Dynaamiset systeemit

1. Dynaamiset systeemit • Talousmatematiikan 3 ov aineopinto-jakso MAT.113 • Opettajat • Professori Ilkka Virtanen (luennot) • Assistentti Virpi Elomaa (harjoitukset) • Aikataulu • Luennot 36 h, viikot 42 – 45, 47 - 48 • ti 14 - 16 D218 • ke 12 - 14 D119 ei 24.10. • to 10 - 12 D218 • Harjoitukset 16 h, viikot 43 - 49 • ma 14 - 16 D218 • ti 14 - 16 D218 (vain 13.11.) • Kirjallisuus (oheislukemisto ja harj.) • runsaasti kirjallisuutta tavallisista differentiaali-yhtälöistä (ordinary differential equations), erityisesti Seppo Salo: Tavalliset differentiaali-yhtälöt, dynaamisista systeemeistä (dynamical systems) ja differenssiyhtälöistä (difference equations). • Erityisalueiden (kontrolliteoria, kaaosteoria) kirjat mainitaan luennoilla.

2. Dynaamiset systeemitSisältöerittely (1) I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT (DY) • Johdatus aiheeseen, käsitteitä • 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt • Separoituva differentiaaliyhtälö • Tasa-asteinen (homogeeninen) yhtälö • Eksakti differentiaaliyhtälö • Integroivan tekijän keino • Esimerkkejä • Lineaarinen differentiaaliyhtälö • Homogeeninen yhtälö • Täydellinen yhtälö • Vakiokertoiminen yhtälö • Erikoistapauksia • Sovelluksia • Yksinkertainen kasvumalli • Puoliintumisaika • Jatkuva korkolasku • Auton jälleenmyyntihinta • Logistinen kasvumalli • Makrotaloudellinen malli • Mikrotaloudellinen malli

3. Dynaamiset systeemitSisältöerittely (2) • Toisen ja korkeamman kertaluvun DY:t • Palautus sijoituksella 1. kertaluvun DY:ksi • Lineaariset DY:t • Homogeenisen yhtälön ratkaisun rakenne • Täydellisen yhtälön ratkaisun rakenne • Vakiokertoimiset 2. kertaluvun DY:t • Vakiokertoimisen DY:n stabiilisuus • Vakiokertoimiset n:nnen kertaluvun DY:t • Sovellus: kysyntä - tarjonta -malli • Differentiaaliyhtälöryhmät • Lineaarinen vakiokertoiminen 1. kl DY-ryhmä • DY-ryhmän ratkaisun stabiilisuus • DY:n numeerisesta ratkaisemisesta • Ratkaisumenetelmiä • Ratkaisu Mathematicalla (myös analyyttisesti)

4. Dynaamiset systeemitSisältöerittely (3) II DIFFERENSSIYHTÄLÖT • Differenssi ja differenssiyhtälöt • 1. kertaluvun differenssiyhtälöt • 2. kertaluvun differenssiyhtälöt • Taloustieteellisiä sovelluksia • Finanssimatematiikan sovellukset • Yksinkertainen Cobweb -malli • Samuelsonin akseleraattorimalli • Stabiilisuustarkasteluja III DYNAAMISIA SYSTEEMEITÄ KÄSIT-TELEVIÄ TEORIOITA • Kontrolliteoria (optimiohjauksen teo-ria, variaatiolaskenta, säätöteoria) • lyhyt esittely, esimerkki • Kaaos-teoria • lyhyt esittely • Katastrofiteoria, systeemidynamiikka • ei käsitellä

5. I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT(1) 1. Johdanto • Funktion derivaatta • Määritelmä • Geometrinen havainnollistus • Funktion differentiaali • Määritelmä • Yhteys derivaattaan • Geometrinen havainnollistus • Funktion differentiaali funktion muutoksen kuvaajana • Differentiaaliin perustuva mallintamisesimerkki • Differentiaaliyhtälöt • Määritelmä • Esitysmuodot • Differentiaaliyhtälön ratkaisun luonne • Yksittäinen ratkaisu funktio • Kaikki ratkaisut muodostavat funktioparven • Yleinen ratkaisu • Tietyt alkuehdot toteuttava yksityisratkaisu • Erikoisratkaisu • Esimerkkejä eri tyyppisistä differentiaali-yhtälöistä

