Végtelen halmazok számossága Georg F. Cantor munkássága

1. Végtelen halmazok számosságaGeorg F. Cantor munkássága

2. Georg F. Cantor (1845-1918) • matematikus, a halmazelmélet megalapítója • Oroszországban született, de élete nagy részét Németországban töltötte. • Kronecker (egykori tanára, példaképe): „sarlatán, renegát, az ifjúság megrontója.” • Poincaré (francia matematikus): „a halmazelmélet betegség, patológiai elfajulás, amiből az emberiség idővel kigyógyul majd.” • Hilbert (német matematikus): „Senki sem űzhet ki minket abból a paradicsomból, melyet Cantor teremtett nekünk.”

3. Előzmények • Euklidesz V. axiómája: az egész nagyobb a résznél. Ennek ellentmond pl. Galilei észrevétele: 1 2 3 4 … n … 12 22 32 42 … n2 … • Bolzano (cseh matematikus, 1781-1848)

4. Cantor munkássága • 1874-ben megjelent cikkétől számítjuk a modern halmazelmélet születését. • 1895-97-ben megjelent műveiben kifejti a halmazelmélet teljes felépítését. • Legfontosabb eredményei: • végtelen halmazok számossága • kontinuumhipotézis • Cantor-tétel

5. Végtelen halmazok számossága

6. A kontinuumhipotézis és a Cantor-tétel • Cantor azt feltételezte, hogy nincs a megszámlálhatóan végtelennél nagyobb és a kontinuumnál kisebb számosság. Erről a kérdésről csak 1963-ban látták be, hogy nem dönthető el, hasonló a szerepe a párhuzamossági axiómáéhoz a geometria felépítésében. • Cantor bebizonyította, hogy minden halmaz esetében a halmaz részhalmazaiból álló halmaz (hatványhalmaz) nagyobb számosságú, mint az eredeti halmaz. Ebből következik, hogy nincs legnagyobb számosságú halmaz.

7. Halmazelméleti ellentmondások és következményeik • Egy ellentmondás: az összes dolgok halmaza (jelölje H) definíció szerint tartalmazza önmaga hatványhalmazát (jelölje P(H)). Így viszont egyszerre igaz az, hogy H számossága nagyobb vagy egyenlő, mint P(H) számossága, másrészt (Cantor imént említett tételéből következően) H számossága kisebb, mint P(H) számossága. • Később: axiomatikus halmazelmélet (Neumann János)