第 1 章 矩阵及其应用

1. 第1章 矩阵及其应用

2. 第10章 矩阵及其应用 10-1 矩阵的概念 10-2 矩阵的运算 10-3 矩阵行列式 10-4 矩阵的初等行变换与矩阵的秩 10-5 逆矩阵 10-6 线性方程组

3. 10-1 矩阵的概念 一、矩阵的概念 如果把表中的数据取出且不改变数据的相关位置，那么就得到一个简明的3行4列矩形阵表，

4. 10-1 矩阵的概念

5. 10-1 矩阵的概念 如果我们用一个三行四列的数表表示该调运方案，可以简记作

6. 10-1 矩阵的概念

7. 10-1 矩阵的概念

8. 10-1 矩阵的概念 定义10.1有m×n个数aij(i=1,2, …,m;j=1,2, … ,n)排列成一个m行n列的数表 称为m行n列矩阵,简称m×n 矩阵.矩阵通常用大写出字母A,B,C,表示,如上述矩阵可以记作A或Am×n ,或记作A=(aij)m×n ,aij称为矩阵A的第i行第j列元素.

9. 当m=1时，矩阵只有一行，即 称之为行矩阵. 当n=1时,矩阵只有一列,即 称为列矩阵. 行数与列数都等于n的矩阵 , 称为n阶矩阵,或n阶方阵． 10-1 矩阵的概念

10. 10-1 矩阵的概念 　　所有元素全为零的　　　矩阵，称为零矩阵，记作　　　或　.例如 在　阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线． 分别为二阶零矩阵和　　零矩阵．

11. 　　在矩阵　　　　　中各个元素的前面都添加上负号(即取相反数)得到的矩阵，称为　　在矩阵　　　　　中各个元素的前面都添加上负号(即取相反数)得到的矩阵，称为 　的负矩阵，记作　　，即　　　　　　． 例如 那么　　是　的负矩阵． 10-1 矩阵的概念

12. 10-1 矩阵的概念 1．三角矩阵 　　主对角线下（或上）方的元素全都是零的n阶矩阵，称为n阶上（或下）三角矩阵． 　　上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角形矩阵．例如

13. 10-1 矩阵的概念 分别是一个三阶上三角矩阵和一个四阶下三角矩阵．值得注意的是，上（或下）三角矩阵的主对角线下（或上）方的元素一定是零而其他元素可以是零也可以不是零． 2．对角矩阵 　　如果一个矩阵既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则称其为n阶对角矩阵，亦即对角矩阵是非零元素只能在主对角线上出现的方阵．如

14. 10-1 矩阵的概念 是一个三阶对角矩阵． 　　显然，由主对角线的元素就可以确定对角矩阵了．因此，经常把对角矩阵记作 ． 当然允许元素a1 , a2 , …, an中某些为零．

15. 全相等 10-1 矩阵的概念 3 数量矩阵 主对角线上元素都是非零常数k，其余元素全部是零的n阶矩阵，称为n阶数量矩阵．

16. ， 10-1 矩阵的概念 4．单位矩阵 　　主对角线上的元素是1，其余元素全部是零的n阶矩阵，称为n阶单位矩阵，记作　 或． 　　当n =2, 3时， 就是二阶、三阶单位矩阵．

17. 10-1 矩阵的概念 　由上述讨论可知,单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵都是三角矩阵，它们既是上三角矩阵，又是下三角矩阵．换句话说,如果一个矩阵 既是上三角矩阵，又是下三角矩阵,则 一定是对角矩阵，当然也可能是数量矩阵或单位矩阵，因为单位矩阵、数量矩阵是对角矩阵的特殊情况．

18. 10-2 矩阵的运算 对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们 经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相 等，他们在什么条件下可以进行运算，这些 运算具有什么性质等问题，这就是本节要 讨论的主要内容．

19. 定义10.2如果两个矩阵 　　 ，　　　的行数和列数分别相同，而且各对应元素相 等，则称矩阵A与矩阵B相等，记作 ． 即如果　　　　　和　　　　 ，且 　　　　　　　　　　 ，那么　　　． 10-2 矩阵的运算 一、矩阵相等

20. 　　解　根据定义10.2,由　　　，即 ， ， ， 得　　　，　　，　　，　　　． 且　　　，求　，　，　，　． 10-2 矩阵的运算 例1　设矩阵

21. 　　定义10.3设　　　　，　　　是两个 矩阵，规定： ， 称矩阵　　　为A与B的和. 10-2 矩阵的运算 二、矩阵的加法 　　由定义10.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能做加法运算．

