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§7-6 对称结构的计算

m. F. q. q. ↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑. ↓↓↓↓↓↓↓↓↓. EI 1. F. F 1. F 1. EI. F 1. F 1. l/2. l/2. EI 2. 对称轴. EI. EI 2. 对称轴. EI 1. 对称轴. 对称轴. a/2. a/2. 反对称荷载. 对称轴. 对称轴. 对称荷载. §7-6 对称结构的计算. 对称结构是几何形状、. 支座、. 刚度. 1 、结构的对称性：. 都对称。. EI. EI. EI. 2 、荷载的对称性：.

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§7-6 对称结构的计算

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E N D

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  1. m F q q ↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ EI1 F F1 F1 EI F1 F1 l/2 l/2 EI2 对称轴 EI EI2 对称轴 EI1 对称轴 对称轴 a/2 a/2 反对称荷载 对称轴 对称轴 对称荷载 §7-6 对称结构的计算 对称结构是几何形状、 支座、 刚度 1、结构的对称性： 都对称。 EI EI EI 2、荷载的对称性： （正）对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向。 反对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。

  2. F/2 F/2 F/2 F/2 F P P F2 W W F1 正对称荷载 反对称荷载 一般荷载 a a a a a 任何荷载都可以分解成正对称荷载+反对称荷载。 F1=W+P，F2=W—P

  3. X1=1 X2 X2=1 X3=1 F X1 X2 X2 F2 X3 一般荷载 3、利用对称性简化计算： 1）取对称的基本体系(荷载任意，仅用于力法) 力法方程降阶 如果荷载对称，MP对称， Δ3P=0，X3=0； 如果荷载反对称，MP反对 称，Δ1P=0， Δ2P=0， X1= X2 =0。 对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。

  4. C F F F F C C C FSC F F F F F F F F F MC FNC FNC 2）取等代结构计算(对称或反对称荷载，适用于各种计算方法) ①对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。 FSC=0 uc=0、θc=0 ， 内力 a）位于对称轴上的截面的位移 EI EI EI 对称：uc=0,θc=0 中柱： vc=0 对称：uc=0, θc=0 C C c）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：将对称轴 上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。 等代结构 等代结构 vc=0 中柱： 对称：uc=0 b）奇数跨对称结 构的等代结构是将 对称轴上的截面设 置成定向支座。 vc=0 中柱： 等代结构

  5. C F F F F C FSC F F 2EI C F F 2EI F F F MC C FNC FNC F F 2EI ②对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。 vc=0 ，内力 FNC=0，MC=0 a）、位于对称轴上的截面的位移 b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆 c）偶数跨对称结构的等代结构 将中柱刚度折半，结点形式不变 EI EI EI C 等代结构 EI EI 等代结构 等代结构

  6. ↑↑↑↑↑↑↑ EI EI EI 2EI EI 6m 46kN/m 81 103.5 6m 6m kNm 135 81 198 EI EI EI 23kN/m 6m 103.5 M 81 K kN·m 103.5 6m 135 kNm 198 135 198 • 利用对称性计算要点： • ①选取等代结构； • ②对等代结构进行计算，绘制弯矩图； • ③利用对称或反对称性作原结构的弯矩图； • ④非对称荷载分成对称和反对称荷载。 例：绘制图示结构的内力图。 ↑↑↑↑↑↑↑ 207 等代结构 等代结构的计算 396

  7. F/2 F/2 F l/4 l/4 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 EI=常数 P F/2 F/2 F/2 X1 解: 11 x1+Δ1P=0 基本体系 11= Δ1P= 1 X1= X1=1 Mp 先叠加等代结构的弯矩图

