Ayudantía Nº 3

1. Ayudantía Nº 3 Carola Muñoz R.

2. Ejercicio • Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe: • (A  B)  C = A  (B  C ) (A  B)  C = A  ( B  C )c--------> A  B = A  Bc = A  ( Bc  Cc )--------> De Morgan = ( A  Bc)  Cc--------> Asociando = ( A  B)  Cc--------> A  B = A  Bc = ( A  B)  C --------> A  B = A  Bc

3. Ejercicio • Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe: • A  (B  C) = ( A  B )  (C  A) • A  (B  C) = A  (B  Cc ) --------> A  B = A  Bc = ( A  B)  ( A  Cc ) --------> Distribución = ( A  B)  ( Ac  C ) --------> A  B = A  Bc = ( A  B)  ( C  Ac )--------> Conmutatividad = ( A  B)  ( C  A )--------> A  B = A  Bc

4. Ejercicio • Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe: • A  (B  C) = ( A  B )  (A  C ) • A  (B  C) = A  (B  C ) c--------> A  B = A  Bc = ( A  ( Bc  Cc ) --------> De Morgan = ( A  Bc)  ( A  Cc ) --------> Distribución = ( A  B)  ( A  C )--------> A  B = A  Bc

5. Ejercicio • Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe: • ( A  B)  (B  A) = ( A  B )  (A  B) • ( A  B )  (A  B) = ( A  B )  (A  B) c--> A  B = A  Bc • = ( A  B )  (Ac  Bc) --> De Morgan = [( A  B)  Ac]  [( A  B)  Bc] --> Distribución = [( A  Ac)  (B  Ac)]  [( A  Bc)  (B  Bc)] --> Distrib. = [   (B  Ac)]  [( A  Bc)   ] --> Complemento = ( B  Ac )  ( A  Bc ) --> Identidad = ( A Bc )  (B  Ac ) --> Conmutatividad = ( A B )  ( B  A) --> A  B = A  Bc

6. Ejercicio • Usando propiedades, simplifique: • B  [ ( A  B )’  ( B  A’)’ ] • = B  [ ( A’  B’ )  ( B’  A) ] --------> De Morgan = B  [ ( B’  A’ )  ( B’  A) ] --------> Conmutatividad = B  [ B’  ( A’  A ) ] --------> Distribución = B  [ B’  U ] --------> Complemento = B  B’ --------> Identidad =  --------> Complemento

7. Ejercicio • Usando propiedades, simplifique: • [( A  B )  ( A  B )]’ • = [ ( A  B’ )  ( A  B) ]’ --------> A  B = A  B’ = [ ( A  B’ )’  ( A  B)’ ] --------> De Morgan = [ ( A’  B )  ( A’  B’) ] --------> De Morgan = A’  [ B  B’ ] --------> Distributividad = A’   --------> Complemento = A’ --------> Identidad

8. Ejercicio • Aplicaciones de conjuntos: Encuesta • De un total de 35 programadores entrevistados para un trabajo, • 25 conocían Fortran, • 28 conocían Pascal • y dos no conocían ninguno de estos dos lenguajes; • ¿ cuantos conocían ambos lenguajes? |U| = 35 |F| = 25 |P| = 28 |P  F|’ = 2 |P  F| = ? U Conocían al menos un lenguaje: |P  F| = |U| – |P  F|’ = 35 – 2 = 33 F P 5 8 20 | P  F | = | P | + | F | - | P  F | | P  F | = 28 + 25 - 33 | P  F | = 20 2 | P | | P  F | = 28  20 = 8 | F | | P  F | = 25  20 = 5

9. Ejercicio |U| = 100 |I| = 40 • Aplicaciones de conjuntos: Encuesta • Una encuesta a 100 músicos populares mostró que: 40 de ellos usaban guantes en la mano izquierda y 39 usaban guantes en la mano derecha. Si 60 de ellos no usaban guantes . • ¿ cuántos usaban guantes en la mano derecha solamente? • ¿ cuántos usaban guantes en la mano izquierda solamente? • ¿ cuántos usaban guantes en ambas manos? |D| = 39 |D  I|’ = 60 |D  I| = ? |I  D| = ? |D  I| = ? U 60 Usan guantes en al menos una mano -->| D  I| = |U| –|D  I|’ = 100 – 60 = 40 A 39 | D  B| = |D| + | I | - | D  I| = 39 + 40 - 40 = 39 c) B

10. D = personas que usan guantes en mano derecha I = personas que usan guantes en mano izquierda | D | = 39 U 60 A | I | = 40 39 1 | D  I | = 40 | D  I | = 39 B ¿ cuántos usaban guantes en la mano derecha solamente? Gráficamente es |D  I|, pero se obtiene a través de la siguiente operatoria = | D| | D  I | = 39  39 = 0 ¿ cuántos usaban guantes en la mano izquierda solamente? Gráficamente es |I  D|, pero se obtiene a través de la siguiente operatoria = |I | | D  I | = 40  39 = 1 ¿ cuántos usaban guantes en ambas manos? = | D  I | = 39

