Chap7 – Equations et inéquations

1. Chap7 – Equations et inéquations

2. Chap7 – Equations et inéquations • I - Équations • Ex1p229 Rappela)Pour chacune des équations, préciser si 4 est solution. (1) 5x + 7 = -x – 11 (2) -3x +15 = x – 1 • b) Même question avec (-3)

3. Chap7 – Equations et inéquations • I - Équations • 1. Rappels : • 1. Une équation est une égalité conditionnelle :elle s’écrit avec une ou des lettres (les inconnues) qui représente(nt) des nombres. • 2. Être solution d’une équation,c’est être une valeur numérique qui rend l’égalité vraie si on remplacel’inconnue par cette valeur. • 3. Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs possiblespour que l’égalité soit vraie.

4. 2. Equations du type : • x + a = b, où a et b sont connus, et x est l’inconnue. Solution : • x = b – a • x – a = b, où a et b sont connus, et x est l’inconnue. Solution : • x = b + a • a x x = b, où a et b sont connus, et x est l’inconnue. Solution : • x = b : a • x : a = b, où a et b sont connus, et x est l’inconnue. Solution :x = b x a

5. Exemples : • • x + 7 = -3 équivaut à • x – 5 = 6 équivaut à • • 5 x = -12 équivaut à • x = 2 équivaut à 5

6. Exercice: Résoudre les équations suivantes a) x + 5 = -7 b) x – 6 = -2 c) 4x = 22 d) x = -3 5 e) -2x = 15 f) 2 x = 10 3

7. 3. Résolution d’équations : • Développer si besoin les 2 membres de l’équation. • Passer tous les « x » d’un côté et les nombres de l’autre côté de l’égalité. • Réduire puis résoudre l’équation. • Exemples :8x – 2 = 2(2x + 1)

8. Ex 2p129: Résoudre les équations suivantes: a) (1) 4x + 5 = 2x + 11 (2) 7x – 8 = 4x – 4 (3) 2x – 3 = -5x – 17 b) (1) 3(a – 5) = 4(3 – 2a) (2) 5 + (6 – 2a) = (5a – 11) – (6 + 3a)

9. c) (1)2 x = 5(2) 5x = 2 3 2 3 5

10. Ex 9p136: Résoudre les équations suivantes: 7x + 5 = 4x + 8 b) 3x – 5 = x +1 c) -11 +3x = -5x +5 d) 3x – 5 = 3x +1

11. 4 . Mettre un problème en équation : • Trois frères se partagent 1600 € : Loïc reçoit 200 € de plus que Brice et Brice reçoit 100 € de plus que Xavier. Combien reçoit Xavier ? • Choix de l’inconnue : • Mise en équation : • Résolution de l’équation : • Conclusion : Soit x la somme reçue par Xavier. Brice reçoit: x + 100 Loïc reçoit: (x+100) + 200 = x + 300 Les 3 frères reçoivent: x + x+100 + x+300 = 1 600 3x + 400 = 1 600 3x = 1 600 – 400 3x = 1 200 x = 1200 : 3 x = 400 Xavier reçoit 400 €.

12. Ex 3p129: Résoudre des problèmes avec des équations Thomas et Sidonie choisissent le même nombre.Thomas multiplie par 4 le nombre qu’il a choisi et ajoute 41.Sidonie ajoute 20 au nombre qu’elle a choisi.Ils constatent qu’il obtiennent le même résultat.Quel nombre Thomas et Sidonie ont-ils choisi?

13. Ex 3p129: suite b) Alex a uniquement des DVD de films comiques, d’aventures ou policiers. Il a en tout 75 DVD. Il a 5 films comiques de plus que de films d’aventures. Il a deux fois plus de films policiers que de films comiques. Combien Alex a-t-il de films d’aventures? Pour résoudre ce problème, suivre les étapes suivantes: Appeler x le nombre cherché Calculer en fonction de x le nombre de films comiques, le nombre de films policiers et le nombre de films d’aventures. Ecrire une équation d’inconnue x traduisant le problème,la résoudre et conclure

14. Ex 17p136: Flora et Tom choisissent un même nombre. Flora ajoute 5 au nombre qu’elle a choisi et multiplie par 2 le résultat. Tom ajoute 2 au nombre choisi et multiplie le résultat obtenu par 3. Ils constatent qu’il obtiennent le même résultat. Quel est le nombre choisi par Flora et Thomas ?

15. 5. Equation produit : Quels que soient les nombres a et b, si a x b = 0 alors, a=0 ou b=0 Ainsi, les solutions de l’équation (2x–7)(3–5x) = 0sont les solutions de chacune des équations :2x –7 = 0 et 3 – 5x = 0. Rédigeons : (2x–7)(3–5x) = 0

16. Remarque : Parfois, il faut d‘abord factoriser l’expression sous la forme : a.b = 0 : (x–2)² + (x–2)(2x+3) = 0

17. Ex1p130: a) Résoudre l’équation: (3x–6)(2x+7)=0 b) Résoudre les équations suivantes: (3x+12)(8–2x)=0 (2) (5+4x)²=0 (3) x(2x-4)=0

18. Ex 4p130: Soit D= (2x+3)² +(2x+3)(7x-2) d) Résoudre l’équation (2x+3)(9x+1)=0 a) Développer et réduire D; b) Factoriser D. c) Calculer D pour x= -4.

