离散数学 Discrete thematics

1. 离散数学Discrete thematics

2. 课程回顾 命题：命题的定义、真值、分类及其表示。 命题联结词： 否定、合取、析取、条件、双条件。

3. 第一章 命题逻辑 第2讲 §1—3 命题公式与翻译 §1—4真值表与等价公式 要求：理解合式公式及两个合式公式等价的定义，熟悉命题定律，会证明等价公式。 重点：合式公式的定义，两个合式公式等价的定义，10个命题定律。 难点：推证等价公式。

4. §1—3 命题公式与翻译 一、合式公式 前面已经提到，不包含任何联结词的命题叫做原子命题，至少包含一个联结词的命题称作复合命题。 设P和Q是任意两个命题，则┐P， P∨Q，(P∨Q）→(F∨Q），P (Q ∨┐P)等都是复合命题。 若P和Q是命题变元，则上述各式均称作命题公式。P和Q称作命题公式的分量。 说明： ⑴命题公式没有真值，仅当其中命题变元用确定的命题代入时，才得到一个命题。这个命题的真值，依赖于代换变元的那些命题的真值。 ⑵并不是由命题变元，联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式。

5. 定义1-3.1 命题演算的合式公式(wff)，规定为： (1)单个命题变元（常元）本身是一个合式公式。 (2)如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。 (3)如果A和B是合式公式，那么(A∧B)，(A∨B)，(A→B）和(A B)都是合式公式。 (4)当且仅当能够有限次地应用(1)、(2)、(3)所得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。 这个合式公式的定义，是以递归形式给出的，其中(1)称为基础，(2)(3)称为归纳，(4)称为界限。

6. 按照定义，下列公式都是合式公式： ┐(P∧Q），┐(P→Q)，(P→(P∨┐Q)， (((P→Q）∧(Q→R)) （S T)) 而 (P→Q）→(∧Q)，(P→Q，(P∧Q）→Q） 等都不是合式公式。 练习 11页（1）

7. 联结词的优先级 • 命题公式外层的括号可以省略； • 联结词的优先级：┐、∧、∨、→、。 • 利用加括号的方法可以提高优先级。 范例：如下的Wff： P∧Q→R 等价于Wff： （（P∧Q）→R ） 等价于Wff： （P∧Q）→R 不等价于Wff： P∧（Q→R） 练习 11页（2）

8. 二、翻译（符号化） • 有了联结词的合式公式概念，我们可以把自然语言中的有些语句，翻译成数理逻辑中的符号形式。 • 把一个用文字叙述的命题相应地写成由命题标识符、联结词和圆括号表示的合式公式，称为命题的符号化。符号化应该注意下列事项：① 确定给定句子是否为命题。② 句子中联结词是否为命题联结词。③ 要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。 • 命题符号化步骤： • (1)分成原子命题 • (2)用大写字母代替命题 • (3)按题意用联结词

9. 自然语言的语句用Wff形式化 主要是以下几个方面： ①要准确确定原子命题，并将其形式化。 ②要选用恰当的联结词，尤其要善于识别自然语言中的联结词（有时它们被省略），否定词的位置要放准确。 ③ 必要时可以进行改述，即改变原来的叙述方式， 但要保证表达意思一致。 ④需要的括号不能省略，而可以省略的括号， 在需要提高公式可读性时亦可不省略。 ⑤ 要注意语句的形式化未必是唯一的。 自然语言的语句用Wff形式化的例子。

10. （A ∧ B ∧ C） P 例题 • 例题1 试以符号形式写出命题：我们要做到身体好、学习好、工作好，为祖国四化建设而奋斗。 • 解 找出各原子命题，并用命题符号表示： A：我们要做到身体好。 B：我们要做到学习好。 C：我们要做到工作好。 P：我们要为祖国四化建设而奋斗。 故命题可形式化为：

11. 从表中可看出原命题不能用前述五个联结词单独写出，但是如用命题和联结词组合，可以把本命题表达为：┐(P Q）。 例题2 上海到北京的14次列车是下午五点半或六点开。 解 P：上海到北京的14次列车是下午五点半开。 Q：上海到北京的14次列车是下午六点开。 在本例中，汉语的“或”是不可兼或，而逻辑联结词∨是“可兼或”，因此不能直接对两命题析取。构造表如表如表1-3.1所示。 表1-3.1

