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§1 　向量的概念及向量的表示

B. A. 以 A 为起点, B 为终点的向量, 记为 AB , , a. 向量 AB 的大小叫做向量的模. 记为 || AB| | 或. §1 　向量的概念及向量的表示. 一、向量的基本概念. ( 一 ) 　向量的概念. 1. 向量 : 既有大小 , 又有方向的量 , 称为 向量 . ( 或 矢量 ). 2. 向量的几何表示法 : 用一条有方向的线段来表示向量. 以线段的长度表示向量的大小 , 有向线段的方向表示向量的方向. 大小相等且方向相同 ,. 特别 : 模为 1 的向量称为 单位向量.

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§1 　向量的概念及向量的表示

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  1. B A 以A为起点, B为终点的向量, 记为AB, , a . 向量AB的大小叫做向量的模. 记为 ||AB|| 或 §1　向量的概念及向量的表示 一、向量的基本概念 (一)　向量的概念 1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量. (或矢量) 2.向量的几何表示法: 用一条有方向的线段来表示向量. 以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.

  2. 大小相等且方向相同, 特别:模为1的向量称为单位向量. 模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的. 3.自由向量 自由向量：只有大小、方向,而无特定起点的向量. 具有在空间中可以任意平移的性质.

  3. (二)向量的加减法 1、向量加法 (1) 平行四边形法则 　　设有　　(若起点不重合, 可平移至重合). 作以　　为邻边的平行四边形, 对角线向量, 称为　　的和, 记作 (2) 三角形法则 　　将　　之一平行移动,使　　的起点与　的终点重合, 则由 的起点到　的终点所引的向量为

  4. 2.向量加法的运算规律. (1)交换律: (2)结合律: 例如:

  5. 3.向量减法. (1)负向量:与　模相同而方向相反的向量, 称为　的负向量.记作 (2)向量减法. 规定:

  6. 　　平行四边形法则. 将　　之一平移, 使起点重合, 作以　　　为邻边的平行四边形, 对角线向量, 为 　　三角形法则. 将　　之一平移, 使起点重合, 由　的终点向　的终点作一向量, 即为

  7. 其中: 当> 0时, 当< 0时, ( >0) ( <0) 当= 0时, (三) 数与向量的乘法 实数与向量　的　　　为一个向量. 1. 定义 2. 数与向量的乘积的运算规律: (1) 结合律: (2) 分配律:

  8. 定理1:两个非零向量　　平行 则 存在唯一实数，使得 或 (方向相同或相反) 结论:设　表示与非零向量　同向的单位向量.

  9. 解: = AC = 2MC C D 有MC = M MA = MC A B 又 = BD = 2MD 有MD = MB = MD 例1:在平行四边形ABCD中, 设AB=,AD = 试用　　　表示向量MA,MB,MC和MD. 其中, M是平行四边形对角线的交点.

  10. (四)　向量在轴上的投影 1. 点在轴上投影 　　设有空间一点A及轴u, 过A作u轴的垂直平面,平面与u轴的交点A'叫做点A在轴u上的投影. A u A' 

  11. 设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A 和B . 称有向线段A B为 向量AB在轴u上的投影向量或射影向量. B A u A' B' 2. 向量在轴上的投影. 定义

  12. B A e u A' B' 则向量 AB 的投影向量 A'B' 有： ； 即 如果向量e为与轴u的正方向的单位向量， 则称x为向量 AB在轴u上的投影，记作 显然 || || 当 与u轴同向时， || || 当 与u轴反向时，

  13. 设有非零向量 (起点同). (2) 若　　反向，则 3. 两向量的夹角 规定： 正向间位于0到之间的那个夹角为　　的夹角, 记为　　　或 (1) 若　　同向，则 (3) 若　　不平行，则

  14. 定理 2. (投影定理) 设向量AB与轴u的夹角为 则 PrjuAB = || AB ||·cos  B A B1  u B A   4. 向量的投影性质.

  15. 即 C A B C B u A 定理3:两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在 该轴上的投影的和。 推论:

  16. 即 定理4:实数与向量　的乘积在轴u上的投影， 等于乘以向量　在该轴上的投影。

  17. z o y x 二. 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示 (一) 　空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的建立 y o x z x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点O叫做坐标原点.

  18. z III II IV I 0 y VI VII x V VIII 2. 坐标面. 由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为坐标面, 分别叫x y面. y z面、z x面, 它们将空间分成八个卦限.

