Információelmélet

1. Információelmélet Nagy Szilvia 9. Ciklikus kódolás 2005.

2. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus eltolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Egy c=( c0, c1, …, cn−2, cn−1 ) vektor ciklikus eltoltján az vektort értjük. Egy K kód ciklikus, ha minden cK-ra ScK: minden kódszó ciklikus eltoltja is kódszó. A ciklikus kódok nem feltétlenül lineárisak: Ha például K={0 0 0, 1 0 0, 0 1 0, 0 0 1}, a kód ciklikus, de a második és harmadik kódszó összege már nem kódszó, így K nem lineáris tér, a kód nem lineáris kód.

3. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen p0, p1, p2, …, pm  GF(N), t  GF(N), ekkor a kifejezés a GF(N) véges számtest feletti m-edfokúpolinom. A polinom fokszámára a jelölést használjuk. Egy p(t) polinom akkor és csak akkor egyenlő egy p’(t) polinommal, ha minden együtthatójuk azonos, azaz ha pi = p’i i-re.

4. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen p( t )és q( t ) a GF(N) véges számtest feletti polinomok, • a két polinom r( t )=p( t )+q( t ) összege az a polinom, amelynek az együtthatói az r i = p i + q i szabály szerint állnak elő minden i-re. Az összeadás természetesen a GF(N)-beli mod N összeadás.Ha deg p( t ) = m, deg q( t ) = n, akkor deg r( t ) ≤ max(m,n).

5. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás • a két polinom r( t )=p( t )q( t ) szorzata egy olyan polinom, melynek az együtthatói azformula szerintiek minden i-re.A formula úgy keletkezett, hogy a p( t ) polinom minden tagját összeszorozzuk a q( t ) polinom minden tagjával, s az így kapott kifejezés tagjait fokszámuk szerint csoportosítjuk és összevonjuk.Ha deg p( t ) = m, deg q( t ) = n, akkor deg r( t ) ≤ m+n.

6. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen p( t )és q( t ) a GF(N) véges szám-test feletti polinomok, deg p( t ) > deg q( t ). Ekkor p( t )-t q( t )-vel a következőképpen kell maradékosan elosztani: • Ha deg p( t ) = m és p( t ) m-edfokú tagjának együtthatója pm , ill. deg q( t ) = n és q( t ) n-edfokú tagjának együtthatója qn , szorozzuk meg q( t )-t

7. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás • Vonjuk ki az így kapott polinomot p( t )-ből, a maradék s(m−1)( t ) fokszáma legfeljebb m−1. • Az 1.—2. lépést ismételjük úgy, hogy az 1. lépésben p( t ) helyére mindig az előző körből származó s(m)( t )-t írjunk. Ha a 2. lépés végén kapott s(m−1)( t ) maradék fokszáma kisebb, mint q( t ) fokszáma, n, megállunk. A végeredmény:

8. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A végeredmény: A számok maradékos osztásának mintájára bevezetjük a jelölést.

9. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen p( t )=3t4+t3+4t2+5és q( t )=t+3, osszuk el p-t q-val a teljes számegyenes felett:

10. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen p( t )=3t4+t3+4t2+5és q( t )=t+3, osszuk el p-t q-val a GF(11) véges számtest felett:

11. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen p( t )=3t4+t3+4t2+5és q( t )=2t2+t+3, osszuk el p-t q-val a GF(7) véges számtest felett:

12. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A p( t ) GF(N) véges számtest feletti polinomgyökei, vagy zérushelyei azok a t i  GF(N) számok, amelyekre Egy polinom gyökeinek a száma nem nagyobb, mint a fokszáma. Ha t i gyöke p( t )-nek, akkor Egy p( t ) GF(N) véges számtest feletti polinom gyöktényezős alakja

13. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Egy p( t ) GF(N) véges számtest feletti polinom irreducíbilis, ha nincsenek olyan q( t ) és r( t ) ugyanazon GF(N) Galois-test feletti polinomok, amelyeknek kisebb a fokszáma, mint p( t )-nek és amelyek teljesítik afeltételt. Megjegyzés: az egységpolinom természetesen minden polinomnak osztója, de ha q(t) vagy r(t) egységelem, akkor a másik a p(t), amelynek nem kisebb a fokszáma, mint p(t)-nek.

14. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Analógia – prímszámok: N prím, ha nincsenek olyan nála kisebb M és K természetes számok, amelyekre N=MK . N prímszám GF(N) véges test P( t ) irreducíbilis GF(P( t )) véges test polinom (GF(NM) véges test)

15. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen P( t ) egy a GF(N) véges számtest feletti M-edfokú irreducíbilis polinom. Értelmezhető egy GF(P( t )) polinom-Galois-test melynek az elemei legfeljebb M1-edfokú polinomok, és az elemek közötti összeadás és szorzás a következőképpen zajlik: • Egy p( t ) és egy q( t ) GF(N) feletti, legfeljebb M1-edfokú polinomok összege az az r( t ) szintén GF(N) feletti, legfeljebb M1-edfokú polinom, amelyre

16. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen P( t ) egy a GF(N) véges számtest feletti M-edfokú irreducíbilis polinom. Értelmezhető egy GF(P( t )) polinom-Galois-test melynek az elemei legfeljebb M1-edfokú polinomok, és az elemek közötti összeadás és szorzás a következőképpen zajlik: • Egy p( t ) és egy q( t ) GF(N) feletti, legfeljebb M1-edfokú polinomok szorzata az az r( t ) GF(P( t )) polinom, amelyre

17. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A GF(P( t )) polinom-Galois-test elemei között ugyanúgy definiálható nullelem és egységelem, mint a véges számtestekben • A nullelem egy olyam polinom, amelynek minden együtthatója 0, azaz olyan z( t )=z0 + z1t +z2t2+…+zM1tM1, amelyrez i=0 minden i-re.

18. Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás • Az egységelem egy olyam polinom, amelynek az első (nulladfokú) együtthatója 1, a többi együtthatója 0, azaz olyan e( t )=e0 + e1t +e2t2+…+eM1tM1, amelyre e0=1, és e i=0 minden i ≥ 1-re. A szorzó- és összeadótábla a számtestekkel analóg módon elkészíthető és belőlük az ellentett- és inverz polinompárok leolvashatók.

19. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok – ciklikus eltolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Egy c=( c0, c1, …, cn−2, cn−1 ) vektor ciklikus eltoltján az vektort értjük. Egy K kód ciklikus, ha minden cK-ra ScK: minden kódszó ciklikus eltoltja is kódszó. Rendeljünk az egyes kódszavakhoz polinomokat a következő szabály szerint. Ebben a reprezentációban a ciklikus eltolás t-vel való modulo (t n 1) szorzás.

20. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok – ciklikus eltolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Ciklikus eltolás: t-vel való szorzás: A c’( t ) polinom fokszáma n1, kisebb, mint t n1 fokszáma, így c”( t )-nek csak a második tagját lehet elosztani ( t n1)-nel, a maradéka pedig 0, így a ciklikus eltolás polinom reprezentációban valóbant-vel való modulo ( t n1) szorzásnak felel meg.

21. Információelmélet – Ciklikus kódolás Generátorpolinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Polinomos reprezentációban egy lineáris ciklikus kód kódszavai között van egy minimális fokszámú, de nem nulladrendű, amelynek a legmagasabb fokú kitaevője 1. Ez a polinom a kód generátorpolinomja, fokszáma nk. A generátorpolinom jele g( t ) Egy c i ( t ) polinom akkor és csak akkor kódszópolinom, ha a g( t ) maradék nélküli osztója c i ( t )-nek, így

22. Információelmélet – Ciklikus kódolás Generátorpolinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Egy c i ( t ) polinom akkor és csak akkor kódszópolinom, ha a g( t ) maradék nélküli osztója c i ( t )-nek, így Tehát minden kódszó ebből a generátor-polinomból áll elő ciklikus eltolással (t-vel való mod t n1 szorzással), illetve a ciklikus eltoltak lineáris kombinációjaként. Emlékeztető: a vektoros tárgyalásnálvolt, most is ai( t ) a fenti vektornak megfeleltetett polinom.

