棱柱问题

棱锥问题 棱柱问题

复习：知识网络 棱柱(概念) 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。底面顶点侧面侧棱对角线高体积V＝Sh 返回

棱柱复习：知识网络棱柱(分类) 斜棱柱直棱柱正棱柱返回

复习：知识网络 四棱柱直四棱柱侧棱垂直底面侧面垂直底面四棱柱正方体长方体正四棱柱平行六面体底面是平行四边形返回

要点·疑点·考点 一、棱柱 1.概念 (1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫棱柱 (2)侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱返回

要点·疑点·考点 返回 2.性质 (1)侧棱都相等，侧面是平行四边形； (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形. 3.长方体及其相关概念、性质 (1)概念：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体. 侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体. 底面是矩形的直平行六面体叫长方体. 棱长都相等的长方体叫正方体. (2)性质：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，对角线长为l ，则l2=a2+b2+c2

复习：知识网络 棱锥正四面体正三棱锥棱锥顶点在底面正多边形的射影是底面的中心体积V＝Sh/3 正四棱锥返回

基础题例题 返回 1.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( ) (A)至多只有一个是直角三角形 (B)至多只有两个是直角三角形 (C)可能都是直角三角形 (D)必然都是非直角三角形 C

基础题例题 返回 2.正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=√2 BB1，则AB1 与C1B所成角的大小是（） A.60o B.90o C.105o D.75o B

基础题例题 返回 3.长方体三边之和为a+b+c=6，总面积为11，则其对角线长为__；若一条对角线与二个面所成的角为30°或45°，则与另一个面所成的角为___；若一条对角线与各条棱所成的角为α、β、γ，则sinα、sinβ、sinγ的关系为_____ ___________________________. 5 30° sin2α+sin2β+sin2γ=2

P A D B C 能力·思维·方法返回 4. 在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1, (1)求D到平面PBC的距离； (2)求面PAB与面PCD所成的二面角的大小。 解: (1)∵AD//平面PBC ∴D到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离 ∵PA⊥BC, AB⊥BC ∴BC⊥平面PAB ∴平面PBC⊥平面PAB ∴A到PB的距离就是A到平面PBC的距离 ∵PA=AB=2, PA⊥AB, ∴D到平面PBC的距离为 ∴A到PB的距离为

P A D B C 能力·思维·方法返回 4. 在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1, (1)求D到平面PBC的距离； (2)求面PAB与面PCD所成的二面角的大小。 (2)延长CD与BA相交于Q, ∵AD∥BC,且 AD= BC ∴A是QB的中点, 又PA=AB=AQ ∴BQ⊥PQ, Q 又∵BC⊥平面PAB, ∴CP⊥PQ, 故∠CPB是所求二面角的平面角, 故面PCD与面PCD所成的二面角为

P B A C D 在Rt⊿PAB中，AB＝a， ∠PAB＝600 ∴PB＝　　a V= a3 返回例题讲解作、证、求？ 1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD. (1)若面PAD与面ABCD的二面角为600，求四棱锥的体积； ∵ PB⊥面ABCD，BA⊥AD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴PA⊥AD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠PAB就是面PAD与面ABCD的二面角的平面角解：即∠PAB＝600

P B A C D 返回例题讲解 1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD. (2)证明不论高PB怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于900. 小结：作二面角平面角的方法 ●有面的垂线，则一作一连法 ●定义法，在两面内作棱的垂线 ●面积射影定理 M 证：由题设侧面PAD与PCD为全等⊿，作CM⊥PD于M，连结MA，则⊿CDM≌⊿ADM， ∴AM＝CM，∠AMD＝900 故AMC就是所证二面角的平面角. 连结AC 在⊿AMC中，由余弦定理 cos∠AMC = 故∠AMC＞900，即证.

P B A C D 返回变化一四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝600，PB⊥面ABCD.若面PAD与面ABCD的二面角为600，求四棱锥的体积； E

P B A C D 返回变化二　四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝600，面PBC⊥面ABCD，且⊿PBC是等边⊿. 求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角；注意：●面面垂直的应用 ●分析平面图形 E

B1 A1 C1 解：取AB的中点F，连结EF，CF， E ∴EF//AA1//CC1 D ∴DE=CF A B ∵D是中点，∴EF CD 在⊿ABC中，CF＝ F C ∴DE＝返回例题讲解 2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt⊿， ∠C=900，D、E分别是CC1和A1B的中点，AC=AA1=2 (1)求线段DE的长

B1 A1 C1 E D M A B C 即所求为 CM＝ ∴tan∠AMC=AC/CM= 返回例题讲解 2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt⊿， ∠C=900，D、E分别是CC1和A1B的中点，AC=AA1=2 (2)求二面角A-BD-C的大小(反三角表示) 解：∵ ABC-A1B1C1是直棱柱，AC⊥BC， ∴AC⊥侧面BB1C1C，作CM⊥BD于M，连结AM，则∠AMC就是所求二面角的平面角；在⊿ACM中，AC＝2 AC⊥CM，