  19. z M > (x, y, z) z M y O y x x (二) 空间向量的表示 1. 点在空间直角坐标系中的坐标表示. < R 记: 点M为M (x, y, z) Q P

  20. 特别: (1) 若点M在yz面上, 则 x = 0; 在zx面上, 则 y = 0; 在xy面上, 则 z = 0. (2) 若点M在x 轴上, 则 y = z = 0 在 y 轴上, 则 x = z = 0 在 z 轴上, 则 x = y = 0

  21. z (1)起点在原点的向量OM C z M k B o y y j i x A N x = xi + yj +zk OM = OA + AN +NM x, y, z,分别是OM 在三坐标轴上的投影, 称为OM 的坐标. = OA + OB + OC 简记为 OM=(x, y, z)称为向量OM的坐标表示式. 2.空间向量的坐标表示 设点 M (x, y,z) 以 i, j, k分别表示沿x, y, z轴正向的单位向量, 称为基本单位向量.

  22. z C z M k B o y y j i x A N x (1) 由于： 从而：

  23. z M1 a a = M1M2 = OM2  OM1 M2 o y x (2). 起点不在原点O的任一向量 a = M1M2 设点 M1(x1, y1 , z1), M2(x2, y2 , z2) = (x2 i+y2 j +z2 k)  (x1 i + y1 j+ z1 k) = (x2 x1)i + (y2 y1)j + (z2 z1)k 即 a = (x2 x1, y2 y1 , z2 z1) 为向量a的坐标表示式 记 ax = x2 x1, ay = y2 y1 , az = z2 z1 分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影, 称为a的坐标.

  24. (2) (3) a = M1M2 = (x2 x1, y2 y1 , z2 z1) 由此得 两点间距离公式：

  25. (3). 运算性质 设 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 且为常数 a b = (ax bx , ay by , az bz ) a= (ax , ay , az) 证明: a+ b = (ax i+ay j+az k) +(bxi+by j+bz k) = (ax i+ bxi) +(ay j+ by j) + (az k +bz k) = (ax + bx)i+ (ay+ by) j + (az+bz )k  a+ b = (ax +bx , ay +by , az +bz )

  26. 则 (为常数) a // b a = b a // b (*) 注: 在(*) 式中, 规定若某个分母为零相应的分子也为零. (4) 两向量平行的充要条件. 设非零向量 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 即ax=bx, ay=by, az=bz, 于是 例如：(4, 0, 6) // (2, 0, 3)

  27. z a   0  y x ax =|| a ||  cos ay =|| a ||  cos az =|| a ||  cos 故有 (三) 向量的模与方向余弦的坐标表示式 1. 方向角:非零向量a 与x, y, z 轴正向夹角, , 称为a 的方向角. 2. 方向余弦:方向角的余弦 cos, cos, cos 称为方向余弦. 3. 向量的模与方向余弦的坐标表达式 设a =(ax, ay, az,)

  28. 又： (4) (5)

  29. 由(5)式可得 cos2 +cos2 +cos2 = 1 (6) 设ao是与a同向的单位向量 ao = (cos , cos , cos ) (7)

  30. 解: M1 M2 = (1, 1,  ) ||M1 M2 || = 　　例2.已知两点M1(2, 2, )和M2(1, 3, 0). 计算向量M1 M2的模, 方向余弦和方向角.

  31. 所求点为 M (0, 0, ) 例3:在z轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和B(3, 5, 2)等距离的点. 解: 设该点为M(0, 0, z) 由题设 |MA| = |MB|. 即: 解得:

  32. 例4 证明以M1(4, 3, 1), M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解: 由 |M2 M3 | = |M3 M1 |, 所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.

