1 / 90

METODE SIMPLEX

METODE SIMPLEX. Simplex Method- An algebraic, iterative method to solve linear programming problems.

lynch
Download Presentation

METODE SIMPLEX

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. METODE SIMPLEX

  2. Simplex Method- An algebraic, iterative method to solve linear programming problems. • The simplex method requires that the problem is expressed as a standard LP problem. This implies that all the constraints are expressed as equations by adding slack variables. (Variable yang mewakilitingkatpengangguranataukapasitas yang merupakanbatasan)  S1 , S2, S3,……Sm • The method uses Gaussian elimination (sweep out method) to solve the linear simultaneous equations generated in the process. LINEAR PROGRAMMINGSIMPLEX METHOD

  3. Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari suatu titik ekstrem pada daerah fisibel menuju ke titik ekstrem yang optimum Metode Simpleks

  4. Berikut ini diberikan pengertian dari beberapa terminologi dasar yang banyak digunakan dalam membicarakan metode simpleks : Maks atau Min : Z = c1x1 + c2x2 + ... +cnxn Berdasarkan : a11x1+a12x2+...+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+...+a2nxn = b2 . . . am1x1+am2x2+...+amnxn = bm xi ≥ 0 ( i = 1,2,...,n )

  5. Makapembatasdari model tersebutdapatdituliskankedalambentuk system persamaan AX = b • Perhatikansuatu system AX = b dari m persamaan linier dalam n variable (n>m).

  6. Solusi Basis Solusi basis untukAX = b adalahsolusidimanaterdapatsebanyak-banyaknya m variabelberhargabukan nol. Untukmendapatkansolusi basis dari AX = b makasebanyak (n-m) variabelharusdinolkan. Variabel-variabel yang dinolkaninidisebutvariabelnonbasis (NBV). Selanjutnya, dapatkanhargadari n-(n-m) = m variabellainnya yang memenuhi AX = b, yang disebutvariabel basis (BV). • Solusi Basis Fisibel Jikaseluruhvariabelpadasuatusolusi basis berharganonnegatif, makasolusiitudisebutsolusi basis fisibel (BFS) • SolusiFisibelTitikEkstrem Yang dimaksuddengansolusifisibeltitikekstrematautitiksudutialahsolusifisibel yang tidakterletakpadasegmengaris yang menghubungkanduasolusifisibellainnya. Definisi

  7. Sifat 1 : jikahanyaadasatusolusi optimum, makapastiadasatutitikekstrem, ataujikasolusioptimumnyabanyak, maka paling sedikitadaduatitikekstrem yang berdekatan. Sifat 2 : hanyaadasejumlahterbatastitikekstrempadasetiappersoalan. Sifat 3 : jikasuatutitikekstremmemberikanharga z yang lebihbaikdari yang lainnya, makapastisolusiitumerupakansolusi optimum Sifat 3 inimenjadidasardarimetodesimpleks. Ada tigasifatpokoktitikekstremini, yaitu:

  8. Langkah inisialisasi : mulai dari suatu titik ekstrem (0,0) • Langkah iteratif : bergerak menuju titik ekstrem berdekatan yang lebih baik. Langkah ini diulangi sebanyak diperlukan. • Aturan penghentian : memberhentikan langkah ke-2 apabila telah sampai pada titik ekstrem yang terbaik (titik optimum). Prosedur Metode Simpleks :

  9. Sebagairingkasandari ide metodesimpleksiniialahbahwametodeiniselaludimulaipadasuatutitiksudutfisibel, danselalubergerakmelaluititiksudutfisibel yang berdekatan, mengujimasing-masingtitikmengenaioptimalitasnyasebelumbergerakpadatitiklainnya.

  10. Untuk menyelesaikan persoalan LP dengan tujuan maksimasi menggunakan metode simpleks dilakukan dengan langkah-langkah berikut ini : • Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar. • Cari solusi basis fisibel. • Jika seluruh NBV mempunyai koefisien nonnegatif (artinya berharga positif atau nol) pada baris fungsi tujuan, maka BFS sudah optimal. Jika pada baris fungsi tujuan masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilihlah salah satu variabel yang mempunyai koefisien paling negatif pada baris itu. Variabel ini akan memasuki status variabel basis, karena itu variabel ini disebut sebagai variabel yang masuk basis (entering variabel/EV). Algoritma Simpleks untuk Persoalan Maksimasi

  11. Hitung rasio dari ruas kanan/koefisien EV pada setiap baris pembatas dimana EV-nya mempunyai koefisien positif. Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio positif terkecil akan berubah status menjadi variabel nonbasis. Variabel ini kemudian disebut sebagai variabel yang meninggalkan basis (leaving variabel/LV) Lakukan operasi baris elementer untuk membuat koefisien EV pada baris dengan rasio positif terkecil ini menjadi berharga 1 dan berharga 0 pada baris-baris lainnya. 5. Kembali ke langkah 3. Catatan : jika ditemukan lebih dari satu baris yang mempunyai rasio positif terkecil, pilihlah salah satu. Cara ini tidak akan mempngaruhi hasil perhitungan akhir.