  8. F C F F B l/2 l/2 F l/2 l/2 l/2 l/2 A F F Fl/8 Fl/8 C B F F Fl/8 Fl/8 C B A F F F 作图示刚架的弯矩图。 EI=常数。

  9. MP 4kN.m 4kN.m 4kN.m 4kN.m 4kN.m 4m 4m 2m 4m 4m 4m 4m X1 · é ù 1 1 2 4 256 d = · · · + · · = 4 4 4 4 4 ê ú 11 EI 2 3 3 EI ë û 1 64 D = · · = 4 4 4 1 P EI EI D 3 = - = - X 1 P d 1 4 2kN 2kN 2kN 11 例题：用力法计算图示结构并作M图。EI=常数。 4 3 1 3 1 M图(kN.m) 4 解: 11 x1+Δ1P=0 X1=1 4

  10. F F F F F • 无弯矩状态的判定： • 在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下 • 有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。 • 常见的无弯矩状态有以下三种： • 1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。 －F M=0 －F M=0 M=0 2）一集中力沿 一柱轴 作用，只有该柱有轴力。 3）无结点线位移的结构， 受结点集中力作用，只有轴力。 MP=0 Δ1P=0 δ11>0 MP=0 X1= Δ1P/δ11=0 M=M1X1+MP=0

  11. 例：求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。例：求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。 MP F/2 F/2 F/2 F/2 EI2 h F EI1 EI1 l l l 1 l l l 1 l h l 2 3 d = · · + · · · · = + h 6 k Fh 11 4 2 2 EI 2 2 2 3 EI EI 24 EI · F/2 X1 + 1 2 1 2 6 k 1 4 1 Fh l Fh l 2 + 6 k 2 Fh 等代结构 基本体系 D = · = h · 1P + 2 2 2 EI 8 EI 6 k 1 4 1 1 D I h = - = l/2 X k F/2 1 P 2 d 1 I l X1=1 6 k Fh 11 1 = - + l/2 6 k 1 2 l Fh/2 －F/2 M=0

  12. Fh Fh 6 k Fh · 2 2 + 6 k 1 4 Fh Fh + 6 k 2 Fh · 4 4 + 6 k 1 4 20 18 Fh Fh I h 19 19 4 4 = k 2 I l 1 k很小 弱梁强柱 k很大 强梁弱柱 k=3 • 荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有关，而与各杆的刚度绝对值无关。 • 内力分布与各杆刚度大小有关，刚度大者，内力也大。

  13. 15 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P P/2 1 EI=C EI=C EI=C EI=C a a P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P EA EA 27 EA EA a X1 X1 等代结构 基本体系 X1=1 0 MP 0 3、绘 求系数 自由项 a a 5、按 绘弯矩图。 例：试用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图。 反对称荷载作用 取等代结构如下 正对称结点荷载作 用下各杆弯矩为零 15 解：将荷载分为正对承和反对称两组 = + 1 27 M图 1、取基本结构； 2、力法方程： 4、解方程：

  14. 3m 16m §7-7 超静定拱的计算方法

  15. M M y X1=1 d + D = X1=1 ò X 0 D = 1 P ds 11 1 1 p 1 p x EI 2 2 M F = - M y ò ò 0 M y d = + 1 N1 ds ds 1 ò D = - ds 11 EI EA = j F cos 1 P EI N1 j 2 2 y cos ò ò d = + ds ds 11 EI EA = - 0 M M FHy = j - f 0 FS FS cos FH sin j + j = 0 sin FN FS FH cos D D = = - - 1 1 P P FH FH d d 11 11 X1 MP=M 0 求出FH后，内力的计算与三铰拱相同 即： 由于拱是曲杆δ11Δ1P不能用图乘法 基本体系是曲梁，计算Δ1P时一般只 考虑弯曲变形， 计算δ11时，有时（在平拱中）还要 考虑轴向变形 三铰拱中： 两铰拱中：

  16. 落地式拱 E1A1 MP=M 0 00 MP=M 0 FH*=1 X1=1 FH=1 2 2 M F ò ò d = + 1 N1 ds ds 11 EI EA M M ò D = 1 P ds 1 P EI D = - 1 P FH d 11 带拉杆的拱作为屋盖结构 • 如果E1A1→∞，则FH*→FH，因而两者的受力状态基本相同。 • 如果E1A1→0，则FH*→0，这时，带拉杆的三铰拱实际一 • 简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。 • 由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状应适 • 当的加大拉杆的刚度。 ＝ ≠