23. Információelmélet – Ciklikus kódolás Generátormátrix Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A generátormátrix előáll a generátorpolinom együtthatóiból, minden sora a generá-torpolinom egy-egy ciklikus eltoltja: k db nulla A generátormátrix polinom-megfelelője után megkeressük a paritásellenőrző mátrix polinom párját.

24. Információelmélet – Ciklikus kódolás Generátorpolinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A generátorpolinom mindig osztója t n 1-nek. Bizonyítás: a generátorpolinom n−k-adfokú: k−1-edik és k-adik ciklikus eltoltja: illetve a k-adik:

25. Információelmélet – Ciklikus kódolás Generátorpolinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás illetve a k-adik eltolt amely kifejezhető a k−1-edik ciklikus eltolttal: Mivel ciklikus kód, minden kódszó minden ciklikus eltoltja is kódszó, a generátorpolinom k−1-edik és k-adik ciklikus eltoltja is kódszópolinom.

26. Információelmélet – Ciklikus kódolás Generátorpolinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Mivel ciklikus kód, minden kódszó minden ciklikus eltoltja is kódszó, a generátor-polinom k−1-edik és k-adik ciklikus eltoltja is kódszópolinom. A kódszópolinomoknak osztója g(t), ígyg’( t )-nek és g’’( t )-nek is osztója, így az első tagnak, (t n −1)-nek is osztója g(t). A (t n −1)-nek minden irreducíbilis osztópolinomja egy-egy ciklikus kód generátorpolinomja.

27. Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A g( t ) generátorpolinomú ciklikus kódok paritásellenőrző polinomja Ezzel a polinommal megszorozva minden érvényes kódszó 0-t ad (moduló t n −1), mivel a kódszavak felírhatók alakban, a generátor- és paritásellenőrző polinom szorzata pedig így

28. Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A szabványokban a ciklikus kódokat generátorpolinomukkal vagy paritásellenőrző polinomukkal szokták megadni.

29. és bináris esetben a maradék mindig ilyen alakú lesz Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen n=7, N=2 (azaz bináris kód), a polinom osztópolinomjai: • a t 1 minden t n1 alakú polinom osztója:

30. Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A második tényező nem osztható t -vel, t +1 -gyel, t 2 + t +1 -gyel (a t2 +1 a t +1 négyzete, a t2 + t pedig a t-vel vett szorzata, nem irreducíbilisek), így a harmadfokú polinomok között érdemes keresgélni irreducíbilis osztót a második tényezőhöz. (Negyedfokú osztóval nem kell foglalkozni, mert annak a párja másodfokú lenne ahhoz, hogy a hatodfokú polinomot megkapjuk.)

31. Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A t3 + t2 + t+1 nem osztó, próbáljuk a t3 + t2 +1-et: • Ez a két harmadfokú polinom irreducíbilis, sem t, sem t +1, sem pedigt 2 + t +1 nem osztójuk, más bináris, háromnál kisebb fokú irreducíbilis polinom pedig nincs.

32. Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen n=7, N=2 Legyen ezek közül a generátorpolinomunk a t3 + t 2 + 1 harmadfokú polinom. Ekkor 3 a paritásszegmens hossza, 73=4 az üzenetszegmens hossza. A generátormátrix:

33. Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen n=7, N=2 a generátorpolinom pedig: Legyen a 4 hosszúságú kódolandó üzenetünk b=(1 0 1 0). A generátormátrixszal vett szorzata, azaz a hozzá rendelt kódszó:

34. Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen n=7, N=2 a generátorpolinom pedig: Legyen a 4 hosszúságú kódolandó üzenetünk b=(1 0 1 0). Az üzenethez rendelt b(t) polinom: b( t ) = t 2 +1. A kapott kódszópolinom: Ebből a kapott kódszó: 1 0 0 1 1 1 0 A két módszer azonos eredményre vezet.

35. Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom A kapott kódszó: 1 0 0 1 1 1 0. A paritásellenőrző polinom A kódszó szindrómája valóban nulla: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

36. Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A nem nulla szindrómájú vektorokat táblázat alapján szokták javítani a legkisebb súlyú, velük azonos szindrómát adó hibapolinomokkal. A táblázat a következőképpen épül fel: • Meghatározzák az összes lehetséges hibapolinom szindrómáját • Csoportosítják az azonos szindrómájú hibamintázatokat (mellékosztályok). • Kiválasztják közülük a minimális súlyút, ezt a szindrómák szerint táblázatba foglalják. • Az adott szindróma esetén mindig a szindróma hibamintázatai közül a minimális súlyúval javítanak.

37. Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Egy tetszőleges q( t ) Q-adfokú polinomnak egy adott p( t ) P-edfokú polinommal vett szorzata, s( t )= p( t ) q( t ) előállítható a következő léptetőregiszteres áramkörrel:

38. Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t+1 : Kiinduláskor minden tároló üres, majd a bementre rábocsátjuk a q( t ) polinom együtthatóit, a nulladfokútól kezdve fokszám szerint növekvő sorrenden

39. Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t+1 : s( t ) nulladfokú együtthatója 3

40. Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t+1 : s( t ) elsőfokú együtthatója 11: 2t ∙1+3 ∙3t tagokból is 11t jön ki

41. Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t+1 : s( t ) másodfokú együtthatója 7: t 2 ∙1+2t ∙3t tagokból is 7t 2 jön ki

42. Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t+1 : s( t ) harmadfokú együtthatója 9 : t 2 ∙3t+3∙2t 3 tagokból is 9t 3 jön ki

43. Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t+1 : s( t ) negyedfokú együtthatója 19: 2t∙2t 3 +3∙5t 4 tagokból is 19t 4 jön ki

44. Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t+1 : s( t ) ötödfokú együtthatója 12 t 2 ∙2t 3 +2t∙5t 4 tagokból is 12t 5 jön ki

45. Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t+1 : s( t ) hatodfokú együtthatója 5. Magasabb fokszámú együtthatója nincs, a következő lépésben minden tároló kiürül, a kimeneten nulla van.

46. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok – polinomszorzóval Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A kódszavak generálása áramkörökkel: A generártorpolinom segítségével: a b( t ) tömörített együtthatóiból a következő áramkörrel lehet a kódszópolinom együtthatóit megkapni:

47. Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Egy tetszőleges s( t ) polinomot egy olyan adott p( t ) P-edfokú polinommal elosztva, melynek a főegyütthatója 1, a hányados és a maradék, az s( t )= p( t ) q( t ) + r( t ) formulát használva elő-állítható a következő visszacsatolt léptetőregiszteres áramkörrel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

48. Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A bemenetre s(t) együtthatóit fokszám szerint csökkenő sorrendbe kell beadni, az összes együttható beadása után a tárolókban a maradékpolinom együtthatói lesznek.

49. Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Megjegyzés: Egy tetszőleges s( t ) polinomot egy olyan adott p( t ) P-edfokú polinommal elosztva, melynek a főegyütthatójapP, az s( t )= p( t ) q( t ) + r( t ) formulát használva a következő léptetőregiszteres áramkörrel állítható elő: A bemenetre s(t) együtthatóit fokszám szerint csök-kenő sorrendben; végül a tárolókban a maradék.

50. Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom-véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen s( t )= 3t 5 + 3t 4 + t 3 +4t 2 +2 , p( t )= t 3+2t 2 + t +3