  12. Untuk menyelesaikan persoalan LP dengan fungsi tujuan meminimumkan Z, ada dua cara yang dapat dilakukan, yaitu : • Mengubah fungsi tujuan dan persamaannya, kemudian menyelesaikannya sebagai persoalan maksimasi. • Memodifikasi langkah 3 sehingga menjadi : • Jika seluruh NBV pada baris fungsi tujuan mempunyai koefisien yang berharga nonpositif, maka BFS sudah optimal. Jika pada baris fungsi tujuan masih ada variabel dengan koefisien positif, pilihlah salah satu variabel yang berharga paling positif pada baris fungsi tujuan itu untuk menjadi EV. AlgoritmaSimpleksuntukPersoalanMinimasi

  13. Degenerasi Kasus ini terjadi apabila satu atau lebih variabel basis berharga nol (b=0) sehingga iterasi yang dilakukan selanjutnya bisa menjadi suatu loop yang akan kembali pada bentuk sebelumnya. Kejadian ini disebut cycling atau circling. • Solusi Optimum Banyak Suatu persoalan dapat memiliki lebih dari satu solusi optimum. Kasus ini terjadi apabila fungsi tujuan paralel dengan fungsi pembatas, dimana paling sedikit salah satu dari variabel nonbasis (pada persamaan z pada iterasi terakhir) mempunyai koefisien berharga nol. Akibatnya walaupun variabel tersebut dinaikkan harganya (dijadikan variabel basis), harga Z tetap tidak berubah. Karena itu solusi-solusi optimumyang lain ini biasanya dapat diidentifikasi dengan cara menunjukkan iterasi-iterasi tambahan pada metode simpleksnya, dimana variabel-variabel nonbasis yang berkoefisien nol itu selalu dipilih untuk menjadi entering variabel. Kasus Khusus dalam Penggunaan Algoritma Simpleks

  14. Solusi Tak Terbatas Kasus ini terjadi apabila ruang solusi tidak terbatas sehingga nilai fungsi tujuan dapat meningkat (untuk maksimasi) atau menurun (untuk minimasi) secara tidak terbatas. Apabila persoalannya berdimensi dua dapat diselesaikan secara grafis. Akan tetapi, jika persoalan yang dihadapi berdimensi tiga atau lebih, maka untuk mendeteksi apakah solusinya terbatas atau tidak, dilakukan dengan cara : Perhatikan koefisien-koefisien pembatas dari variabel nonbasis pada suatu iterasi. Jika koefisien-koefisien tersebut berharga negatif atau nol berarti solusinya tak terbatas. Jika koefisien fungsi tujuan variabel tersebut berharga negatif (untuk maksimasi) atau positif (untuk minimasi), maka nilai fungsi tujuannya tidak terbatas.

  15. Slack Variables • Inequality constrains can be converted to equalities by introducing “slack variables” • Misal: • X1+2X2+3X3+4X4  25, bisa ditulis sebagai • X1+2X2+3X3+4X4+S = 25 • dengan s  0 (slack variable) • Atau: • X1+2X2+3X3+4X4  25, bisa ditulis sebagai • X1+2X2+3X3+4X4 - S = 25 • dengan s  0 (slack variable)

  16. Langkah penyelesaian (1) 1. Represent the LP problem in standard form Objective function Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 + C4 X4 + .............+ Cn Xn Constraints 1). a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + .........+ a1n Xn ≤ b1 2). a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 + .........+ a1n Xn ≤ b2 3). a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 + .........+ a3n Xn ≤ b3 4). a41 X1 + a42 X2 + a43 X3 + .........+ a4n Xn ≤ b4 . . . . . . . m). am1 X1 + am2 X2 + am3 X3 +.........+ amn Xn≤ bm Xi ≥ 0 , i = 1,2,3…..n bj 0 , j=1,2,…,m X  variables; c  objective parameters; a  constraints parameters; b  right hand side value of constraints

  17. Langkah penyelesaian (2) • 2. Nyatakan persamaan fungsi tujuan dalam bentuk dengan z adalah nilai dari fungsi tujuan 3. Rubahsemuapertidaksamaanbatasan (all inequality constrains) kedalambentukpersamaanbatasan (equality constrains)denganmemasukkan variable Slack 4. Susun persamaan fungsi tujuan dan persamaan batasan ke dalam tabel simplex.