B1 A1 C1 E D M F A B G ∴A1B与平面ABD所成的角为 C 返回例题讲解 3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt⊿，∠C=900，D、E分别是CC1和A1B的中点，AA1＝2，若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G. (1)求A1B与平面ABD所成的角(用反三角表示)；解：连结BG，由已知∠EBG就是所求的角， …………

B1 A1 C1 E D A B C 返回例题讲解 3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt⊿，∠C=900，D、E分别是CC1和A1B的中点，AA1＝2，若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。方法A：作垂线法方法B：等体积法

B1 A1 C1 E D A B K M F 在⊿A1AB1中，A1K＝ C 返回方法A：作垂线法 3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt⊿，∠C=900，D、E分别是CC1和A1B的中点，AA1＝2，若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。解A：由上题解知，DE⊥平面AA1B1B ∴平面ADE⊥平面AA1B1B于AE

B1 A1 解B： C1 E D A B C 返回方法B：等体积法 3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt⊿，∠C=900，D、E分别是CC1和A1B的中点，AA1＝2，若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。方法C：对象转换法

返回小结： 1、联想概念及其性质； 2、分解难点，掌握各类基本作图； 3、强调作证求过程； 4、空间问题平面化，尤三角形内的计算。

体积问题 面积问题

基础题例题 返回 1.设棱锥的底面面积为8cm2，那么这个棱锥的中截面 (过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( ) (A)4cm2 (B) cm2 (C)2cm2 (D) cm2 C 2. 一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面面积的四分之一，则锥体被截面截得的一个小锥与原棱锥体积之比为 ( ) (A)1 : 4 (B) 1 : 3 (C) 1 : 8 (D) 1 : 7 C

基础题例题 返回 3.设长方体三条棱长分别为a,b,c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5 ，体积为2，则等于 ( ) (A) (B) (C) (D) A

基础题例题 返回 4.斜三棱柱的一个侧面的面积为S，另一条侧棱到这个侧面的距离是a，则这个三棱柱的体积是 ( ) (A) (B) (C) (D) C 5.在侧棱长为2√3，每个侧面的顶角均为40°的正三棱锥P-ABC中，过A作截面分别交PB、PC于E、F，则△AEF的最小周长是 ( ) (A) 6 (B) (C) 36 (D) A

返回例．设P是棱长相等的四面体内任意一点，则P到各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于（）。（A）四面体的棱长（B）四面体的斜高（C）四面体的高（D）四面体两对棱间的距离提示：用体积法求解

返回解：如图正四面体ABCD中，过点A作四面体的高AO，则由点P分别连接PA、PB、PC、PD，得到四个小四面体，若点P到四个表面的距离分别为h1、h2、h3、h4，那么四面体被分成的四个小四面体，它们的体积和恰好是四面体ABCD的体积，

∴ VABCD=VPBCD+VPABC+VPABD+VPACD， ∴ ∴ h1+h2+h3+h4=AO. 选C. 返回

例．若正四棱柱的底面积为P，过相对两侧棱的截面面积是Q，则该四棱柱的体积是（ ）。（A）（B）（C）（D）返回

解：如图，设四棱柱底面边长AB=a，高AA1=b，则P=a2，过两侧棱AA1、CC1的截面面积Q= ab，∴ ∴ 四棱柱的体积选（A）返回

A1 C1 B1 A C B 6.若一个斜棱柱A1B1C1—ABC的底面是等腰△ABC，它的三边边长分别是AB=AC=10cm，BC=12cm，棱柱的顶点A1与A、B、C三点等距，且侧棱AA1=13cm，求此棱柱的全面积. 解：自B引BD⊥AA1于D，连接CD， ∵AA1=A1B=A1C，底面△ABC为等腰△，故顶点A1在底面ABC上的射影O在底边 BC的高AE上，由三垂线定理知， D BC⊥AA1, 即侧面B1BCC1为矩形，由AA1⊥BC，AA1⊥BD，得AA1⊥平面BDC, ∴AA1⊥CD， O F E 在△A1AB中，引A1F⊥AB于F，在Rt△A1FA中，由A1A=13，AF=5，A1F=12, 得则BD=AB×sin∠A1AB=10× ∴S柱侧=(BD+DC+BC)×A1A=396, ∴S△ABC=8, 又在△ABC中，AE⊥BC，AB=10，BE=6,得AE=8, ∴S柱全=396+2×48=492(cm) 2 返回

S F ∵SO ⊥平面ABC,O是△ABC中心 ∴D是BC的中点. E A C 又∵EF是△SBC的中位线 ∴G是SD的中点根据对称性,AE=AF D B ∴AG ⊥EF ∵平面AEF ⊥平面SCB ∴ AG⊥ 平面SBC， ∴ AG ⊥SD， △ASD是等腰三角形，SA=DA 返回例:如图已知正三棱锥S — ABC中,E、F分别是SB、SC 的中点，平面AEF⊥平面SCB. 求证：三棱锥S—ABC侧面积与底面积的比。解：作正棱锥的高SO，连结AO并延长交BC于D，连结SD交EF于G，连结AG. G O

