Infografía I

1. Infografía I Transformaciones Geométricas © 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

2. Introducción • La luz que invade las escenas que vemos se refracta y se refleja en los objetos. • Ciertos colores son absorbidos y otros permanecen. • Finalmente un frente de ondas excita nuestra retina y percibimos la escena. • Desde el punto de vista de la Infografía, nuestro objetivo es crear un frente de onda que evoque una percepción similar, utilizando el hardware disponible.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

3. Introducción • Necesitamos disponer de una descripción matemática que nos permita definir  • el espacio,  • los objetos que componen la escena  • las propiedades de esos objetos • el movimiento de los mismos • algoritmos apropiados para describir la interacción de la luz con la materia.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

4. Introducción • Disciplinas • Geometría y Álgebra lineal para la descripción de los espacios y los movimientos dentro de los mismos. • Física, especialmente óptica, para la descripción de la interacción de la luz con la materia. • Teoría de la percepción y de la visión, para el diseño perceptual de las escenas  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

5. Introducción • Nos centraremos en los conceptos matemáticos que permiten describir : • el espacio • los objetos que residen en él • sus posiciones • los movimientos de los objetos dentro del espacio  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

6. El espacio euclídeo es el espacio determinado por la geometría euclídea: Axioma fundamental de Euclides: Por un punto exterior a una recta puede trazarse una y sólo una recta paralela ella. Las propiedades del espacio euclídeo se corresponden con las que percibimos en el espacio que nos circunda a escala local. Los otros axiomas de Euclides Una recta queda determinada por 2 puntos. Cualquier segmento se puede considerar parte de una línea infinita Es posible construir un circulo de radio cualquiera y con centro en cualquier punto. (La distancia pertenece a R.) Si dos líneas se cortan formando ángulos congruentes, cada ánguloes congruente con cualquier otro formado de la misma forma. Espacio Euclídeo  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

7. Geometrías no Euclídeas • Geometría hiperbólica. • Se desarrolla sobre el plano hiperbólico que es equivalente topológicamente a una semiesfera. • Los puntos del infinito son equivalentes a los del círculo máximo de la semiesfera. • En un espacio hiperbólico se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una dada por un punto exterior a la misma • http://math.rice.edu/~joel/NonEuclid/  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

8. Geometría Hiperbólica  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

9. Geometrías no Euclídeas • Geometría elíptica. • En el plano elíptico todos los puntos se consideran equivalentes a los del infinito • Todos las rectas se cortan en un punto • Por tanto no puede trazarse ninguna recta paralela a una dada  • No existen las rectas paralelas.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

10. Sistemas referenciales • Un sistema referencial es un sistema que permite describir la situación de un punto en el espacio. • Existen múltiples sistemas de coordenadas. • Cartesianas • Polares • Cilíndricas • Esféricas...  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

11. Y X Z Sistemas referenciales • Cartesianas • Ejes de coordenadas para representar las posiciones de los puntos dentro del espacio. • Coordenadas de un punto P son las distancias que hay entre los ejes coordenados y las proyecciones del punto sobre cada plano coordenado (x,y,z). • En 2D se llama par ordenado (x,y) z x y  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

12. Coordenadas polares • En coordenadas polares: • radio-vector r que une el origen de coordenadas y el punto • ángulo  que subtiende r con el eje que se toma como origen de ángulos. r q  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

13. Magnitudes escalares • Un escalar es una magnitud que se puede describir mediante un sólo valor. • Entre los escalares se pueden definir una serie de operaciones como la suma, diferencia, multiplicación, etc.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

14. Magnitudes vectoriales • Las magnitudes que se caracterizan por una dirección y una magnitud. • Se representan mediante vectores.  • Gráficamente se representa como un segmento cuya longitud indica la magnitud y su orientación la dirección del mismo. • Cualquier segmento con la misma orientación y longitud describe el mismo vector. Se toma el vector con origen en el de coordenadas como representante de su clase. • Operaciones: suma y diferencia vectorial, el producto de un vector por un escalar, el producto escalar de dos vectores y producto vectorial de dos vectores.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

15. B A C k i j Operaciones con vectores  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

16. C B A k i j Operaciones con vectores C es la normal al plano AB  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

17. k i j Operaciones con vectores Útil para encontrar el ángulo entre dos vectores A q B c c es la proyección de A sobre B  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

18. Representación matricial • Vector (x,y) 2D • Vector fila: matriz de 1 fila y 2 columnas • Vector columna: matriz de 2 filas y 1 columna • En 3D • Vector fila • Vector columna  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

19. Representación matricial • Una matriz es • la notación abreviada del conjunto de las transformaciones lineales sobre un espacio vectorial Vn(R) • se puede considerar como una tabla de valores:  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

20. Transformaciones 2D • El corazón de todo paquete gráfico es el kernel de transformaciones geométricas • Traslación • Escalado • Cizallamiento • Reflexión • Rotación • y la concatenación de cualquiera de ellas.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

21. Transformaciones 2D • Traslación • Transformación que sitúa un punto (x,y) del plano en una nueva posición (x',y'). • Se consigue añadiendo unas ciertas cantidades dx y dy • dx representa cuántas unidades hemos trasladado el punto sobre el eje x • dy representa lo mismo sobre el eje y  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