  17. 该例中，两铰拱与三铰拱的内力相等，这不是普遍性结论。该例中，两铰拱与三铰拱的内力相等，这不是普遍性结论。 如果在别的荷载作用下，或在计算位移时不忽略轴向变形的 影响，两者内力不一定相等。但是，在一般荷载作用下，两 铰拱的推力与三铰拱的推力及内力通常是比较接近的。 ↓↓↓↓↓↓↓ q y f x A B 0.5l 0.5l q ↓↓↓↓↓↓↓ x D 2 ql = - = 1 P FH 2 2 3 1 ql ql d 16 f ql ql 11 8 8 16 16 ( ) < < x l l 1 2 l l ò ò d = D = - 2 0 y dx yM dx/EI 11 1 p EI 0 0 2 2 ql ql x 64 64 2 2 æ ö 1 4 f 8 f l ( ) l ò d = - = ç x l x dx 11 2 EI l 15 EI è ø 0 = - 0 2 M qlx qx 3 1 8 2 ( ) = - 0 M ql l x 1 8 例：EI=常数，求FH。拱轴线方程为 解: 简化假定:只考虑弯曲变形;近似地取 ds=dx,cos=1(平拱,f/l<0.2)。 ∴ M0 (0<x<0.5l) M=M0－FHy －FHy M

  18. ↓↓↓↓↓↓↓ q y f x A B 0.5l 0.5l q/2 q/2 q/2 q/2 ↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ ↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q/2 q/2 X1 X1 2 2 ql ql 64 64 例：图示拱，EI=常数，求其水平推力FH。拱轴线方程为 ＝ ＝ ↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑ M0 ＝ M反对称 ＋ ＝ 对称荷载下，取三铰拱为基本体系， 其MP=0∴Δ1P=0，X1=Δ1P/δ11=0， 而 M= MP M对称=0 在反对称荷载下，对称未知力X1=0 = M0 M反对称=M1X1+MP=MP = M0-FHy 而 FH反= =0 基本体系

  19. - y y a ò ò d = - = - ds ds 12 EI EI y y ¢ y‘ y C C1 ò ds a ¢ - X1 y 1 X1 x’ EI ò ò = + = = x ds a ds 0 a o O O1 X2 X2 1 EI EI ò F ds M M k F FN F X1 ò ò ò + d = + X3 ds ds ds S1 1 2 S2 1 N2 EI X2 12 EI GA EA d + d + D = X X 0 M 1 = = = M 1 0 0 F FN1 11 1 12 2 1 P ò ò D = d = ds ds X3 P 1 S1 d + d + D = X X 0 1 P 11 EI EI 21 1 22 2 2 P = = - = = - j j M M y x FN3 FN2 cos sin j d + D = yM y cos 2 2 X 0 3 2 ò ò ò D = - d = + ds ds ds P 33 3 3 P 2 P 22 EI EI EA xM x ¢ 2 ò ò D = d = ds ds P 3 P 33 EI EI F1 F1 F2 F2 F1 F2 对称无铰拱的计算 = X1=1引起： X2=1引起： 对称的基本体系 X3=1引起： δ12= δ21=0　→ O点的物理含义：

  20. y‘ 1/EI ¢ y ò y‘ x‘ ds 弹性中心 EI = a a 1 ò O ds EI 刚臂的端点O就是弹性面积的形心，叫弹性中心。

  21. q=10kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ y q=10kN/m x ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ y ¢ = j = + = j X1 X1 x x R sin y y a R cos A f=2.5m A x’ ¢ y ds ò ò = = a ds 5 . 39 m D X2 X2 EI EI R R φ y‘ R R ¢ = = - = - M 1 M y a y a Φ0 Φ0 Φ0 Φ0 1 2 ò = = d EI M ds 1 . 855 R 2 11 1 O O ò d = = EI M ds 0 . 027 R l =10m 2 3 22 2 例7-3等截面圆弧无铰拱求内力。 解:求R和φ0 R=6.25m