  33. F s 且 当 时，做正功； 当 时，做负功； 当 时，不做功。 §2　向量的数量积.向量积及混合积 一、 向量的数量积 例如:设力F 作用于某物体上, 物体有一段位移S , 求功的表示式. 解:由物理知, 与位移平行的分力作功, 与位移垂直的分力不作功. 于是 W=|F |cos  |S | = |F | |S | cos

  34. 将数值|a ||b|cos称为a与b的 数量积 内积 ( 或 点积), 记作 a  b . 1. 定义1: 设有两个向量 a、b, 它们的夹角为, 即: a  b = |a| |b| cos

  35. a  b = |a| |b| cos 注1:当a  0时, | b | cos = Prjab 当 b  0时, | a |cos = Prjba 于是a  b = |a| Prjab = |b| Prjba 注2:a  a = | a |2 例如:i i = j j = k k = 1

  36. a  b = |a| |b| cos a  b = |a| Prjab = |b| Prjba 2. 数量积的性质 (1) 交换律 a  b =b  a (2) 分配律 (a + b) c =a  c + b c (3) 数量积满足如下结合律: ( a) b =a ( b)= (a b), 为实数 且a  a = 0 a = 0 (4) a a  0 ，

  37. (5)两个非零向量a , b垂直　ab = 0 证:必要性:　设a  b, 充分性: 设a  b = | a |  |b |cos =0; 由a 0, b 0, 得:cos =0 , 即　　a  b 例如:i、j、k 互相垂直, 所以 i j = j k = i k = 0

  38. b (a b) = a  (a b) 例1. 如图, 利用数量积证明三角形的余弦定理 c | c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a |  | b |cos b 证: a 由于c = a b , 于是  | c |2 = | a  b |2 = (a b)  (a b) = aa + bb 2 ab = | a |2 + | b |2 2 | a |  | b |cos | c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a |  | b |cos 故:

  39. 3. 数量积的坐标表示式 设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), 则 a b = (ax i + ay j+ az k )  (bx i+ by j+ bz k ) = ax i (bx i+ by j+ bz k ) + ay j  (bx i+ by j+ bz k ) + az k  (bx i+ by j+ bz k ) = ax bx i i+ ax by i j+ axbz i  k + ay bx j  i+ayby j j+ aybz j  k + az bx k  i+ azby k j+ azbz k  k = ax bx + ay by + azbz a b= ax bx + ay by + azbz 得公式: (1)

  40. 推论:两个非零向量 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz)垂直 ax bx + ay by + azbz = 0

  41. 4. 数量积在几何中的应用 设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), (1) 求 a在 b上的投影. Prjba = | a |  已知: 由|a | |b |  = a  b , 得 (2)

  42. (2) 求两向量 a, b 的夹角 由 | a | | b |cos= a  b, 知 (3)

  43. AMB即为向量MA与MB的夹角. 由 MA= (1, 1, 0), MB = (1, 0, 1) cosAMB= 已知三点 M (1, 1, 1), A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB. 例2 解: 得: 所以

  44. F  P L O Q (1) |M| = |OQ| |F | = |OP| sin ·|F | = |OP| |F | sin (2) M的方向: 垂直于OP与F 所在的平面, 指向满足右手规则. 即:右手四指从OP以不超过的角转向F 握拳, 大拇指的指向就是M 的方向. 二、两向量的向量积 设O为一根杠杆L的支点, 有一个力F 作用于这杠杆上P点处, F 与OP的夹角为 , 考虑 F 对支点 O 的力矩. 例如: 由力学规定: 力F 对支点O的力矩是一个向量M . 其中:

  45. c = ab 设有两个向量 a、b, 夹角为, 作一个向量c, 使得 b  a 以a、b为邻边的平行四边形, 其面积等于| a | | b |sin, 所以a  b的模, 等于以a、b为邻边的平行四边形的面积. 1. 定义1: (1) | c | = | a | | b | sin (2) c 与a、b所在的平面垂直, (即 c  a且c  b). c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定. 则将向量c 称为 a 与 b 的向量积, 记作: a  b. 即: c = a  b 注:向量积的模的几何意义.

  46. (1) a  a = 0 (2) 反交换律 a  b = b  a (3) 分配律 a (b + c) = a  b + a  c (4) 向量积与数乘满足结合律: 向量积的性质 | c | = | a | | b | sin (b + c)  a= b  a + c  a ( a) b = a  ( b)=  (a  b ), 为实数

  47. (5) 两个非零向量a 、b 平行a  b = 0 必要性: 设a 、b 平行, 则  = 0或  = . 于是 证: | a  b | = | a | | b |sin = 0 所以a  b = 0 充分性: 设 a  b = 0 则| a  b | = | a | | b |sin = 0 由 | a |  0, | b |  0, 得  = 0或  = . 所以 a 与 b 平行

  48. z i y j k x 例如: i  i = j  j = k  k = 0 i  j = k k  i = j j k = i j  i = k k  j =  i i  k =  j

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