设正三棱锥S—ABC的底面边长为，则AD= ，SA=SB= 于是： S侧 3 · SD· BC 3SD = = = AD S AD ·BC △ABC S F G E A C O D B 返回

法一：取AB中点D，连接SD，CD。 易得△ABC为等腰直角三角形，ACB=90o。则有SD⊥AB， CD⊥AB。又SA=SB=SC， ∴S在底面的射影为底面的外心，即点D，∴SD⊥平面ABC。 ∴由VS-ABC= S△ABC•SD得三棱锥体积。返回例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。 S C A D B

解法二 提示：设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为等边三角形，边长为，SASB。取SA中点E，AB中点F，连接AE、BE、EF。可证得：SC 平面ABE。利用：VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE 得三棱锥体积。返回例、已知三棱锥的两个侧面都是边长为的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。 S E C A F B （KEY：）注意：分割法求体积。

返回例、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求D1到截面C1BD的距离。 D1 C1 提示：利用 = 求解。 B1 A1 KEY： D C A B 注意：等体积法求点面距离。

D1 C1 A1 B1 C D A E B 返回 • 例：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动． • 证明：D1E⊥A1D　； • 当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离； • AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为等体积法求点面距离

返回通过以上的解答,我们不难看出等体积法在处理点到面的距离和体积时非常有效,因此我们在平时的学习中应该掌握.利用等体积法我们能够从侧面迂回地解决一些从正面较难下手的问题——这是数学中的一种重要思想方法.在利用等体积法时我们应该在原图形中寻找到一个较容易计算出面积及其高的面来。例：已知四棱锥P—ABCD ，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120。（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离；（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面角的大小。 P D C E A B 等体积法求点面距离

3.设棱锥的底面面积为8cm2，那么这个棱锥的中截面3.设棱锥的底面面积为8cm2，那么这个棱锥的中截面 (过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( ) (A)4cm2 (B) cm2 (C)2cm2 (D) cm2 返回 C

返回 4.若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面面积的四分之一，则锥体被截面截得的一个小锥与原棱锥体积之比为( ) (A)1 : 4 (B) 1 : 3 (C) 1 : 8 (D) 1 : 7 C

5.设长方体三条棱长分别为a,b,c，若长方体所有棱的5.设长方体三条棱长分别为a,b,c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5 ，体积为2，则等于( ) (A) (B) (C) (D) 返回 A

6.斜三棱柱的一个侧面的面积为S，另一条侧棱到这个6.斜三棱柱的一个侧面的面积为S，另一条侧棱到这个侧面的距离是a，则这个三棱柱的体积是( ) (A) (B) (C) (D) 返回 C

7.在侧棱长为23，每个侧面的顶角均为40°的正三棱锥P-ABC中，过A作截面分别交PB、PC于E、F，则△AEF的最小周长是( ) (A) 6 (B) (C) 36 (D) 返回 A

返回 8. 如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥ AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为CD中点． (1)求证：EF⊥面BCD； (2)求多面体ABCDE的体积； (3)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值. 【解题回顾】对于不规则几何体一定要能识别其本质，本题的多面体实际上是倒着的四棱锥.

【解题回顾】(1)把A、B、C中的任一个点作为顶点(其余三点构成的三角形作为底面)是解题的关键，这说明改变几何体的放置方式或改变对几何体的观察角度在解题中是十分重要的.【解题回顾】(1)把A、B、C中的任一个点作为顶点(其余三点构成的三角形作为底面)是解题的关键，这说明改变几何体的放置方式或改变对几何体的观察角度在解题中是十分重要的. (2)当a=b=c时，得到正四面体的体积是?. (3)若在PA、PB、PC上各任取一点M、N、R，设PM= m,PN=n,PR=r,则容易证明 ,这一结论与 PA、PB、PC成多大的角无关. 返回 9.在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两成60°角，PA=a，PB=b，PC=c，求三棱锥P-ABC的体积.

C1 B1 A1 C B A 返回 10.若一个斜棱柱A1B1C1—ABC的底面是等腰△ABC，它的三边边长分别是AB=AC=10cm，BC=12cm，棱柱的顶点A1与A、B、C三点等距，且侧棱AA1=13cm，求此棱柱的全面积. E 【解题回顾】求斜棱柱全面积的基本方法是求出各个侧面的面积与底面积.本题求侧面积时也可以用直截面BCD的周长去乘AA1而得到.

返回误解分析 1.求斜棱柱的全面积，除直截面周长乘侧棱长这个公式外，大多采用逐一求出各表面面积，然后作和的方法，因此不要盲目套什么公式，或在相加时，漏了上、下底面积 2.求三棱锥的体积非常灵活，有直接法、割补法、颠倒顶点法等，不管用何种方法，一定要看清字母位置，更不能漏乘1/3.

多面体 与球的问题

棱柱问题

棱柱问题

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