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矩形的性质及判定

矩形的性质及判定. 回顾与思考. 学好几何标志是会“ 证明 ”. 证明命题的一般步骤 :. (1) 理解题意 : 分清命题的条件 ( 已知 ), 结论 ( 求证 );. (2) 根据题意 , 画出图形 ;. (3) 结合图形 , 用符号语言写出“已知”和“求证” ;. (4) 分析题意 , 探索证明思路 ( 由 “ 因 ” 导 “ 果 ” , 执 “ 果 ” 索 “ 因 ” . );. (5) 依据思路 , 运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程 ;. (6) 检查表达过程是否正确 , 完善. 1. 我思 , 我进步. 有一个角 是直角. 有一个角

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矩形的性质及判定

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Presentation Transcript

  1. 矩形的性质及判定

  2. 回顾与思考 学好几何标志是会“证明” • 证明命题的一般步骤: • (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); • (2)根据题意,画出图形; • (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; • (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.); • (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; • (6)检查表达过程是否正确,完善.

  3. 1 我思,我进步 有一个角 是直角 有一个角 是直角 矩形 平行四边形 有一组 邻边相等 有一组 邻边相等 两组对边分别平行 菱形 四边形 等腰梯形 一组对边平行另一组对边不平行 正方形 梯形 直角梯形 两腰相等 腰与底垂直 四边形之间的关系 • 四边形之间有何关系？ • 特殊的平行四边形之间呢？ • 还记得它们与平行四边形的关系吗? • 能用一张图来表示它们之间的关系吗?

  4. 2 我思,我进步 A D B C 矩形的性质 • 定理:矩形的四个角都是直角. 已知:如图,四边形ABCD是矩形. 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=900. • 分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证. 证明: 想一想:正方形的四个角都是直角吗? ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴∠A=900,四边形ABCD是平行四边形. ∴∠C=∠A=900, ∠B=1800-∠A=900, ∠D=1800-∠A=900. ∴四边形ABCD是矩形.

  5. 3 我思,我进步 A D B C 矩形的性质 • 定理:矩形的两条对角线相等. 已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. 求证: AC=BD. • 分析:根据矩形的性质性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明. 证明: ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900. ∵BC=CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB.

  6. 4 我思,我进步 A D E B C 直角三角形的性质 • 议一议:设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段? • BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线. • 它与AC有什么大小关系?为什么? • BE等于AC的一半. ∵ AC=BD,BE=DE, • 由此可得推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

  7. 4 例题欣赏 A D O B C ∴∠ODA=∠OAD= 矩形性质的应用 • 已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5cm. 求矩形对角线的长. 解: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD,且 你认为例1还可以怎么去解？ ∵∠AOD=1200, ∵∠DAB=900, ∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).

  8. 2 我思,我进步 A D B C 矩形的判定 • 定理:有三个角是直角的四边形是矩形. 已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=900. 求证:四边形ABCD是矩形. • 分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证. 证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=900, ∴∠A+∠B=18000,∠B+∠C=1800. ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形.

  9. 2 我思,我进步 A D B C 矩形的判定 • 定理:对角线相等的平行四边形是矩形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是矩形. • 分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可. • 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AB∥CD. ∵AC=DB,BC=CB, ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. ∵∠ABC+∠DCB=1800. ∴∠ABC=900. ∴四边形ABCD是矩形.

  10. 4 我思,我进步 已知:CD是△ABC边AB上的中线,且 E A D B C 直角三角形的判定 • 定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. • 求证:△ABC是直角三角形 • 分析:要证明△ABC是直角三角形,可以点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形. • 证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE. ∵ AD=BD,CD=ED, ∴四边形ACBE是平行四边形. ∵AB=2CD,CE=2CD, ∴ AC=DB. ∴四边形ACBE是矩形. ∴∠ACB=900. ∴△ABC是直角三角形.

  11. A A D D B B C C A D 回顾 思考 B C 矩形的性质,推论 • 定理:矩形的四个角都是直角. • ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900. • 定理:矩形的两条对角线相等. • ∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. ∴AC=BD. 推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在△ABC中,∠ACB=900, ∵AD=BD,

  12. A A D D B B C C A D 回顾 思考 B C 矩形的判定,直角三角形的判定 • 定理:有三个角是直角的四边形是矩形. • ∵∠A=∠B=∠C=900, ∴四边形ABCD是矩形. • 定理:对角线相等的平行四边形是矩形. • ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AC=DB. ∴四边形ABCD是矩形. • 定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 在△ABC中, ∵AD=BD=CD, ∴∠ACB=900.

  13. 独立 作业 知识的升华 P150习题 1,2,3,4题. 祝你成功！

  14. 下课了! 再 见 结束寄语 • 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.

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