, β∩平面ABDC=BD, ∴AC∥BD, ∵AE∶EB=CF∶FD, ∴EF∥BD, 又EF⊄β,BD⊂β,∴EF∥β. ②当AB与CD异面时, 设平面ACD∩β=DH,且DH=AC. ∵α∥β,α∩平面ACDH=AC,∴AC∥DH. ∴四边形ACDH是平行四边形.

  14. ②当AB与CD异面时, 设平面ACD∩β=DH,且DH=AC ∵α∥β,α∩平面ACDH=AC ∴AC∥DH ∴四边形ACDH是平行四边形. 在AH上取一点G,使AG∶GH=CF∶FD, 又∵AE∶EB=CF∶FD, ∴GF∥HD,EG∥BH, 又EG∩GF=G,∴平面EFG∥平面β. ∵EF⊂平面EFG,∴EF∥β. 综上,EF∥β. ∵α∥β,EF∥β且EF⊄α,∴EF∥α.

  15. 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO? 解:当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 证明如下: ∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点, ∴QB∥PA. ∵P,O分别为DD1,DB的中点, ∴D1B∥PO. 又∵D1B⊄平面PAO, PO⊂平面PAO, QB⊄平面PAO, PA⊂平面PAO, ∴D1B∥平面PAO, QB∥平面PAO, 又D1B∩QB=B, D1B, QB⊂平面D1BQ, ∴平面D1BQ∥平面PAO.

  16. A组专项基础训练题组 一、选择题 二、填空题

  17. 三、解答题 7.如图,在四面体S—ABC中, E, F, O分别为SA, SB, AC的中点, G为OC的中点, 证明:FG∥平面BEO. 证明:如图, 取BC中点M, 连接FM, GM, ∵ E,F,O,G分别为SA,SB,AC,OC的中点 ∴GM, EO,FM分别为△OBC ,△ASC, △BSC的中位线 ∴GM∥OB,FM∥SC∥EO 又FM∩GM=M,EO∩OB=O ∴平面FGM∥平面BEO ∴FG∥平面BEO

  18. 三、解答题 解:在平面PCD内,过E作EG∥CD交PD于G, 连结AG,在AB上取点F,使AF=EG, 则F即为所求的点. ∵EG∥CD∥AF,EG=AF, ∴四边形FEGA为平行四边形, ∴FE∥AG. 又AG⊂平面PAD,FE⊄平面PAD, ∴EF∥平面PAD.

  19. 三、解答题

  20. B组 专项能力提升题组 一、选择题 二、填空题 5. M∈线段HF

  21. 8.如图,已知平行四边形 ABCD 中, BC=6,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直, G, H分别是DF,BE的中点. (1)求证:GH∥平面CDE; (2)若CD=2,DB=4 ,求四棱锥F—ABCD的体积. (1)证明:方法一 ∵EF∥AD,AD∥BC, ∴EF∥BC. 又EF=AD=BC,∴四边形EFBC是平行四边形, ∴H为FC的中点. 又∵G是FD的中点,∴HG∥CD. ∵HG⊄平面CDE,CD⊂平面CDE, ∴GH∥平面CDE.

  22. 8.如图,已知平行四边形 ABCD 中, BC=6,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直, G, H分别是DF,BE的中点. (1)求证:GH∥平面CDE; (2)若CD=2,DB=4,求四棱锥F—ABCD的体积. 方法二  连结EA,∵ADEF是正方形, ∴G是AE的中点. ∴在△EAB中,GH∥AB. 又∵AB∥CD,∴GH∥CD. ∵HG⊄平面CDE,CD⊂平面CDE, ∴GH∥平面CDE.

  23. 8.如图,已知平行四边形 ABCD 中, BC=6,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直, G, H分别是DF,BE的中点. (1)求证:GH∥平面CDE; (2)若CD=2,DB=4,求四棱锥F—ABCD的体积.

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