12. 例题3 他既聪明又用功。 解 若设 P：他聪明。 Q：他用功。 在自然语言中这个“既……又……”显然与“且”的意义一样，故本例可记为： P∧Q 。

13. 例题4 他虽聪明但不用功。 解 这里“虽……但……”这个词不能用前述联结词表达，但其实际意义是：他聪明且不用功。若设 P：他聪明。 Q：他用功。 本例可表示为： P∧┐Q

14. 例题5 除非你努力，否则你将失败。 解 这个命题的意义，亦可理解为：如果你 不努力则你将失败。 若设 P：你努力。 Q：你失败。 本例可表示为： ┐P→Q

15. 例题6 张三或李四都可以做这件事。 解 这个命题的意义是： 张三可以做这件事，并且李四也可以做这件事。 若设 P：张三可以做这事。 Q：李四可以做这事。 本例可表示为： P∧Q

16. 从上面的例子中可以看到，自然语言中的一些联结词，如：“与”“且”“或”“除非…则…”等等都各有其具体含义，因此需分别不同情况翻译成适当的逻辑联结词。为了便于正确表达命题间的相互关系，有时也常常采用列出“真值表”的方法，进一步分析各原命题，以此寻找逻辑联结词，使原来的命题能够正确地用形式符号予以表达。

17. 练习 把下列自然语言命题符号化： (1)小张既聪明，又勤奋，所以他学习好。 (2)小李不在图书馆，他要么找老师去了，要么就是因为身体不适，回宿舍去了。 解 (1)设 P：小张聪明。 Q：小张勤奋。 R小张学习好。则命题符号化为：P∧Q→R (2)设 P：小李在图书馆。Q：小李找老师。 R：小李身体不适。S：小李回宿舍。 则命题符号化为： ┐P∧(Q ∨(R→S) 命题符号化是很重要的，一定要掌握好，在命题推理中常常最先遇到的就是符号化一个问题，解决不好，等于说推理的首要前提没有了。

18. 小结 学习本节要深刻理解命题公式的定义，能够把用自然语言中的有些语句，翻译成数理逻辑中的符号形式。 合式公式：命题演算的合式公式(wff) 规定为： (1)单个命题变元本身是一个合式公式。 (2)如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。 (3)如果A和B是合式公式，那么(A∧B)，(A∨B)，(A→B）和(A B)都是合式公式。 (4)当且仅当能够有限次地应用(1)、(2)、(3)所得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。 翻译 把自然语言中的有些语句，翻译成数理逻辑中的符号形式。 优先次序 规定联结词运算的优先次序为：┐、∧、∨、→、 练习 12页（5）（6）（7）

19. §1—4 真值表与等价公式 1.真值表 定义1-4.1 在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。 表 1-4.1 现举例说明如下： 例题1 构造┐P∨Q的真值表。 解（见表 1-4.1 ）

20. 例题2 给出(P∧Q）∧┐P的真值表。 解 （见表1-4.2）

21. 表1-4.3 例题3 给出(P∧Q）∨（┐P∧┐Q）的真值表。 解

22. 表 1-4.4 例题4 给出┐(P∧Q） （┐P∨┐Q）的真值表。 解

23. 由表1-4.4 (表1-4.2)可以看出，有一类公式不论命题变元作何种指派，其真值永为真(假)，我们把这类公式记为T(F)。 • 在真值表中，命题公式真值的取值数目，决定于分量的个数。例如，由2个命题变元组成的命题公式共有四种可能的真值，由3个命题变元组成的命题公式共有八种真值。一般说来，n个命题变元组成的命题公式共有2n种真值情况。 练习 17页（1） 18页（6）

24. 从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的不同指派下，其对应的真值与另一命题公式完全相同，如┐P∨Q与P→Q的对应真值相同，如表1-4.5所示。从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的不同指派下，其对应的真值与另一命题公式完全相同，如┐P∨Q与P→Q的对应真值相同，如表1-4.5所示。 表1-4.5 我们说┐P∨Q和P→Q是等价的，这在以后的推理中特别有用。

