曲线和曲面上的积分

曲线和曲面上的积分 曲线积分 1.曲线要素

内容提要 • 曲线积分：曲线长、第一和第二型曲线积分 • 曲面积分：曲面面积、第一和第二型曲面积分 • Green公式、Gauss公式、Stokes公式 • 梯度、散度、旋度

曲线与直线、曲面与平面 • 任务: 如何把在直线和平面上的长度和面积“推广”到曲线和曲面上去. 更一般地说如何把定义在n维欧氏空间上的测度推广到n维曲面上去. • 方法: 用折线逼近曲线的长度、切面块网逼近曲面面积. 一般方法: 超切面块网逼近超曲面面积 • 新问题和新领域: 可求长曲线(曲面、超曲面)与不可求长曲线(曲面、超曲面)

如何讨论欧氏空间中的超曲面 • 简单的情形: 曲线(一维超曲面)和余一维超曲面、二维欧氏空间中的曲线、三维欧氏空间中的曲线曲面 • 复杂的情形: 其他的情形, 其讨论需要引入新的数学工具

曲线积分 • 曲线表示和曲线长度 • 曲线上的测度和第一型曲线积分(质量) • 第二型曲线积分(功)

曲线的映射观点定义 • 设: [a,b] Rn(n2) • 若连续,称L=([a,b])为Rn中的一条连续曲线 • 若具有一阶连续导数, 且t[a,b],(t)0, 称L= ([a,b])为Rn中的一条光滑曲线; 若还是单射, L= ([a,b])为Rn中的一条正则曲线 • 若连续,且存在a=a0<a1<…<ak=b,j=1,…,k, Lj=([aj-1,aj])是光滑(正则)曲线, 称L=([a,b])为Rn中的一条分段光滑(正则)曲线

曲线的集合观点定义 • 设LRn, 若存在: [a,b]  Rn, 有L= ([a,b]) • 若连续, 就称L为 Rn中的一条连续曲线, 称为L的一个表示 • 若光滑且导数点点不为零, 就称L为Rn中的一条光滑曲线, 称为L的光滑表示 • 若光滑,单射且导数点点不为零, 就称L为Rn中的一条正则曲线, 称为L的正则表示

同一条曲线的不同表示问题 • 同一条曲线可以有不同表示： • 集合观点下的正则曲线一定有非正则的表示; • 几何上正则的曲线一定有正则表示; • 几何上非正则的曲线一定没有正则表示 • 在下面的讨论中, 我们总假设 • 连续, • L是正则曲线或分段正则曲线,是其相应的表示 • 因此将对曲线的两种观点统一

曲线的分类 • 设: [a,b] Rn(n2), 连续 • 若是单射,称L=([a,b])为Rn中的简单曲线 • 若(a)=(b),称L= ([a,b])为Rn中的闭曲线; • 若(a)=(b), 在[a,b)上是单射,称L=([a,b]) 为中的简单闭曲线;

曲线的方向 • 设LRn,: [a,b] Rn(n2), 连续, L=([a,b]), 规定t由a变化到b所对应的方向(t)的运动方向为L由所确定的正方向, 简称为L的正向; 而把t由b变化到a所对应的方向(t)的运动方向规定为L由所确定的负方向,简称为L的负向

曲线长度定义 • 设:[a,b]  Rn(n2),连续,L=([a,b]) • 设: a=t0<t1<…<tm=b为[a,b]的一个分法, 记它表示依次连接(t0),(t1),…(tm)的折线的长度

曲线长度定义(续) • 称为L的长度(也叫弧长); • 如果|L|<, 就说L是可求长的; • 如果|L|=, 就说L是不可求长的.