  18. Langkah penyelesaian (3) CONTOH : Perusahaan barang tembikar • Lankah 1. • Maximize Z=4X1+5X2 (0) • Batasan: X1 +2X2  40 (1) 4X1 +3X2  120 (2) Langkah 2 dan 3 Fungsi tujuan Z - 4X1 - 5X2 = 0 (0) X1 +2X2 + S1= 40 (1) Batasan 4X1 +3X2 + S2 = 120 (2)

  19. Langkah penyelesaian (4) Langkah 4 : Menyusun table Simplex awal (Iterasi0) Basic Variable (Variable dasar) : adalah variable yang nilainya sama dengan sisi kanan dari persamaan. Pada persamaan (1) dan (2) bila belum ada kegiatan maka X1 = 0dan X2 = 0, sehingga nilai S1 = 40 dan nilai S2 = 120. Pada tabel awal diatas nilai Basic variable (S1 dan S2) pada fungsi tujuan harus 0 (nol).

  20. Langkah penyelesaian (5) Langkah 5 : Setelah data tersusun dalam tabel simplex awal, lakukan iterasi sehingga dihasilkan titik optimal • 5.1. Menentukan entering variable: • Dicari variabel yang paling sensitif terhadap fungsi tujuan (max Z). • Dari tabel (baris Z) terlihat bahwa nilai absolut koefisien X2 terbesar yaitu l5l, jadi dipilih X2 sebagai entering variable. Kolom X2 disebut pivot column (PC).Bila pada tabel sudah tidak mempunyai lagi koeffisien yang bernilai negatif pada baris fungsi tujuan, maka tabel ini tidak bisa lagi di optimalkan (sudah optimal). • Selanjutnya hitung nilai ratio, Nilai kolom RHS dibagi dengan nilai pada pivot column yang berkesesuaian. 5.2. Menentukan Leaving variable:  ditentukan berdasarkan nilai ratio minimum, dipilih S1 sebagai leaving variable. Baris S1disebut Pivot Raw (PR)

  21. Langkah penyelesaian Pivot element Pivot Raw Ratio : 40/2 = 20 minimum Pivot column

  22. Langkah penyelesaian 5.3. Membuat table simplex kedua • Bagi semua element pada Pivot Raw (PR) dengan Pivot Element. Dihasilkan element pivot raw baru. • Gantilah basic variable pada baris itu dengan Variable yang terdapat diatas pivot column

  23. Langkah penyelesaian • Hitung nilai element pada baris yang lain (tidak termasuk element Pivot Raw) dengan cara : Element baris baru = (Element baris lama) – (koeffisien pada pivot column) x (nilai element baru pivot raw) Menghitung nilai baru element baris dari Z Koeffisien pada PC Element baris lama -5 x element baru pivot raw Element baris baru 

  24. Langkah penyelesaian Koeffisien pada PC Menghitung nilai baru element baris dari S2 Element baris lama 3 x element baru pivot raw Element baris baru Dihasilkan tabel simplex 2

  25. Langkah penyelesaian Tabel Simplex 2 (iterasi 1) Pada baris fungsi tujuan masih ada koefisien berharga negatif, yaitu koefisien variable X1.  Teruskan proses iterasi, dimulai dari langkah ke 5

  26. Langkah penyelesaian Langkah 5.1 dan5.2 Ratio : 60/2,5 = 24 minimum Pivot element Pivot column Pivot Raw

  27. Langkah 5.3. Membuat table simplex ketiga • Bagi semua element pada Pivot Raw (PR) dengan Pivot Element. Dihasilkan element pivot raw baru. • Gantilah basic variable pada baris itu dengan Variable yang terdapat diatas pivot column

  28. Langkah penyelesaian • Hitung nilai element pada baris yang lain (tidak termasuk element Pivot Raw) dengan cara : Element baris baru = (Element baris lama) – (koeffisien pada pivot column) x (nilai element baru pivot raw) Menghitung nilai baru element baris dari Z Koeffisien pada PC Element baris lama -1,5 x element baru pivot raw Element baris baru

  29. Langkah penyelesaian Menghitung nilai baru element baris dari X2 Koeffisien pada PC Element baris lama 0,5 x element baru pivot raw Element baris baru Dihasilkan tabel simplex 3

  30. Langkah penyelesaian Tabel Simplex 3 Pada baris fungsi tujuan tidak ada lagi koefisien berharga negatif, Dihasilkan titik optimal pada X1 = 24 dan X2 = 8 dengan nilai keuntungan Z = 136.

