اصول شبیه سازی

1. اصول شبیه سازی هفته ششم

2. فهرست مطالب هفته ششم • تجزیه و تحلیل داده های ورودی به مدل • گردآوری داده ها • تعیین توزیعهای احتمال • نمودار فراوانی • تعیین توزیع احتمال فرضی • رسم احتمالات • برآورد پارامترها • مروری بر بدیهیات علم آمار: میانگین و واریانس نمونه • برآوردکننده های پیشنهادی • آزمون برازندگی • آزمون مربع کای • کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتمالات مساوی • آزمون برازندگی کالموگروف-اسمیرنف • داده های دومتغیره • رگرسیون خطی ساده • آزمون معناداربودن رگرسیون • به کارگیری معادله رگرسیون در شبیه سازی • رگرسیون خطی چند متغیره

3. تجزیه و تحلیل داده های ورودی به مدل هفته ششم • نیرویمحرکه هر مدلشبیهسازیدادههایورودی است. • تشخیصمناسبتوزیع برای داده های ورودی از لحاظ وقت و صرف سایر منابع کاری عمده محسوب می شود. • فرضهاینادرست در ورودی ها موجب گمراهی در خروجی ها می گردد. • مراحل طراحی مدل معتبر از داده های ورودی مساله: • گردآوری داده های خام • ایجاد توزیع فرضی بر اساس نمودار فراوانی • ارائه برآوردهایی در خصوص پارامترهای مشخص کننده توزیع • آزمون توزیعهای فرضی و برآوردهایی از پارامترهای آنها • اگر توزیع از آزمون موفق بیرون نیاید به گام 2 بازگشت می شود. • اگر پس از چند بار نتیجه ای حاصل نشد از توزیع تجربی استفاده می گردد.

4. گردآوری داده ها هفته ششم • عمده ترین وظیفه در حل مسائل واقعی گردآوری داده هاست. • پیشنهادات: • برنامه‌ریزی: طراحی برگه‌هایی برای جمع‌آوری اطلاعات با توجه به شرایط قبلی مسأله. • البته در مراحل اولیه اشکالی ندارد که این برگه‌هاچندبارتصحیح شود. این نکته را در جمع آوری اطلاعات به یاد داشته باشید که همواره در پی شناساییاوضاع و احوالغیرمعمول پیرامون مسأله باشد. • تجزیه و تحلیل همزمان با گردآوری داده‌ها • کافیبودن داده‌های گردآوری شده را از لحاظ مشخصکردنتوزیع‌هایآماری مورد نیاز به عنوان ورودی شبیه‌سازی تعیین کنید و داده‌هایغیرمفیدیجمع‌آوری نکنید. • ادغام مجموعه های همگن در داده ها • همگنیداده‌ها را در دوره‌های متوالی در چند روز مورد بررسی قرار دهید، مثلا داده‌های 2-3 روز شنبه با 2-3 پنج شنبه ادغام کنید. برای ادغام می توانید آزمون‌های مقدماتی بررسی میانگین را انجام دهید. • بررسی روابطه میان دو یا چند متغیر • بررسی خود همبستگی داده‌های ظاهرا مستقل(مثلا مدت خدمت دهی به مشتری nام به مدت خدمت دهی به مشتری n-1 ام وابسته باشد)

5. تعیین توزیعهای احتمال هفته ششم • نمودار فراوانی • چگونگی ایجاد نمودار فراوانی به شرح زیر است: • حوزه های مقادیر داده های گردآوری شده را به فواصلی تقسیم نمایید. • محور افقی را طوری نمادگذاری کنید که با فواصل انتخاب شده تطبیق نماید. • فراوانی رخدادهای مشاهده ها را برای هر فاصله تعیین کنید. • محور عمودی دستگاه مختصات را طوری نمادگذاری نمایید که همه فراوانی های مربوطه نمایش پذیر باشد. • فراوانی های فواصل مختلف را رسم نمایید. • هاینز و مونتگمری: تعدادفاصله ها بهتر است به اندازه جذراندازهنمونه باشد. • اگر طولفاصلههابیشاز حد زیاد باشد نمودارزمختی به دست می آید که شکل و جزئیات را مشخص نمی کند. • اگر طولفاصلهبیش از حد کم باشد نموداریپرشیار به دست می آید که از عهده هموارسازیدادهها بر نمی آید. • مثال 9-1:(به فایل اکسل مراجعه نمایید)