向量值函数的积分不等式 • 设=(1,…,n): ERnRn(n2), |.|为 Rn上的一个范数. 若i=1,…n, iL(E), 并定义则||L(E), 且注: 下面的应用中, |.|为欧氏范数#

向量值函数的积分不等式证明 • 注意|.|是Rn上的连续函数, 因此||在E上可测. 再由||C(|1|+…+|n|) (右边的|.|为通常的绝对值, C为正常数)可知||L(E). • 下面证明不等式: j=1,..,n, 取简单函数列记 ,则且

积分不等式证明(续1) • (*)的证明, 不妨设注意在这里可以把E的分解取的仅与k有关,且

积分不等式证明(续2) • 因此由范数|.|的连续性可知由范数|.|的连续性和Lebesgue控制收敛定理可知不等式获证#

正则曲线弧长计算公式 • 设L为正则曲线, : [a,b] Rn为L的正则表示,则L是可求长的，且长度(弧长)为 • 证明:任取[a,b]的一个分法:a=t0<t1<…<tm=b 有注意

正则曲线弧长计算公式证明 • 由积分不等式得到所以由此得到L是可求长的. 下面证明

正则曲线弧长计算公式证明(续1) • 任取>0, 要找分法:a=t0<t1<…<tm=b, 有 • 由在[a,b]上一致连续, 存在>0, 使得 • 取定分法:a=t0<t1<…<tm=b满足

正则曲线弧长计算公式证明(续2) • 由积分中值定理, • 所以，

正则曲线弧长计算公式证明(续3) • 因此由此得到正则曲线长的公式# • 上面的计算公式可以容易地推广到分段正则曲线

弧长计算例1 • 计算摆线(也叫悬轮线)的弧长 • 解:

弧长计算例2 • 计算螺旋线的长度 • 解:

弧长计算例3 • 计算椭圆的周长 • 解: 其中E(e,t)为第二类椭圆积分

作为函数图像的平面曲线弧长计算公式 • 若平面曲线L由y=(x), x[a,b],给出, 则L的弧长计算公式为 • 这只要把L理解为映射: x(x,(x))的像就可以了.

弧长计算例4 • 计算抛物线L: 的长度 • 解:

极坐标方程曲线的弧长计算公式 • 若曲线L由极坐标方程r=r(), [a,b], 或=(r), r[a,b]. 它的弧长计算公式 • 为了讨论的统一, 设曲线L的方程为r=r(t), =(t), t[a,b]. 先把极坐标方程化为直角坐标方程: x=r(t)cos(t), y=r(t)sin(t)

极坐标弧长计算公式证明 • 然后利用一般公式, 计算分量导数 • 计算分量导数的平方和由此得到计算公式.注意dr=r(t)dt,d= (t)dt. 对于r=r(), 对于=(r),

弧长计算例5 • 计算三叶玫瑰线的弧长 • 解:

弧长函数和曲线的自然表示 • 设L为正则曲线, : [a,b] Rn为L的正则表示, 称函数为曲线L的弧长函数, 这是一个[a,b]到[0,|L|]的正则映射, 由反函数t=t(s). 0t同样给出曲线 L,此时参数s有明确的几何解释: L从(0)点到 (s)点的弧长. 因此称为曲线L的自然表示, s 称作L的弧长参数(简称弧长参数), ds=|(t)|dt 称为弧长微元.

曲线的切向量、曲率和主法向量 • 设为曲线L的自然表示, 则s[0,|L|], (s)是单位且向量, 记为T(s). 这由 • T(s)与T(s)正交: 由T(s)•T(s)=1, 两边对s求导就有2T(s)•T(s)=0 • 曲率: 称=|T(s)|为曲线L在(s)处的曲率 • 若T(s)0, 称N(s)=T(s)/|T(s)|为L在(s)处的主法向量

切向量、曲率和主法向量计算的例子 • 例1. 直线: x=x0+tv, 其中x0和v是Rn中的给定向量,v0.此时弧长参数s=t|v|,(s)=x0+sv/|v|, T(s)=(s)=v/|v|, T(s)=0, 因此直线的曲率为0, 其没有惟一确定的主法向量. • 例2. 平面上的圆周曲线: (t)=(rcos t,rsin t), t[0,2],r为给定正数. 此时弧长参数s=rt, (s)=(rcos(s/r),rsin(s/r)),T(s)=(s)=(-sin(s/r), cos(s/r)),T(s)=-(cos(s/r)/r,sin(s/r)/r), 曲率= |T(s)| =1/r,主法向量N(s)=-(cos(s/r),sin(s/r))#

曲线和曲面上的积分

曲线和曲面上的积分

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