  31. Langkah penyelesaian SIMPLEX METHOD

  32. Bila ada dua atau lebih variabel non basis mempunyai koefisien negatif terbesar yang sama, maka pemilihan entering variable dapat dijalankan secara bebas. • Mana yang lebih cepat mencapai optimal tidak dapat diprediksi. • Contoh : Fungsi tujuan pada contoh pabrik tembikar dirubah menjadi • Maximize Z=4X1+4X2 (0) • Batasan: X1 +2X2  40 (1) 4X1 +3X2  120 (2) Selanjutnya disusun tabel simplex awal SIMPLEX METHOD

  33. SIMPLEX METHOD Tabel simplex awal Dari tabel simplex awal, tampak variable non basis X1 dan X2 mempunyai nilai koefisien negatif yang sama yaitu -4. Oleh karena itu pada penyelesaian awal entering variable dapat dipilih X1 atau X2 .

  34. SIMPLEX METHOD • Bila ada dua atau lebih variabel basis mempunyai nilai RATIO minimum yang sama, maka pemilihan leaving variable dapat dijalankan secara bebas. • Mana yang lebih cepat mencapai optimal tidak dapat diprediksi. • Contoh : batasan (1) pada contoh pabrik tembikar dirubah menjadi • Maximize Z=4X1+5X2 (0) • Batasan: X1 +2X2  40 (1) 4X1 +4X2  80 (2) Selanjutnya disusun tabel simplex awal

  35. SIMPLEX METHOD Tabel simplex awal Dari tabel simplex awal, tampak variable basis S1 dan S2 mempunyai nilai ratio minimum yang sama yaitu 20. Oleh karena itu pada penyelesaian awal leaving variable dapat dipilih S1 atau S2 . Pivot column Ratio minimum

  36. SIMPLEX METHOD Penyelesaian simplex method bagi kasus yang menyimpang dari bentuk standard Diselesaikan dengan mengintroduksi slack variable sebagai variable basis yang harganya sama dengan ruas kanan (positif) Maximize : Subject to : aijXj≤ bi (bi > 0 ) Xj≥0 Bila ada penyimpangan dari bentuk standard  dilakukan penyesuaian-penyesuaian di langkah awal. Setelah itu metode simplex diselesaikan seperti sebelumnya.

  37. SIMPLEX METHOD Pendekatan standard :  Teknik menggunakan Variable buatan (artificial Variable) Memasukkan dummy variable (disebut artificial variable) ke dalam setiap batasan (constaints) yang memerlukan. Variable yang baru akan menjadi variable basis pada pada penyelesaian awal bagi batasan (constaints) yang bersangkutan Iterasi metode simplex akan membuat artificial variable menjadi nol, sehingga akhirnya satu persatu hilang.

  38. SIMPLEX METHOD Contoh : Kasusawal Maximize . : Z = 3 X1 + 5 X2 (0) Constraints : X1≤ 4 (1) 2 X2≤ 12 (2) 3 X1 + 2 X2≤ 18 (3) 1. Persamaan batasan (constraints) jenis = (sama dengan) Misalkan≤padabatasan (3) dirubahmenjadijenis = (samadengan) 3 X1 + 2 X2 = 18 (3)

  39. SIMPLEX METHOD dihasilkan Fungsi tujuan Z -3 X1 - 5 X2 = 0 (0) Constraints : X1+S1 = 4 (1) 2 X2 + S2 = 12 (2) 3 X1 + 2 X2 = 18 (3) Pada batasan Persamaan (3) tidak terdapat variable basis.  Ditambahkan artificial variable A ( 0), hasil revisi : Z -3 X1 - 5 X2 = 0 (0) X1+S1 = 4 (1) 2 X2 + S2 = 12 (2) 3 X1 + 2 X2 + A = 18 (3)