6. تعیین توزیعهای احتمال هفته ششم • نمودار فراوانی • مثال 9-2: تعداد وسایل نقلیه که از سمت شمال غربی به یک تقاطع وارد می شوند در یک دوره زمانی 20 هفته ای از ساعت 7:00 تا 7:05 مورد شمارش قرار گرفت که داده های مذکور در قالب جدول نمایش داده شده است. نمودار فراوانی مربوطه را رسم نمایید. • پاسخ:فایل اکسل را ببینید.

7. تعیین توزیعهای احتمال هفته ششم • نمودار فراوانی • مثال 9-3: پنجاه قطعه الکترونیک به طور تصادفی انتخاب شده و آزمون تعیین عمر در مورد آنها به انجام رسیده است. به این منظور ولتاژی 1.5 برابر ولتاژ اسمی قطعات مزبور استفاده شده و عمر هر یک ثبت گردیده است.چون عمر متغیری پیوسته است اطلاعات به روز با سه رقم اعشار ثبت شده است. نمودار فراوانی مربوطه را رسم نمایید. • پاسخ:فایل اکسل را ببینید.

8. تعیین توزیعهای احتمال هفته ششم • تعیین توزیع احتمال فرضی • تعیینتوزیعاحتمالفرضی براساس منطقمسأله در دست بررسی و شکلنمودارفراوانی صورت می گیرد. • برخی از توزیعهایاحتمالپیوسته بر حسب مقادیر تابعی که براساس مقادیر واقعیپارامترهای آن تعریف می شود قابلشناسایی است. • یکی از این توابع ضریبتغییرتوزیع احتمال است. • این ضریب در خصوص تابع چگالینماییمنفیصرفنظر از مقدار پارامتر آن همواره برابریک است. • بسته به اینکه پارامترشکل دو تابع چگالی گاما و ویبولمساوی یک، کوچکتر از یک و بزرگتر از یک باشد، ضریبتغییرتابعچگالی نیز مساوی یک، بزرگتر از یک و کوچکتر از یک خواهد بود. • این ضریب در خصوص توزیعهای احتمال مانند یکنواخت، نرمال، نرمال لگاریتمی، بتا و مثلثی مفید نیست.

9. تعیین توزیعهای احتمال هفته ششم • تعیین توزیع احتمال فرضی • برای محاسبهضریب مذکور نیاز به برآوردمیانگین و واریانس توزیع داریم. فرض کنید مشاهدات مستقل و هم توزیع از متغیر تصادفی مورد نظر در دست است. اگر میانگین و واریانس نمونه به صورت و تعریف شود آنگاه و برآوردکنندههاینااریب میانگین و واریانس توزیع احتمال متغیر تصادفی مورد نظر بوده و ضریب تغییر عبارت خواهد بود از • در خصوص توزیعهایگسسته از نسبت استفاده می گردد.

10. تعیین توزیعهای احتمال هفته ششم • تعیین توزیع احتمال فرضی • نسبت و تغییرات آن برای برخی از توزیعهای احتمال گسسته

11. تعیین توزیعهای احتمال هفته ششم • رسم احتمالات • نمودار فراوانی برآوردی از شکل تابع چگالی به دست می دهد. • در این بخش به مقایسه تابع تجمعی برآوردی داده های گردآوری شده با تابع تجمعی متغیر تصادفی پیوسته از طریق رسم نمودار پرداخته شده است. • در این روش نقاط را رسم می نماییم. که در آن عبارت iامین X از نظر ترتیب، تابع تجمعی تجربی و F تابع تجمعی برآوردی است. • اگر این نقاط تشکیل یک خط دادند می توان گفت که دلیلی بر این وجود ندارد که تابع چگالی مورد نظر صحیح نباشد.