  22. q = M x 2 P 2 ò D = = - EI M M ds 0 . 224 qR 3 1 P 1 P ò D = = - EI M M ds 0 . 0223 qR 4 2 P 2 P D = - = = X 0 . 121 qR 47 . 1 kN . m 2 1 P d 1 11 D = - = = X 0 . 827 qR 51 . 7 kN 2 P d 2 22 = = FH X 51 . 7 kN 2 = - - = M X X ( R a ) 2 . 76 kN . m · M ql 10 10 0 2 2 C 1 2 ¢ = = = = FH 50 kN = = + - j = C M M X X ( a R cos ) 6 . 98 kN . m · f 8 f 8 2 . 5 A B 1 2 0 ¢ - - FH FH 51 . 7 50 = = % 3 ¢ FH 50 三铰拱的水平推力

  23. §7-8 温度改变、支座移动时超静定结构的内力 由于超静定结构有多余约束，所以在无荷载作用时，只要有发生变形的因素，如温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等，都可以产生内力（自内力）。

  24. －35° －35° 6m 8m 6 6 +15° +15° －35° －35° +15° +15° +15° +15° －35° －35° 60cm · · é ù 1 6 6 2 6 432 40cm d = · · + · = X1 6 8 6 2 ê ú 11 EI 2 3 EI ë û D = - - = t 15 ( 35 ) 50 C 50 o a a D D t t D = a · + · · - a · = a ( 6 8 6 6 / 2 2 ) ( 10 )( 1 8 ) 6800 D a 6800 å å å å Δit= ± Δit= a a w w ± ± w w t t = - = - = - a X 15 . 74 EI 1 t 0 . 6 1 t 0 0 N N M M h h d 1 432 EI 11 - 15 35 = = - t 10 C o 0 2 = M M X 1 1 = FN X F N1 1 1、温度内力的计算（仅自由项计算不同） 例7-6图示刚架施工时的温度为15°C，使用期间（冬季）温度 如图。求温度变化产生的内力。EI=常数。 δ11X1+Δ1t=0 基本体系 X1=1 94.2 FN=－15.74 温度改变时的力法计算特点： 1）自内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度的绝 对值有关； 2）系数计算同前； 3）自由项计算 M&FN×αEI

  25. X1 1） 2)  X1 3) a a X1 θ   θ X1=1 a 3) a a a 1/l l/3 2l/3 1.5/l 2、 支座移动时的计算 EI l 支座移动时的力法计算特点：1）取不同的基本体系计算时，不仅力法方程代表的位移条件不同，而且力法方程的形式也不一样。基本体系的支座位移产生自由项。与多余未知力对应的支座位移出现在方程的右边。 2）系数计算同前；自由项 ΔiC=－∑R·c c是基本体系支座位移。3）内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度的绝对值有关 Δ1=δ11x1+Δ1c= 0 Δ1=δ11x1+Δ1c=－a Δ1=δ11x1+Δ1c= θ l X1=1 1 X1=1 δ11= Δ1c= δ11= 1.5 1 Δ1c=－θl X1= X1= Δ1c= δ11= X1= M

  26. · 1 1 l 2 l d = = = d θA 11 22 EI 2 3 3 EI θB · X2 1 l l 1 l Δ Δ d = - = - = d 12 21 EI 2 3 6 EI X1 X1 D X2 D = = D X1=1 1 C 2 C l 1/l 1/l 1 D l l M - + = q X X 1 1 1 2 A 3 EI 6 EI l M D 2 l l X2=1 - + + = q X X 1 2 B 6 EI 3 EI l D é ù EI = q + 2q - X 4 6 ê ú 1 A B l l ë û D é ù EI = q + 2q - X 4 6 ê ú 2 B A l l û ë 用力法求解单跨超静定梁