6. I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT(2) 2. Ensimmäisen kertaluvun diff.yhtälöt Separoituva differentiaaliyhtälö • Separoituvan DY:n yleinen muoto • Ratkaisu integroimalla • Ratkaisu suljetussa muodossa • Implisiittinen ratkaisu • Separoituvaksi palautuva yhtälö Homogeenifunktion määräämä DY • DY:n yleinen muoto • Palautus sijoituksella separoituvaksi DY:ksi • Ratkaisu Eksakti differentiaaliyhtälö • Yhtälön muoto • Ratkaisu Integroivan tekijän keino • Palautus eksaktiksi yhtälöksi • Ratkaisu Esimerkkejä yksinkertaisista DY:stä

7. I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT(3) Lineaarinen differentiaaliyhtälö (LDY) • Yhtälöä LDY vastaava homogeeninen DY • Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu • LDY:n yksityisratkaisu • LDY:n yleinen ratkaisu • Yksityisratkaisun löytäminen • Kokeilu muodon perusteella • Vakion varioimiskeino • LDY:n yleisen ratkaisun yleinen luonne • Muutos (transientti) ja steady state -vaiheet Sovelluksia • Yksinkertainen kasvumalli • Vakiosuhteinen eksponentiaalinen kasvu • Puoliintumisaika • Negatiivinen eksponentiaalinen kasvu • Erikoistapaus: puoliintumisaika esim. radio-aktiivisessa hajoamisessa • Jatkuva korkolasku • Kasvumallin sovellus korko- ja investointi-laskelmiin • Auton jälleenmyyntihinta • Negatiivisen kasvumallin sovellus • Jatkuvat poistot

8. I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT(4) • Logistinen kasvumalli • Rajoitettu kasvu kohti tasapainotilaa • Makrotaloudellinen malli • Domarin kasvumalli • Mikrotaloudellinen malli • Kysyntä-tarjonta -tasapainomalli • Toisen ja korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Palautus 1. kertaluvun DY:ksi • Muotoa y”= f(x,y’) olevat yhtälöt • Sijoitus y’= z –> z’= f(x,z) • Ratkaisu kaksinkertaisella integroinnilla • Muotoa y”= f(y,y’) olevat yhtälöt • Sijoitus ja ratkaiseminen kuten edellä Lineaariset 2. kertaluvun DY:t • Johdanto • LDY:n yleinen muoto • LDY:n yleisen ratkaisun periaate

9. I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT(5) • Vakiokertoimiset 2. kertaluvun LDY:t • Homogeeniyhtälön ratkaisu karakteristisen yhtälön avulla • Homogeeniyhtälön ratkaisun tyypit • Vakiokertoimisen LDY:n stabiilisuus • Vakiokertoimiset n:nnen kertaluvun DY:t • Sovellus: kysyntä - tarjonta -malli 4. Differentiaaliyhtälöryhmät • Lineaarinen vakiokertoiminen 1. kl DY-ryhmä • LDY-ryhmän ratkaisun stabiilisuus 5. DY:n numeerisesta ratkaisemisesta • Ratkaisumenetelmiä • Eulerin menetelmä • Perusmenetelmä • Modifikaatiot • Runge-Kutta -menetelmä • DY:n ratkaiseminen Mathematicalla • Analyyttinen ratkaisu • Numeerinen ratkaisu

10. II DIFFERENSSIYHTÄLÖT(1) Differenssi ja differenssiyhtälöt • Differenssin määritelmä • Yhteys derivaattaan • Differenssi ja diskreettiargumenttisen funktion perättäiset arvot • Differenssikaavoja • Differenssiyhtälö 1. kl:n vakiokertoimiset differenssiyht. • Yleisen ratkaisun komponentit • Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu • Koko yhtälön yksityisratkaisu • Komponenttien tulkinnat 2. kl:n vakiokertoimiset differenssiyht. • Ratkaisu karakteristisen yhtälön avulla • Eri tyyppiset ratkaisut • Johdatus korkeamman kertaluvun vakiokertoi-misiin differenssiyhtälöihin Taloustieteellisiä sovelluksia • Finanssimatematiikan sovellukset • Jaksolliset maksut • Annuiteettilaina

11. II DIFFERENSSIYHTÄLÖT(2) • Yksinkertainen Cobweb -malli • Samuelsonin akseleraattorimalli Stabiilisuustarkasteluja • 1. kertaluvun differenssiyhtälön tasapainoratkai-sun stabiilisuus • Lineaarinen vakiokertoiminen differenssi-yhtälö • Yleinen 1. kertaluvun differenssiyhtälö • Kahden muuttujan 1. kertaluvun vakiokertoimi-nen differenssiyhtälöryhmä ja sen tasapainorat-kaisun stabiilisuus • Yhtälöryhmä • Yhtälöryhmän ratkaisu • Tasapainoratkaisun stabiilisuus