19. Ex 30p137:Résoudre les équations suivantes a) a² - 9 = 0 b) 4a² – 1 = 0 c) 25 – 9a² = 0 Ex 35p137:Résoudre les équations suivantes a) (3b – 9)² - 1 = 0 b) (2b+5)² – 9 = 0 c) 25 – (4b-1)² = 0

20. Ex 5p130: Une vidéothèque propose 2 tarifs de location de DVD. Tarif A : une carte d’abonnement annuel de 39€ et 2€ par DVD loué. Tarif B : une carte d’abonnement annuel de 15€ et 5€ par DVD loué. Compléter le tableau suivant qui indique le tarif à payer en fonction du nombre de DVD et du tarif choisi. Soit x le nombre de DVD loués en un an.Exprimer en fonction de x le coût annuel avec chacun des tarifs. En utilisant les expressions trouvées ci-dessus, déterminer pour combien de DVD le tarif A est plus avantageux que le tarif B. Les résultats du c) sont-ils cohérents avec ceux du tableau?

21. II - Inéquation : • Règles: • Les règles pour résoudre une inéquation sont les mêmes que pour résoudre une équation à une différence près : • Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le signe de l’égalité • Exemples: • 7 > 5  -7 < -5 • -2x ≤ -8  x ≥ -8 soit x ≥ 4 -2

22. b) Représentations graphiques des solutions: x > 4 : x ≥ 4 : x < -1 : c) Astuce : Pour vérifier notre réponse, on peut remplacer x par 0. Exemple: 2x + 6 > 5x + 9 Est-ce que 0 est solution ? 6 > 9 donc 0 n’est pas une solution . Si notre réponse est : x > -1 nous avons du faire une erreur !!! -1 4 4 ] [ [

23. c) Rédaction type : 2x + 6 > 5x + 9 2x – 5x > 9 – 6 - 3x > 3 x < 3 -3 Soit x < -1 Les solutions sont les nombres strictement inférieurs à -1. d) Astuce : D’après les solutions trouvées, 0 n’est pas une solution . On peut vérifier en remplaçant x par 0 dans l’équation de départ. 2x + 6 > 5x + 9 6 > 9 Faux, comme prévu ! -1 [

24. II - Inéquation : Ex 7 p131:Dire comment on a transformer la 1ère équation pour obtenir la 2ème, et si les 2 équations sont équivalentes. a) 4x+5 < 2x b) 3x+5 > 11 – 5xc) 4x≤ -3 4x < 2x – 5 8x+5 > 11 x ≤ -3 4 d) -2x ≥ 5 e) -7x > -6 f) -2 + x < 7 x ≥ 5 x < 6 x < 9 -2 7 Ex 5p135: a) 2x ≤ -5 b) -4x ≥ 3 c) -6x < -12 d) 5x ≥ 10 e) 5 – x ≥7

25. Ex 6p135:a) 3x -7 ≤ 8 – 2x b) 11 – 2x ≥ 4x – 1 c) 7x – 11 ≥ 3x + 1 Ex 7p135:a) 2(x – 5) + 3x ≤ 5x – (3 – 2x) b) 5 – (8x – 12) ≥ 2 + 3(2x – 5)

26. Ex 9p132:Sarah montre à son amie Céline les solutions des inéquations qu’elle a résolues: (1) 3x +2 < 5x +3 (2) 10x+11 ≥ 7x+14 Céline dit rapidement à Sarah sans résoudre les équations : « Je suis sûre que tu t’es trompée les 2 fois! » Comment procède-t-elle? Ex 51p139 :a) 5x – 11 < 3x + 1 b) 4x – 5 > 7x +10 c) -2x + 7 ≥ -6x + 2 d) 3x – 11 ≤ x – 15 -1/2 25/3 ] [

27. Ex 69p141:Léa et Léo choisissent un même nombre entier positif.Léa multiplie ce nombre par 2 et ajoute 6. Léo multiplie ce nombre par 4 et retranche 5. Trouver tous les nombres possibles qu’ils peuvent choisir pour qu’après ces calculs, Léa obtienne un résultat supérieur à celui de Léo. Ex 82p142:Deux amies Karine et Adèle sont embauchées pour vendre des beignets sur les plages.Karine gagne 6€ de l’heure et 0,50€ par beignet vendu.Adèle gagne 5€ de l’heure et 0,75€ par beignet vendu.Au bout de 4h, Karine et Adèle ont vendu le même nombre de beignets.Combien doivent-t-elles en avoir vendus chacune pour que Karine gagne davantage qu’Adèle?