12. تعیین توزیعهای احتمال هفته ششم • رسم احتمالات • مثال 9-4: برای اتوبانکی یک مدل شبیه سازی ایجاد شده و اطلاعاتی در زمینه فواصل زمانی بین دو ورود خودورها جمع آوری شده است. طی یک زمان 90 دقیقه ای 220 خودرو به بانک مراجعه نموده و مدتهای بین دو ورود آنها بین خودروی i و i+1 به ازای i=1,2,…,219 مشاهده و پس از مرتب شدن ثبت شده است. نتایج در جدول زیر مشاهده می گردد. توزیع چگالی آنها چیست و چگونه می توان آن را بررسی نمود؟

13. تعیین توزیعهای احتمال هفته ششم • رسم احتمالات • پاسخ: • الف: • ب:نمودارها را با فواصل 0.05، 0.075 و 0.1 مشاهده کنید که آخرین مورد نزدیک به نمایی است. • ج:برای رسم نقاط به مقدار برای توزیع نمایی منفی نیاز داریم که عبارت است از حال اگر نقاط را رسم کنیم می بینیم که تقریبا بر روی یک خط قرار دارد.

14. تعیین توزیعهای احتمال هفته ششم • رسم احتمالات • مثال 9-5: مورد بررسی قرار نمی گیرد.

15. برآورد پارامترها هفته ششم • مروری بر بدیهیات علم آمار: میانگین و واریانس نمونه • اگر مشاهدات یک نمونه nتایی با نشان داده شود میانگین نمونه( ) و واریانس نمونه( ) به شرح زیر است: • اگر داده های در دست بررسی گسسته و در قالب توزیع فراوانی رده بندی شده باشد. اگر تعداد مقادیر متمایز X با k نشان داده شود و فراوانی مشاهده شده برای مقدار از X با نمادگذاری شود آنگاه میانگین و واریانس نمونه از روش زیر به دست می آید:

16. برآورد پارامترها هفته ششم • مروری بر بدیهیات علم آمار: میانگین و واریانس نمونه • مثال 9-6: با تحلیل داده های عرضه شده در قالب جدول 9-1 میانگین و واریانس نمونه را به دست آورید.

17. برآورد پارامترها هفته ششم • مروری بر بدیهیات علم آمار: میانگین و واریانس نمونه • اگرداده های در دست بررسی پیوسته باشد و تنها داده های رده بندی شده در دست باشد از روابط زیر استفاده می گردد که در آن معرف فراوانی مشاهده شده در فاصله رده ای jام و نشان دهنده نقطه وسط فاصله رده ای jام و c تعداد فاصله های رده ای است.

18. برآورد پارامترها هفته ششم • مروری بر بدیهیات علم آمار: میانگین و واریانس نمونه • مثال 9-7: فرض کنید تنها داده های دسته بندی شده عمر قطعات الکترونیک مثال 9-3 در دست باشد مقادیر میانگین و واریانس نمونه را بیابید. • پاسخ: در صورتی که مقادیر واقعی مقداری متفاوت است

19. برآورد پارامترها هفته ششم • برآوردکننده های پیشنهادی • به منظور مشخص نمودن کامل توزیع احتمال فرضی ناچار به برآورد پارامترهای توزیع هستیم. • پارامتر مقداری ثابت ولی مجهول است ولی برآوردکننده متغیر آماری یا تصادفی است که مقدار آن به نتایج نمونه بستگی دارد. اگر پارامتری را با نماد نشان دهیم برآوردکننده آن با نماد نشان داده می شود.