25. 同理(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)与P Q对应的真值相同，如表1-4.6所示。 表1-4.6 练习 17页（2）

26. 二、等价公式 1.定义 定义1-4.2 给定两个命题公式A和B，设P1，P2，……，Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1，P2，……，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。记作A  B。

27. 在这里，请注意和的区别与联系： • 区别：是逻辑联结词，属于目标语言中的符号，它出现在命题公式中；不是逻辑联结词，属于元语言中的符号，表示两个命题公式的一种关系，不属于这两个公式的任何一个公式中的符号。 • 2、证明方法： ⑴真值表法

28. 由表1-4.7可知P Q与(P→Q) ∧(Q→P）真值相同，命题得证。 例题5 证明 P Q (P→Q) ∧(Q→P) 证明 列出其值表 表 1-4.7

29. ⑵推导的证明方法 ①命题定律（表1-4.8列出的命题定律都可以用真值表予以验证） 表1-4.8

30. 例题6 验证吸收律 P∨（P∧Q）P P∧（P∨Q） P 证明 列出真值表 表1-4.9 由表1-4.9可知吸收律成立。 练习 18页（4）

31. ②等价置换 在一个命题公式中，如果用公式置换命题的某个部分，一般地将会产生某种新的公式，例如Q→(P∨(P∧Q))中以(┐P→Q)取代(P∧Q)，则Q→(P∨(┐P→Q) )就与原式不同。为了保证取代后的公式与原始公式是等价的，故需对置换作出一些规定。

32. 定理1-4.1 设X是合式公式A的子公式，若X  Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到公式B与公式A等价，即A  B。 • 定义1-4.3 如果X是合式公式A的一部分，且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A的子公式。 证明 因为在相应变元的任一种指派情况下，X与Y的真值相同，故以Y取代X后，公式B与公式A在相应的指派情况下，其真值亦必相同，故A  B。 口 满足定理1-4.1条件的置换称为等价置换(等价代换)。

33. 吸收律 证明 设A：Q→(P∨(P∧Q))， B：Q→P 因为 P∨(P∧Q)  P 故 A  B 例题7 证明Q→(P∨(P∧Q))  Q→P 对A  B亦可用表1-4.10予以验证： 表 1-4.10 有了最基本的的命题公式的等价关系，再利用定理1-4.1，就可以推证一些更为复杂的命题等价公式。

34. 合取对析取的分配律 证明 (P∧Q)∨ (P∧┐Q)  P∧ (Q∨┐Q)  P ∧ T 例题8 证明(P∧Q)∨ (P∧┐Q)  P 否定律 同一律  P 例题9 证明P →(Q→R) Q→(P→R) ┐R→(Q→┐P) 证明 P →(Q→R) ┐P∨(┐Q ∨R) ┐Q ∨(┐P ∨R) Q→(P→R) P →(Q→R)  ┐P∨(┐Q ∨R) R ∨(┐Q ∨┐P)  ┐R→(Q→┐P)

35. 证明 例题10 证明((P∨Q) ∧┐(┐P∧┐ (Q∧R))) ∨(┐P∧┐Q) ∨(┐P∧┐R)  T 原式左边((P∨Q) ∧(P∨ (Q∧R))) ∨┐ (P∨Q) ∨┐ (P∨R) ((P∨Q) ∧(P∨ Q)∧(P ∨ R))) ∨┐((P∨Q) ∧ (P∨R))  ((P∨ Q)∧(P ∨ R)) ∨┐((P∨Q) ∧ (P∨R)) 练习 19页（8）  T

36. 小结 本节主要内容： 真值表 在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。 逻辑相等 给定两个命题公式A和B，设P1，P2，……，Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1，P2，……，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。记作A  B。 子公式如果X是合式公式A的一部分，且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A的子公式。 定理1-4.1 设X是合式公式A的子公式，若X  Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到公式B与公式A等价，即A  B。 10个命题定律。

37. 作业 19页 （7）