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极坐标

极坐标. y. P(a,b). b. o. a. x. 复习. 与角 α 终边相同的角： β=α+2n π, n ∈Z. 平面直角坐标系中的点 P 与坐标 (a ,b) 是一一对应的. 引入. 平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系 . 有时用别的坐标系比较方便. 还有什么坐标系呢？. 我们先看下面的问题. 一、除了建立直角坐标系外 , 还可如何确定以下两船的位置关系呢？. 想一想？. （ 1 ）距离： 5 浬；. （ 2 ）方向：东偏北 20 º. 5 浬. 20 º. o. x. 距离： 4 km.

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Presentation Transcript

  1. 极坐标

  2. y P(a,b) . b o a x 复习 与角α终边相同的角：β=α+2nπ, n∈Z 平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是一一对应的. 引入 平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系. 有时用别的坐标系比较方便. 还有什么坐标系呢？ 我们先看下面的问题.

  3. 一、除了建立直角坐标系外,还可如何确定以下两船的位置关系呢？一、除了建立直角坐标系外,还可如何确定以下两船的位置关系呢？ 想一想？ （1）距离：5 浬； （2）方向：东偏北20º. 5 浬 20º o x

  4. 距离：4 km 方向： o x

  5. 在以上问题中，去掉大炮、飞机等背景，我们可以抽象出以下数学知识：在以上问题中，去掉大炮、飞机等背景，我们可以抽象出以下数学知识： 一、极坐标系的建立： (1)在平面内取一个定点O，叫做极点； (2)引一条射线Ox，叫做极轴； (3)选定一个长度单位； (4)规定角度的正方向(通常取逆时针方向). 这样建立的坐标系叫做极坐标系. θ · o x

  6. M   O X （2）（4， ）. 二、极坐标系内点的极坐标的规定 对于平面内任意一点M，用  表示线段OM的长度， 表示从Ox到OM 的角度， 叫做M的极径， 叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标. 例如：以上实例中，走私船、敌机所在点的极坐标分别是： (1) （5，20º），

  7. B(2, ) C C(3, ) • D(1, ) D • B A • π • • • x F(6, ) E o G F • G(5, ) • 三、特别规定： 当M在极点时，它的极径=0，极角可以取任意值.如：极坐标(0，π)，(0，-30º ), (0，0)，…等都是表示极点.(你能再说出几个来吗？) 练一练：说出下图中各点的极坐标 答： A(4, 0) E(3.5, π)

  8.    O x 四、广义极坐标 1、负极径 (1)负极径的定义 一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。 当<0时，点M（，）的位置的规定： [1]作射线OP，使xOP= ； P [2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=   ； M 则，点M就是坐标为（，）的点。

  9. 我们现在再来看一看在极坐标系中作出点 M（-3， ）的过程。 P O 或(3, ). X M ∴点M的极坐标可表示为(3, ); (2)负极径与正极径的互化 [1]作射线OP，使xOP= ； [2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3 以上第二步骤的实质，也就是把点 P 绕极点O旋转大小为  的角。 想一想：是顺时针方向还是逆时针方向？

  10. 练一练 1.在极坐标系中，与点P(2, 30°)表示同一点是( ) A A.(-2, 210°) B.(-2, 150°） C.(-2, 330°) D.(-2, 390°) 2.在极坐标系中，与点P(-3, )表示同一点的是( ) C A.(3, ) B.(3, ） C.(3, ) D.(3, )

  11. M   O X 哇！原来这些极角都是终边相同的角。 2 极角大小的研究 问题：如图，OM的长度为 4， ，写出点M的极角（Ox与OM所成的角），从而写出与这极角相对应的极坐标.

  12. 即(-4, + ( 2n+1)π )， n∈Z ∴点M的极坐标有无穷多个，它们可表示为(4, +2nπ), n∈Z 问题：点M的极坐标还可以表示成其它形式吗？ 答：还可以表示成极径是负数的形式. 练一练 点(，)的所有极坐标可表示为以下两种形式: (1)极径是时，________________________ ； (2)极径是 - 时，_________________________. (，+2nπ)、n∈Z (- ，+(2n+1)π)， n∈Z

  13. 小结 1、给定极坐标(，)，可确定平面内唯一点M； 但，给定平面内一点，却有无数多个极坐标与之对应。 2、一般地，如果（，）是一个点的极坐标， 那么，(，+2nπ)、(- ，+(2n+1)π)，n∈Z都可以作为它的极坐标. 3、如果限定>0，0≤  < 2π或 –π< ≤π,那么，除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了. 4、今后，在不作特殊说明时，认为≥0.

  14. 极坐标与直角坐标的互化

  15. 复习 1. C ( ) (A)关于极点对称 (B)关于极轴对称 (C)关于直线θ=π/2对称 (D)以上答案都不对 2.

  16. y M y o x x 极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，当平面内既建立极坐标系又建立直角坐标系时，平面内一个点M既有极坐标（ρ,θ），又有直角坐标（x,y）. 如图：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并且取相同的单位长度建立极坐标系，则 M(x,y),(ρ,θ)

  17. y M y o x x

  18. 利用上式，可把点M的直角坐标(x,y) 化为(ρ,θ)。 说明：一个点的极坐标表示虽然有无数多种，但只需要求出一种后，其余的都能由它而写出.

  19. 小结 极坐标与直角坐标的互化 1.互化前提 极点和原点重合 极轴和x轴的正半轴重合 单位长度一致 2.互化公式

  20. 常见的极坐标方程 1.过极点，倾斜角是α的直线l： 2.垂直极轴，且与极点距离为a的直线l： 3.平行于极轴，且与极点距离为a的直线l： 4.圆心是(a,0)，且过极点的圆C：

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