20. برآورد پارامترها هفته ششم • برآوردکننده های پیشنهادی

21. برآورد پارامترها هفته ششم • برآوردکننده های پیشنهادی • مثال 9-8: فرض کنید داده های جدول 9-1 نیازمند تحلیل است. بررسی شکل 9-1 و مقایسه آن با توزیع پواسون چنین می رساند که توزیع احتمال فرضی می تواند پواسون با پارامتر مجهول باشد مقدار این پارامتر را برآورد نمایید. • پاسخ: بر اساس جدول قبل و مثال 9-6 داریم لازم به ذکر است که میانگین و واریانس توزیع پواسون یکی است اگر مقدار واریانس نمونه را نگاه کنیم مقدار 7.63 را به خود اختصاص داده ولی چون میانگین و واریانس نمونه هر دو متغیر تصادفی هستند انتظار نمی رود که مقادیر یکسانی اختیار کنند.

22. برآورد پارامترها هفته ششم • برآوردکننده های پیشنهادی • مثال 9-9:یک جاسوس مامور است به تعداد تانکهای ارتش دشمن پی ببرد. او می داند که تانکهای ارتش دشمن با شماره مشخص می شوند. شماره ها از 100 شروع می شود و تا مقدار مجهول 100+b ادامه می یابد. جاسوس به مدت یک روز به مراقبت از جاده می پردازد و شماره تانکها را یادداشت می نماید. تعداد برآوردی تانکهای دشمن چقدر است؟ • پاسخ: ما به دنبال برآورد پارامتر یک توزیع احتمال یکنواخت گسسته هستیم که فرض بر پیوسته بودن آن قرار می دهیم در اینصورت داریم:

23. برآورد پارامترها هفته ششم • برآوردکننده های پیشنهادی • مثال 9-10: در یک خط مونتاژ به منظور نصب درهای خودرو از ربات استفاده می گردد در این حالت فرض بر این است که مدت نصب طبق توزیع احتمال نرمال باشد به همین منظور نمونه ای 20 تایی از زمان نصب در جدول زیر در دست است پارامترهای این توزیع نرمال را برآورد کنید. • پاسخ:

24. برآورد پارامترها هفته ششم • برآوردکننده های پیشنهادی • مثال 9-11:فرض کنید مهلت تحویل برای 20 سفارش در جدول زیر ارائه شده باشد و همچنین به این نتیجه رسیده باشیم که مهلت تحویل دارای توزیع گاماست. پارامترهای آن را برآورد کنید. • پاسخ:

25. برآورد پارامترها هفته ششم • برآوردکننده های پیشنهادی • مثال 9-12: اگر داده های مربوط به مثال 9-3 را متعلق به یک توزیع نمایی منفی فرض کنیم پارامتر آن را برآورد نمایید. • پاسخ: در مثال 9-7 مقدار میانگین نمونه آمده است.

26. برآورد پارامترها هفته ششم • برآوردکننده های پیشنهادی • مثال 9-13: مورد بررسی قرار نمی گیرد.

27. آزمون برازندگی هفته ششم • آزمون مربع کای • این آزمون برای نمونه هایی با اندازه های بزرگ و در شرایطی که پارامترها طبق روش درستنمایی ماکسیمم(MLE) برآورد شده باشند به کار می رود. • روش انجام کار • n مشاهده را در مجموعه ای با k فاصله رده ای یا خانه قرار دهید. • آماره آزمون زیر را به دست آورید که در آن و به ترتیب معرف فراوانی مشاهده شده و انتظاری در فاصله رده ای iام هستند و فراوانی انتظاری از رابطه به دست می آید که در آن احتمال فرضی مربوط به فاصله رده ای iام است. • می توان ثابت کرد که به سمت توزیع احتمال مربع کای با k-s-1 درجه آزادی میل می کند که s معرف تعداد پارامترهای توزیع مفروض است که بر اساس داده های آماری برآورد شده اند. • فرض مبنی بر اینکه متغیر تصادفی مورد نظر دارای توزیع احتمال مفروض با پارامترهایی برآورد شده است و که متغیر تصادفی با توزیع مفروض نمی خواند را تعریف کنید. • مقدار بحرانی را محاسبه کنید. • اگر باشد آنگاه فرض صفر را رد کنید.