22. 如果　　　　　，　　　 ，由矩阵加法运算和负矩阵的概念，我们可以定义矩阵的减法： 称矩阵　　　为　与　的差. 10-2 矩阵的运算

23. 　　例3　设矩阵　　　　　　　 求 ， ． 　　解 ， 10-2 矩阵的运算 ， ，

24. 10-2 矩阵的运算 ．

25. 　　设　， ， ， 都是　　 矩阵，根据定义6.3和负矩阵的概念，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则： 1．加法交换律　　　　　　； 2．加法结合律　　　　　　　　　　　　； 3．零矩阵满足　　　　　； 4．存在矩阵　　，满足　　　　　　　　　． 10-2 矩阵的运算

26. 　　定义10.4设　是任意一个实数，　　　　是一个　　　矩阵，规定：　　定义10.4设　是任意一个实数，　　　　是一个　　　矩阵，规定： ， 称其为数　与矩阵　的数量乘积，或称之为矩阵的数乘. 10-2 矩阵的运算 三、矩阵的数乘 　　由定义10.4可知，数k乘一个矩阵A，需要用数k去乘矩阵A的每一个元素．

27. 10-2 矩阵的运算

28. 　 根据定义10.4容易验证，数　， 和矩阵 　　　　 ， 　　　　满足以下运算规则： 1．数对矩阵的分配律　　　　　　　　； 2．矩阵对数的分配律　　　　　　　　； 3．数与矩阵的结合律　　　　　　　　　； 4．数１与矩阵满足　　　． 10-2 矩阵的运算

29. 10-2 矩阵的运算 四、矩阵的乘法 　　定义10.5设　是一个　　 矩阵， 是 一个 　矩阵，则称 矩阵 为矩阵A与B的乘积，其中 ． 记作　　　　. 　　由定义10.5可知：

30. (1)只有当左矩阵 的列数等于右矩阵 的行数时，　，　才能作乘法运算　　　　； (2)两个矩阵的乘积　　　 亦是矩阵， 它的行数等于左矩阵　的行数，它的列数等 于右矩阵　的列数； (3)乘积矩阵　　　　中的第　行第　列的元素等于　的第　行元素与　的第　列对应元素的乘积之和，故简称行乘列法则． 10-2 矩阵的运算

31. 说明：由于矩阵　有2列，矩阵　有3行， 　即 的列数　　的行数，所以　　无意义． 10-2 矩阵的运算

32. 10-2 矩阵的运算

33. 10-2 矩阵的运算

34. 3.数乘结合律　　　　　　　　　　　，其中　是一个常数．3.数乘结合律　　　　　　　　　　　，其中　是一个常数． 1．乘法结合律　　　　　　　； 2．左乘分配律　　　　　　　　　； 右乘分配律　　　　　　　　　； 10-2 矩阵的运算

35. 个 称　为矩阵　的　次幂，其中　是正整数． 10-2 矩阵的运算 　　对个矩阵的乘法运算可作类似讨论． 由于矩阵乘法满足结合律，故当是阶方阵时，我们规定

36. 当　　　时，规定　　　．显然有 ， ， 其中　，　是任意正整数．由于矩阵乘法不满足交换律，因此，一般地 ． 10-2 矩阵的运算

37. 10-2 矩阵的运算 五、矩阵的转置 　　定义10.6 将一个　　　矩阵 的行和列按顺序互换得到的 矩阵， 称为 的转置矩阵，记作　，即 ．

38. 由定义10.6可知，转置矩阵　　的第　行第 　列的元素等于矩阵　的第　行第　列的元素，简记为 　　的　　元　　的　　元． 10-2 矩阵的运算

39. 1.　　　　； 2.　　　　　　　　； 3．　　　　　（　为实数）； 4．　　　　　　． 10-2 矩阵的运算 矩阵的转置满足下列运算规则：

40. 10-2 矩阵的运算

41. 10-2 矩阵的运算

42. ， (10.3.1) ， 10-3 矩阵行列式 一、二阶行列式 对于二元线性方程组 ， ， 如果令

43. 如果　　　　　　　，那么(10.3.1)的解为 10-3 矩阵行列式 则该方程组可表示为矩阵方程的形式 ， 其中称为方程组（10.3.1）的系数矩阵． 对于方程组（10.3.1）用加减消元法，得 ， ．

44. ， (10.3.2) ． 10-3 矩阵行列式 为了便于表示上述结果，我们引入记号 ，

45. 称为矩阵 的行列式，也可记为 ， 10-3 矩阵行列式 或 ，即 ． 这样，二元线性方程组（10.3.1）的系数矩 阵 的行列式为 ，

46. 10-3 矩阵行列式 如果把（10.3.2）式中的分子分别记为 故当方程组（10.3.1）系数矩阵行列式 时，它的解就可以简洁地表为

47. 10-3 矩阵行列式

48. 二、 阶矩阵行列式 10-3 矩阵行列式 定义10.8 对n阶矩阵 ，当n=1时，它的行列式定义为： 　　假设n -1阶矩阵的行列式已经定义，则n阶矩阵的行列式定义为

49. 10-3 矩阵行列式

50. 10-3 矩阵行列式