  27. X2 D X1 ↑↑↑↑↑↑↑ X1 C D 81 EI ↑↑↑↑↑↑↑ X2 q=23kN/m 103.5 EI EI M q=23kN/m 基本体系 kNm A B 6m 6m 135 198 X D 1 1 3 1.5 M =－13.5 =36 §7-9 超静定结构位移计算 G 原结构与基本体系 受力和变形相同 Δ1=0 Δ2=0 当 { 求原结构的位移就归 结求基本体系的位移。 1134 = —— EI 求 ΔDH 1 6 = — — （2×6×135－6×81） EI 6 虚拟的单位荷载可以 加在任一基本体系上，计算结果相同。 =1 G 例：ΔGV M 6×1.5 81 729 =－ ——— · — = － —— 2EI 2 4EI 6

  28. c1 F=1 F=1 M FN FS R c2 M FN FS t2 a a a a D D D D t1 M t t t t FN kFS k = + + + + e = + + + + a a a a g = t t t t 0 0 0 0 EI h h h h EA GA 超静定结构在支座移动和温度改变下的位移计算 M FN FS M FN FS

  29. EI l M  F=1 å l/2 F=1 - R c a l/4 l/2 1/2 综合影响下的位移计算公式 例7-7求例7-5中超静定梁 跨中挠度。

  30. EI, l,t0 ,Δt c F=1 求超静定结构因温度改变、支座移动产生的位移时，若选原结构建立虚拟力状态，计算将会更简单。 ① ② 而：

  31. EI l a l/2 l/2 F=1 F=1 l/2 A 3Fl/16 l/2 F=1 15° l 15° 5F/16 25° 15° 1/2 1/2 1 1/2 －∑R*×c 1 － ＋ － 例：求超静定梁跨中挠度。 Δc= 例：求超静定结构， 各杆EI为常数，截 面为矩形，h=0.1l， 求 A点水平位移。

  32. F=1 C 3 l 40 l/2 l/2 F=1 15° l 1/2 1/2 15° 25° 15° 3 l 40 3/40 － － － 例：超静定结构， 各杆EI为常数,截面 为矩形，h=0.1l， 求C点竖向位移。 解：在原超静定结 构上虚拟单位荷载， 并用力法求得其弯 矩图和轴力图。

  33. 1）重视校核工作，培养校核习惯。 • 2）校核不是重算，而是运用不同方法进行定量校核； • 或根据结构的性能进行定性的判断或近似的估算。 • 3）计算书要整洁易懂，层次分明。 • 4）分阶段校核，及时发现小错误，避免造成大返工。 §7-10超静定结构计算的校核 • 力法解题校核 • 1）阶段校核 • ①计算前校核计算简图和原始数据，基本体系是否 • 几何不变。 • ②求系数和自由项时，先校核内力图，并注意正负号。 • ③解方程后校核多余未知力是否满足力法方程。

  34. 2）最后内力图总校核 100 75 22.5 60 200kN 30 I=2 I=2 40 B 125 11.3 4m 2m 2m 4m 150 I=1 I=1 15 FS图（kN) M图（kN.m) 20 15 60 100 11.3 40 200 3.7 11.3 15 3.7 FN图（kN) 75 22.5 147.5 147.5 22.5 ＋ ＋ ＋ ＋ － － － － ＋ ∑M=0 ∑X=3.7+11.3－15=0 ∑Y=75+147.5－200 －22.5 =0

  35. 3) 变形条件校核 δii=∫MiMi/EI×ds>0 解方程，求多余未知力； 按 M=∑Mj·Xj+MP 叠加最后弯矩图。 δij=∫MjMi/EI×ds=δji ΔiP=∫MPMi/EI×ds ( ) M å ò M M = + dx i M X M ò i dx j j P EI EI M M M M å ò ò å i j = + i P dxX dx = d + D = D = X 0 0 j EI EI ij j iP i 力法基本体系与原结构等价的条件是n个位移条件， Δ1=0、 Δ2=0、 ……Δn=0 将它们展开得到力法方程 Δi=∑δijXj+ Δ iP=0 i，j=1，2，……n 其中： δij δij δij δij ΔiP ΔiP ΔiP ΔiP 即： 这样，超静定结构的最后弯矩图，与任意基本体系的任一多 余未知力的单位弯矩图图乘结果如果等于零，则满足变形条件。 注意：这个结论对温度改变或支座移动引起的超静定结构计算是不成立的。

  36. 100 60 200kN X1=1 4 A A 30 I=2 XA=1 I=2 40 B 1 4m 2m 2m 4m 200 150 4 I=1 I=1 M图（kN.m) 20 1 1 15 · · · · - é ù 1 200 4 4 100 4 2 4 4 4 20 40 80 D = - + = - V ê ú A 2 2 2 2 3 1 2 3 ë û M M M å ò ò D = = = ds ds 0 EI EI 封闭框 - - - é ù é ù é ù M 1 40 20 1 30 60 1 30 15 40 ò = · + · + · = ¹ ds 4 4 4 0 ê ú ê ú ê ú I 1 2 2 2 1 2 1 ë û ë û ë û 结论:当结构只受荷载作用时, 沿封闭框形的M/EI图形的 总面积应等于零。

  37. X1 =1 X1 ↑↑↑↑↑↑↑ EI M1 q=23kN/m EI EI · · · · é ù 1 6 198 2 6 2 103 . 5 6 6 6 ( ) = - + + · · - · 6 6 D 2 6 135 81 6 ê ú A B 1 6m EI 2 3 3 2 6 ë û 6m 1 ( ( ) ) · · - - · · 1 é é ù ù 81 1 1 81 81 6 6 2 2 135 135 81 81 6 6 D D = = - - + + · · 1 1 ê ê ú ú 1 1 EI EI 2 2 3 3 2 2 ë ë û û 103.5 M = 0 kNm 1 135 198 =0 M1 X1=1

  38. 荷载作用 支座移动 温度改变 内力 静定结构 变形 位移 内力 超静定结构 变形 位 移 静定结构和超静定结构在各种因素作用下的位移计算公式一览表 由平衡条件求 不产生内力 不产生变形 综合考虑平衡条件和变形连续条件来求 …… αΔt —— h M =—— EI κ ＋

  39. F F l/2 l/2 l/2 l/2 F F Fl/4 Fl/4 超静定结构的特性： • 1、超静定结构结构是有多余约束的几何不变体系； • 2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出， • 还必须考虑变形条件； • 3、温度改变、支座移动等非荷载外因对超静定结构会产 • 生内力。 • 4、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特 • 征有关，即与刚度有关。 • 荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关；非荷载 • 外因引起的内力与各杆的刚度绝对值有关。 • 5、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较 • 高的防御能力。 • 6、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小 • 局部的内力幅值和位移幅值。

  40. X1 X1 X2 X2 X1 ↑↑↑↑↑↑↑ =1 D X1 C ↑↑↑↑↑↑↑ M1 X2 X2 EI q=23kN/m 基本体系 q=23kN/m 6 6 EI EI A B 6m 6 6m =1 6 δ11X1＋ δ12X2＋Δ1P＝0 M2 δ21X1＋ δ22X2＋Δ2P＝0 MP 414 ↑↑↑↑↑↑↑ q=23kN/m 例题： 力法解图 示刚架。 1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图， 4）用（A）式求系数和自由项 81 103.5 M kNm 5）解方程，求多余未知力 135 144X1+108X2－3726=0 108X1+288X2=0 198 X1=36， X2=－13.5 6）按 M=∑Mi·Xi+MP 叠加最后弯矩图

  41. 结 束

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