28. آزمون برازندگی هفته ششم • آزمون مربع کای • اگر ها کوچک باشد باید ادغام صورت پذیرد مقادیر بزرگتر از 3،4 یا 5 بیشتر به کار رفته است. • در حالت گسسته هر یک از مقادیر تصادفی به منزله یک رده است مگر اینکه شرط بالا برقرار نباشد که باید آن را ادغام نمود. • در حالت پیوسته به منظور عملکرد بهتر پیشنهاد می گردد تعداد فاصله های رده ای از جدول زیر استخراج شود.

29. آزمون برازندگی هفته ششم • آزمون مربع کای • مثال 9-14: در مثال 9-8 داده های ورودی ارائه شده در مثال 9-2 را تحلیل کردیم و با توجه به هیستوگرام به نظر می رسید که دارای توزیع پواسون باشد. لذا مقدار برای پارامتر پوآسون برآورد گردید. با استفاده از آزمون مربع کای داشتن توزیع پواسون توسط متغیر تصادفی مذکور را بررسی نمایید. • پاسخ:

30. آزمون برازندگی هفته ششم • آزمون مربع کای • پاسخ:

31. آزمون برازندگی هفته ششم • آزمون مربع کای • پاسخ:

32. آزمون برازندگی هفته ششم • کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتمالات مساوی • سوال اساسی در مواقعی که با توزیع های آماری پیوسته سر و کار داریم، اینست طول هر دسته در رده بندی داده هاچقدر باشد. یک راهکار برای این امر بدین طریق توصیه می شود که بازه هایی با احتمال های یکسان ایجاد کنیم. این امر در ادامه با مثال توضیح داده می شود. • توجه نمایید

33. آزمون برازندگی هفته ششم • کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتمالات مساوی • مثال 9-15: داده های مربوط به زمانهای رویداد خرابی در مثال 9-3 را در مثال 9-12 تجزیه و تحلیل کردیم. به نظر می رسد نمودار داده های مورد بحث دارای توزیع نمایی با پارامتر برآورد شده 0.084 باشد. بر اساس آزمون مربع کای با احتمالات مساوی بررسی نمایید آیا داده های مذکور از توزیع نمایی با پارامتر مذکور برخوردار است یا خیر؟

34. آزمون برازندگی هفته ششم • کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتمالات مساوی • پاسخ:

35. آزمون برازندگی هفته ششم • کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتمالات مساوی • پاسخ:

36. آزمون برازندگی هفته ششم • کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتمالات مساوی • پاسخ:

37. آزمون برازندگی هفته ششم • کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتمالات مساوی • مثال9-16: اگر فرض بر داشتن توزیع ویبول در مثال قبل بوده و برآورد پارامترهای آن باشد. بر اساس آزمون مربع کای با احتمالات مساوی داشتن توزیع را بررسی نمایید. • پاسخ:

38. آزمون برازندگی هفته ششم • کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتمالات مساوی • پاسخ:

39. آزمون برازندگی هفته ششم • کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتمالات مساوی • پاسخ:

40. آزمون برازندگی هفته ششم • کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتمالات مساوی • مثال9-17: فاصله رده ای در توزیع نرمال را تعیین نمایید. • پاسخ:

41. آزمون برازندگی هفته ششم • آزمون برازندگی کالموگروف-اسمیرنف • مورد بررسی قرار نمی گیرد.

42. داده های دومتغیره هفته ششم مورد بررسی قرار نمی گیرد

43. تمرین هفته ششم تمرین های 9، 20، 21 و 24 فصل چهارم کتاب شبیه سازی گسسته پیشامد تمرین های5، 9، 19و 20 تا 22 فصل هشتم کتاب شبیه سازی سیستم های گسسته پیشامد تمرین های12، 13، 14، 16، 17، 18 و 21 فصل نهم کتاب شبیه سازی گسسته پیشامد