11. Ejercicio • Aplicaciones de conjuntos: Encuesta • De los 200 estudiantes de nuevo ingreso de una universidad, 98 son mujeres, 60 estudian comunicación y 60 son mujeres que no estudian comunicación. • ¿ cuántas mujeres estudian comunicación? • ¿ cuántos hombres no estudian comunicación? • ¿ cuántas hombres estudian comunicación? |U| = 200 |M| = 98 |C| = 60 |M  C|= 60 |M  C|= ? |M  C|’ = ? |C  M|= ? U M |M  C|= |M|  |M  C| = 98  60 = 38 |C  M|= |C|  |M  C| =60  38 = 22 60 38 22 C |M  C|= |M| + |C|  |M  C| = 98 + 60 – 38 =120 |M  C|’ = |U|  |M  C| = 200  120 = 80 80

12. Ejercicio • Aplicaciones de conjuntos: Encuesta • En un estudio de 120 consumidores, • 80 consumidores indicaron que compran la marca A, • 68 compran la marca B, • y 42 adquieren ambas. • ¿Cuántos compran al menos una de estas marcas? • ¿Cuántos compran exactamente una de estas marcas? • ¿Cuántos compran sólo la marca A? • ¿Cuántos compran ninguna de estas marcas? |U| = 120 |A| = 80 |B| = 68 |A  B| = 42 |A  B| = ? |A  B| = ? |A  B| = ? |A  B|’ = ? U |A  B| = |A| + |B|  |A  B| = 80 + 68  42 = 106 A 38 |A  B| = (|A  B| + |B  A|) = 38 + ( 68  42) = 64 42 26 |A  B| = |A|  |A  B| = 80  42 = 38 B |A  B|’ = |U|  |A  B| = 120  106 = 14 14

13. Ejercicio |U| = 3000 • Aplicaciones de conjuntos: Encuesta • De 3000 alumnos de una Universidad 368 utilizan solo su automóvil, 548 usan el transporte escolar, 274 usan el transporte urbano y su automóvil, 714 usan su automóvil, 184 usan solo el transporte escolar, 156 usan el transporte urbano y su automóvil pero no el transporte escolar y 1438 no usan ningún medio de transporte. |A|  |T  E| = 368 |E| = 548 |T  A| = 274 |A| = 714 |E|  |T  A| = 184 |T  A|  |T  A  E| = 156 |T  A  E|’ = 1438 U T A 368 156 184 1438 E

14. U T 156 490 A 368 118 174 72 184 1438 E |T  A|  156 = 274  156 = 118 |A|  368  156  118 = 714  368  156  118 = 72 |E|  184  72  118 = 548  184  72  118 = 174 |A  T  E| = |U|  |A  T  E|’ = 3000  1438 = 1562 1562  368  156  118 72  174  184 = 490 Solo el transporte urbano Su automóvil o transporte escolar pero no transporte urbano Solo uno de los tres medios de transporte Los tres medios de transporte 490 368 + 72 + 184 = 624 368 + 490 + 184 = 1042 118

15. Ejercicio |U| = 1050 • Aplicaciones de conjuntos: Encuesta • Una Universidad tiene 1050 alumnos de primer año. De ellos, 860 cursan matemáticas, 664 física, 388 redacción, 480 física y matemáticas, 270 redacción y matemáticas, 210 física y redacción y todos llevan al menos una de las tres asignaturas |M| = 860 |F| = 664 |R| = 388 |F  M| = 480 |R  M| = 270 |F  R| = 210 |M  F  R| = 1050

16. Ejercicio • Aplicaciones de conjuntos: Encuesta • Una Universidad tiene 1050 alumnos de primer año. De ellos, 860 cursan matemáticas, 664 física, 388 redacción, 480 física y matemáticas, 270 redacción y matemáticas, 210 física y redacción y todos llevan al menos una de las tres asignaturas, entonces cuántos alumnos cursan: U Física y matemáticas pero no redacción Solo matemáticas R M Datos: |U| = 1050 |F  M| = 480 |M|= 860 |R  M| = 270 |F| = 664 |F  R| = 210 |R| = 388 |M  F  R| = 1050 F M = cursan matemáticas F = cursan física R = cursan redacción

17. Datos: |U| = 1050 |F  M| = 480 |M|= 860 |R  M| = 270 |F| = 664 |F  R| = 210 |R| = 388 |M  F  R| = 1050 U R M 208 6 172 98 382 112 72 Por propiedades algebraicas se sabe que: |M  F  R| = |M| + |F| + |R|  |F  R| |M  F|  |M  R| + |M  F  R| F M = cursan matemáticas F = cursan física R = cursan redacción |M  F  R| = |M  F  R|  |M|  |F|  |R| + |F  R|+ |M  F| + |M  R| = 1050  860  664  388 + 210 + 480 + 270 = 98 |F  M|  98 = 480  98 = 382 |M|  172  98  382 = 860  172  98  382 = 208 |M  R|  98 = 270  98 = 172 |R|  172  98  112 = 388  172  98  112 = 6 |F  R|  98 = 210  98 = 112 |F|  382  98  112 = 664  382  98  112 = 72

18. U R M 208 6 172 98 382 112 72 F Física y matemáticas pero no redacción 382 Solo matemáticas 208