22. Transformaciones 2D • En notación matricial  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

23. Transformaciones 2D • Escalado • Consiste en multiplicar por un factor (agrandar o disminuir) las coordenadas del punto. • El factor puede ser diferente para cada una de ellas.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

24. Escalado • En forma matricial  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

25. Cizallamiento • Desplaza un punto en la dirección de uno de los ejes un espacio proporcional a la distancia del punto al origen según otro de los ejes. • Los puntos con una coordenada mayor resultan más desplazados que aquellos que la tienen menor.  • El cizallamiento de x respecto de y es  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

26. Rotación  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

27. En forma abreviada las principales transformaciones son conviene que todas sean de la misma forma para poder operar de una forma homogénea Coordenadas Homogéneas  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

28. Coordenadas homogéneas • El concepto de coordenadas homogéneas busca una notación matricial que integre todas las transformaciones en una sola matriz. • Ello permite realizar las rotaciones, escalado, etc. respecto a otros puntos que no sean el origen mediante operaciones matriciales simples. • En una matriz de 2x2 esto no es posible.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

29. Coordenadas homogéneas • Las coordenadas homogéneas de (x, y) son • (x', y', h), donde • x = x'/h • y = y'/h • h no puede ser 0. • Para un punto concreto del plano existen infinitas representaciones en coordenadas homogéneas • (4, 5) se puede representar como • (8, 10, 2) • (4, 5, 1) • (12, 15, 3)  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

30. Coordenadas homogéneas • Un conjunto preferido para representar en coordenadas homogéneas es el conjunto • (x, y, 1) o, como vector • Las matrices de transformación son ahora de 3x3  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

31. Las traslaciones quedan y en forma abreviada El escalado es y en forma abreviada Traslación en coordenadas homogéneas  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

32. El cizallamiento respecto a x y en forma abreviada La rotación y en forma abreviada Transformaciones en coordenadas homogéneas  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

33. La aplicación consecutiva de transformaciones geométricas se denomina concatenación El resultado es otra transformación geométrica equivalente. En notación matricial equivale al producto de matrices Concatenación de transformaciones  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

34. Propiedades de las operaciones con matrices cuadradas Adición Asociativa (A+B)+C=A+(B+C) Conmutativa A + B = B + A Multiplicación Asociativa (A·B)·C = A·(B·C) NO conmutativa A·B ‡ B·A en general Distributiva con respecto a la adición por ambos lados A·(B+C) = A·B+B·C (B+C)·A = B·A+C·A A·B=0 no implica necesariamente A=0 o B=0 A·B=A·C no implica necesariamente B=C Concatenación de transformaciones  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

35. Propiedades de las Operaciones con Matrices  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

36. Propiedades de las Operaciones con Matrices  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

37. Supongamos que realizamos 2 traslaciones consecutivas. Y nos queda realizar el producto matricial Concatenación de Traslaciones  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

38. Cabría esperar que la concatenación de escalados fuera multiplicativa Y nos queda realizar el producto matricial Concatenación de Escalados  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

39. Cabría esperar que la concatenación de rotaciones fuera aditiva Y nos queda realizar el producto matricial Concatenación de Rotaciones  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

40. Concatenación de Rotaciones  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

41. Ejemplo • Rotar la figura respecto de P, un ángulo q q P(x,y) P  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

42. P P Ejemplo • Rotación respecto a un punto fuera del origen => • Traslación al origen • Rotación • Traslación al punto P  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

43. Coordenadas del mundo m, cm, etc ¿Cómo transformarlas en coordenadas del dispositivo? Posibilidades: Dejar la responsabilidad al programador Especificar una región rectangular en el mundo Window y su homologa en el dispositivo Viewport Window Mundo Viewport Dispositivo Window to Viewport  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

44. La transformación se aplica a todas las primitivas en coordenadas del mundo. Se pueden especificar diferentes viewports dentro de la pantalla ¿Cual es la transformación? Window Viewport Viewport Window Mundo Mundo Dispositivo Dispositivo Window to Viewport  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

45. xmax, ymax imax, jmax xmin, ymin imin, jmin Window-Viewport  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

46. Window-Viewport  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

47. Window Mundo Viewport Dispositivo Window-Viewport • Muchos paquetes combinan • Transformación w-v • Recortado.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

48. Coordenadas Normalizadas del Dispositivo • NDC Normalized Device Coordinates • Sistema independiente de dispositivo • xmin=0, ymin=0 • xmax=1, ymax=1 • Permite realizar los cálculos sin tener en cuenta la resolución del dispositivo. • DC Coordenadas del dispositivo • Enteras, resolucion en x y en y  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

49. La matriz 2D más general es una matriz compuesta de la forma De las 6 multiplicaciones y 6 sumas, solo necesitamos 4 + 4 Eficiencia  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

50. Vistas incrementales (rotación). Si q es pequeño, cos(q) = 1 Problema: Para ángulos totales se acumula el error. Mejor aproximación Eficiencia  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA