משפחת המשולשים

1. משפחת המשולשים מאת: אבי משולם משפחת המשולשים

2. A C B מתודולוגיה • הגדרה • קווים ונקודות מיוחדים • משולשים דומים • משולשים חופפים • משולש שווה-שוקיים • משולש שווה-צלעות • משולש ישר-זווית • משולשים מיוחדים נוספים משפחת המשולשים

3. הגדרה • משולש – מצולע בעל שלוש צלעות. • סכום הזוויות במשולש – 1800. • היקף משולש: • שטח משולש: A b c h C B a משפחת המשולשים

4. A b c C B a קווים ונקודות מיוחדים • חוצה זווית – יוצא מקודקוד במשולש אל הצלע שמולו וחוצה את הזווית שבקודקוד לשניים. • A1=A2. • 3 חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת – מרכז המעגל החסום במשולש. 1 2 משפחת המשולשים

5. A b c C B a קווים ונקודות מיוחדים (המשך) • תיכון – יוצא מקודקוד במשולש אל אמצע הצלע שמולו. • BD=CD. • 3 התיכונים נפגשים בנקודה אחת – נקודה זו מחלקת כל תיכון ביחס של 1:2 מהקודקוד בהתאמה. 2 1 D משפחת המשולשים

6. A b c C B a קווים ונקודות מיוחדים (המשך) • גובה – יוצא מקודקוד במשולש ומאונך לצלע שמולו. • ADBC. • 3 הגבהים נפגשים בנקודה אחת. h D משפחת המשולשים

7. A b c C B a קווים ונקודות מיוחדים (המשך) • אנך אמצעי – יוצא מאמצע צלע במשולש ומאונך לה. • BD=DC. • dBC. • 3 אנכי האמצעים נפגשים בנקודה אחת – מרכז המעגל החוסם את המשולש. d D משפחת המשולשים

8. A b c C B a קווים ונקודות מיוחדים (המשך) • קטע אמצעים – מחבר את אמצעי שתי צלעות במשולש ומקביל לצלע השלישית. • EFBC. • EF=1/2BC. E F משפחת המשולשים

9. משולשים דומים • משולשים דומים – משולשים השווים זה לזה בזוויותיהם. • במשולשים דומים, היחסים בין הצלעות שוויםבהתאמה. D A B C E F משפחת המשולשים

10. D A B C E F משולשים דומים (המשך) • משפטי דמיון: • זווית, זווית (ז',ז'). משפחת המשולשים

11. משולשים דומים (המשך) A • שאלה: • ED הוא קטע אמצעים במשולש ABC. O הוא מרכז המעגל החוסם את המשולש AED. M הוא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC. (הנקודות A, O, M מונחות על ישר אחד) (ראה ציור). א. הוכח: AOEAMB. ב. מצא את היחס O E D M B C משפחת המשולשים

12. A O E D M B C משולשים דומים (המשך) • פיתרון: • נתונים: EDBC, ED=1/2BC. r r משפחת המשולשים

13. A r r O E D M B C משולשים דומים (המשך) • פיתרון: R R משפחת המשולשים

14. A r r O E D R M R B C משולשים דומים (המשך) • פיתרון: משפחת המשולשים

15. A A b b c c C C B B a a משולשים חופפים • משולשים חופפים – משולשים השווים זה לזה בצלעותיהם ובזוויותיהם בהתאמה. משפחת המשולשים

16. משולשים חופפים (המשך) A • משפטי חפיפה: • צלע, צלע, צלע (צ',צ',צ'). • צלע, זווית, צלע (צ',ז',צ'). • זווית, צלע, זווית (ז',צ',ז'). • צלע, צלע, זווית (מול הצלע הגדולה) (צ',צ',ז'). • זווית, זווית, צלע (מול אחת מהן) (ז',ז',צ') b c C B a A b c C B a משפחת המשולשים

17. משולשים חופפים (המשך) • שאלה: • נתון משולש ABC שווה-שוקיים (AB=AC). CF ו-BK הם גבהים במשולש. הוכח: משולש FBC חופף למשולש KCB. A F K B C משפחת המשולשים