  40. SIMPLEX METHOD Pada hasil revisi ada 3 persamaan dengan 5 variable.  Ada dua variable non basis X1 dan X2 yang pada penyelesaian layak awal harganya = 0. Dari persamaan (1), (2) dan (3) didapatkan nilai variable basis S1 = 4 , S2 = 12 dan A = 18 Langkah selanjutnya memaksa nilai artificial variable A menjadi nol. Dapat dilakukan dengan metode Teknik M / metode penalty. Pada pendekatan ini fungsi tujuan dirubah dulu menjadi : Z = 3 X1 + 5 X2 – MA Dengan M adalah bilangan positif yang sangat besar berhingga. Persamaan (0) dari fungsi tujuan akan menjadi Z - 3 X1 - 5 X2 + MA = 0

  41. SIMPLEX METHOD Padapersamaan (0) yang direvisiterdapat variable basis dengankoefisien M. Variable basis harusdihilangkandaripersamaan (0).  Baris Z yang dihasilkan (revisi) dikurangidengan M kali setiapbarisbatasan yang sesuai. Baris Z pers (0) revisi - M Baris Z pers (0) baru Disusun tabel simplex awal.  iterasi untuk mendapatkan nilai optimal. Dihasilkan X1 = 2, X2 = 6 dan Z = 36

  42. SIMPLEX METHOD Tabel simplex awal Pivot raw Pivot column X1 : entering variable S1 : leaving variable

  43. SIMPLEX METHOD Pemilihan entering variable : Koefisien variable non basis pada persamaan tujuan mempunyai bentuk fungsi linear (aM + b) a  faktor pengganda b  faktor penambah Karena M sangat besar, maka b selalu kecil dibandingkan terhadap aM. Pada umumnya pemilihan entering variable didasarkan pada nilai faktor pengganda a. Contoh Pada tabel awal :koefisien X1 adalah (-3M-3), untuk X2 adalah (-2M-5). Faktor pengganda 3 > 2, sehingga dipilih X1sebagai entering variable. Bila pada koefisien tersebut nilai faktor pengganda sama, maka pemilihan entering variable didasarkan pada faktor penambah b

  44. SIMPLEX METHOD

  45. SIMPLEX METHOD 2. Pertidaksamaan jenis  Dirubah menjadi  dengan cara mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan (-1). Contoh : 0,6 X1 + 0,4 X2  6 menjadi -0,6 X1 - 0,4 X2  -6 Ruas kiri ditambah slack variable -0,6 X1 - 0,4 X2 + S= -6 Nilai slack variable S = -6  negatif, tidak memenuhi syarat. Harus dikalikan (-1), dihasilkan : 0,6 X1 + 0,4 X2 - S= 6 Ruas kanan persamaan terakhir sudah positif, namun koefisien slack variable tetap negatif  selesaikan seperti kasus tipe = (sama dengan).  Ditambah artificial variable A.

  46. SIMPLEX METHOD 0,6 X1 + 0,4 X2 – S + A= 6 Artificial variable A dipakai sebagai variable basis awal (A=6). Dengan demikian Smemulai sebagai variable non basis. Dengan mengintroduksi Artificial variable A , berarti metode teknik M juga diperlakukan disini. 3. Meminimumkan  dirubah menjadi memaksimumkan yang equivalent Minimize Menyelesaikan optimal yang sama Equivalent dengan Maximize

  47. SIMPLEX METHOD Contoh : Minimize : Z = 0,4 X1 + 0,5 X2 (0) Subject to : 0,3 X1 + 0,1 X2  2,7 (1) 0,5 X1 + 0,5 X2 = 6 (2) 0,6 X1 + 0,4 X2 6 (3) X1  0 , X2 0 Minimize : Z = 0,4 X1 + 0,5 X  Maximize : (-Z) = -0,4 X1 - 0,5 X2 Penyelesaian : Masukkan artificial variable A1 dan A2 pada pers (2) dan (3), dan terapkan metode Teknik M, maka Minimize : Z = 0,4 X1 + 0,5 X2 + MA1 + MA2  Maximize : (-Z) = -0,4 X1 - 0,5 X2 - MA1 - MA2

  48. SIMPLEX METHOD Sistem persamaan Maximize (-Z) -Z + 0,4 X1 + 0,5 X2 + MA1 + MA2 = 0 (0) 0,3 X1 + 0,1 X2 + S1 = 2,7 (1) 0,5 X1 + 0,5 X2 +A1 = 6 (2) 0,6 X1 + 0,4 X2 - S2 + A2 =6 (3) S1, A1 dan A2 adalah variable basis untuk penyelesaian dasar awal. Baris Z, pers (0) revisi -M -M Baris Z, pers (0) baru

  49. SIMPLEX METHOD Tabel simplex awal Pivot Raw Pivot column Entering variable : X1 Leaving variable : S1

  50. SIMPLEX METHOD

More Related