9.4 直线和平面垂直三垂线定理

9.4直线和平面垂直三垂线定理 昆十中：杨厌聊

   直线和平面的位置关系: 直线在平面内有无数个公共点直线和平面平行无公共点直线和平面相交只有一个公共点直线和平面相交中的一种特殊情况:直线和平面垂直。

一．直线和平面垂直的定义 如果一条直线L和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线L和这个平面垂直．直线L叫做平面的垂线．平面叫做直线L的垂面．交点P叫做垂足． L B A F p C 记作：L⊥平面  E D

直线和平面垂直的画法 L P 

A B ∵ n m g D C E 在上于平面两侧分别截取 ∴ 都是的垂直平分线， ' A ∴ ∴ ∴ 直线和平面垂直的判定定理如果一个条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. 已知: 求证: a 证明：在g上任取点E，过E在平面a内作不通过B的直线分别与m,n相交于点 C,D

已知：，。 ü ü ^ a ü a 求证：。 Þ ^ a m ï ý ï 证明：设是内的任意一条直线。 Þ ^ Ì a b m m ý ï þ Þ ^ a b ý ï a // b þ ï ï Ì a m þ 例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 

b P l B A a A B b P a 例2．求证：过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面a和一点Ｐ（如图）求证：过点Ｐ与a垂直的直线只有一条．证明：不论Ｐ在a内或外，设直线ＰＡ⊥ a，垂足为Ａ，如果另有一条直线ＰＢ⊥ a,设ＰＡ，ＰＢ确定的平面交a与直线Ｌ．于是在一个平面内过一点p有两条直线和直线Ｌ垂直．这是不可能的．所以过点Ｐ与a垂直的直线只有一条．

唯一性: 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直。

过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．

+ = + = 2 2 2 2 2 AB BC 6 8 AC + = + = 2 2 2 2 2 AB BD 6 8 AD \ Ð = Ð = 0 ABC ABD 90 , ^ ^ \ ^ AB BC AB BD AB BCD 即，。平面即旗杠和地面垂直。例3．有一根旗杆ＡＢ高８m,它的顶端Ａ挂有一条长１０m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杠脚不在同一条直线上）Ｃ，Ｄ．如果这两点都和旗杠脚Ｂ的距离是６m．那么旗杠就和地面垂直，为什么？解：在三角形ＡＢＣ和三角形ＡＢＤ中，因为ＡＢ＝８m, BC=BD=6m, ＡＣ＝ＡＤ＝１０m 所以ＡＢＤＣ

三垂线定理

P a o α A 如果a α, a⊥AO，思考a与PO的位置关系如何？ ∪ 平面的斜线、垂线、射影: PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO 是PO在平面α内的射影.

P a O A  三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a ，a⊥AO。求证： a⊥PO 证明： PA⊥ a  PA ⊥a AO⊥a a⊥平面PAO a⊥PO PO平面PAO

P P P a a A O A O a A O α α α 三垂线定理包含几种垂直关系？ ①线面垂直 ②线影垂直 ③ 线斜垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直直线和平面垂直

P a A O α 三垂线定理解题的关键：找三垂！一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直三找平面的斜线和平面内的一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件

P b a O A α 例如：当 b⊥ 时， b⊥OA 注意：如果将定理中 “在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？但b不垂直于OP 直线a 一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。

P a O A α b d c 三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是： ①相交直线 ②异面直线

P A B C 例４已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ，AC ⊥ BC，求证： PC ⊥ BC 证明：∵ P 是平面ABC 外一点 PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 ∵BC平面ABC且AC ⊥ BC ∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC

D1 C1 A1 B1 D C P P A B A D C A O M B C B 例５直接利用三垂线定理证明下列各题： (1)PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AM (3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1 (2) (1) (3)

P A D O B C 同理，AC⊥BD AO是PO在ABCD上的射影  PC⊥BD (1)PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BD ∵ABCD为正方形 O为BD的中点证明: ∴ AO⊥BD  PO⊥BD 又AO是PO在ABCD上的射影

P C A M B (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC， M是BC的中点，求证：BC⊥AM ∵ PB=PC M是BC的中点证明:  PM⊥BC  BC⊥AM ∵PA⊥平面PBC ∴PM是AM在平面PBC上的射影

D1 C1 A1 B1 D C D1 A C1 B A1 B1 D C A B (3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1， A1C⊥B1D1 ∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C ∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影证明：由三垂线定理知 A1C⊥BC1 同理可证，A1C⊥B1D1

P a A O α a A O α P P C1 B1 A1 C C A M B B 我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件解题回顾

P P a A O α a A O α 三垂线定理的逆定理？线斜垂直线影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直

P a A O α 三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影,a   ,a ⊥PO 求证：a⊥AO

线影垂直 线斜垂直三垂线定理三垂线定理的逆定理的区别和联系: 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。逆定理定理三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。

E B O A  C F 例６如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO P 分析：要证 ∠BAO=∠CAO 只须证OE⊥AB,OF⊥AC ,OE=OF. ? ? ? 证明： ∵ PO ⊥ ∴OE、OF是PE、PF在内的射影结论成立 ∵ PE=PF ∴ OE=OF  由OE是PE的射影且PE⊥AB OE⊥AB 同理可得OF⊥AC

A B C 例７在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC 证明：作AO⊥平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。 ∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD， D O 于是O是△BCD的垂心， ∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.

练习： 判断下列命题的真假： D1 C1 ⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于 a在平面α内的射影，则 a⊥b （） A1 B1 ⑵若 a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （） D C ⑶若a是平面α的斜线，直线b α 且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b （） A B ⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （） × × × 面ABCD →面α 面B1BCC1→面β 直线A1C →斜线 a 直线AB →垂线 b 面ABCD →面α 直线A1C →斜线 a 直线B1B →垂线 b 面ABCD →面α 直线A1C →斜线 a 直线B1B →垂线 b √

a P b A O α a1 ⑷若b是平面α的斜线,a∥α,直线a垂直于b在平面α内的射影，则 a⊥b ( ) 已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO 是PO在平面 的射影， a ⊥AO，a 平行于 a。求证： a垂直于PO

D1 C1 A1 B1 G E D C A B F 课后练习 1. 在正方体AC1中，E、G分别是AA1和 CC1的中点， F在AB上，且C1E⊥EF，则EF与GD所成的角的大小为（） (A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90° D EB1是EC1在平面AB1 内的射影 EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF⊥DG M

P A H B C1 B1 C D1 A1 C B D A 2.已知 PA、PB、PC两两垂直，求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。 3.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线。 4.在ABCD—A1B1C1D1中，求证：AC1⊥平面BC1D

9.4 直线和平面垂直 三垂线定理