18. A F K B C משולשים חופפים (המשך) • פיתרון: • נתונים: AB=AC. • BKAC, CFAB. משפחת המשולשים

19. משולש שווה-שוקיים • משולש שווה-שוקיים – משולש ששתיים מצלעותיו שוות זו לזו. • הצלעות השוות נקראות "שוקיים". • הצלע השלישית נקראת "בסיס". • במשולש שווה-שוקיים – זוויות הבסיס שוות זו לזו. A שוק שוק B C בסיס משפחת המשולשים

20. A שוק שוק B C בסיס משולש שווה-שוקיים (המשך) • תכונות ומשפטים במשולש שווה-שוקיים: • במשולש שווה-שוקיים, הגובה לבסיס, התיכון לבסיס וחוצה זווית הראש מתלכדים לישר אחד.   משפחת המשולשים

21. משולש שווה-שוקיים (המשך) • שאלה: • משולש ABC (ראה ציור) הוא משולש שווה-שוקיים (AC=AB). נקודה E היא אמצע צלע BC. נקודה D היא אמצע צלע AB. הוכח: משולש BDE הוא משולש שווה-שוקיים. A D B C E משפחת המשולשים

22. A D B C E משולש שווה-שוקיים (המשך) • פיתרון: • נתונים: AB=AC. BE=CE, AD=BD. משפחת המשולשים

23. A D B C E משולש שווה-שוקיים (המשך) • פיתרון: משפחת המשולשים

24. משולש שווה-צלעות • משולש שווה-צלעות –משולש שכל שלוש צלעותיו שוות זו לזו. • תכונות ומשפטים במשולש שווה-צלעות: • כל הזוויות שוות זו לזו וכל אחת שווה ל-600. • חוצה הזווית, התיכון, הגובה והאנך האמצעי מתלכדים לישר אחד. A 600 600 600 C B משפחת המשולשים

25. A C B משולש שווה-צלעות (המשך) • שאלה: • נתון: ABC משולש שווה שוקיים (AB=AC). BEAC, DCAB. א. הוכח: BD=CE. ב. נתון: DO=1/2OC. הוכח: משולש ABC שווה-צלעות. D E O משפחת המשולשים

26. A D E O C B משולש שווה-צלעות (המשך) • פיתרון: • נתונים: AB=AC. BEAC, CDAB. DO=1/2OC. משפחת המשולשים

27. A D E O C B משולש שווה-צלעות (המשך) • פיתרון: משפחת המשולשים

28. משולש ישר-זווית • משולש ישר-זווית – משולש בעל זווית ישרה (900). • תכונות ומשפטים במשולש ישר-זווית: • משפט פיתגורס: היתר בריבוע שווה לסכום ריבועי הניצבים. c2=a2+b2. • התיכון ליתר שווה למחצית היתר. • הגובה ליתר במשולש ישר-זווית מחלק אותו לשני משולשים הדומים זה לזה ולמשולש המקורי. • משפט אוקלידס: אורך ניצב הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר ושל היטל הניצב על היתר. A c b C B a משפחת המשולשים

29. A B C משולש ישר-זווית (המשך) • שאלה: • המשולש ABC שבציור הוא ישר-זווית (B=900). EC חוצה זווית C, BD תיכון ליתר AC. א. נתון: BD+AC=15 ס"מ. חשב את BD. ב. נתון: C=400. חשב את זווית EOB. ג. נתון: BF=FC. הוכח: DFAB. D E O F משפחת המשולשים

30. A D E O B C F משולש ישר-זווית (המשך) • פיתרון: • נתונים: ABC=900. ACE=BCE, AD=CD. משפחת המשולשים

31. A D E O B C F משולש ישר-זווית (המשך) • פיתרון: משפחת המשולשים

32. A D E O B C F משולש ישר-זווית (המשך) • פיתרון: משפחת המשולשים

33. משולשים מיוחדים נוספים – "משולש הזהב" • "משולש הזהב" –משולש שווה – שוקיים בעל זוויות בסיס של 720. • ב"משולש הזהב" היחס בין השוק לבסיס הוא "יחס הזהב". A 720 720 B C משפחת המשולשים

34. משולשים מיוחדים נוספים – "משולש הכסף" • "משולש הכסף" –משולש שווה – שוקיים שהוא גם ישר זווית. A 450 450 B C משפחת המשולשים

35. משולשים מיוחדים נוספים – משולש 30-60-90 • "משולש 30-60-90" –משולש ישר-זווית שזוויותיו הן בנות 30, 60 ו-90 מעלות. • מכונה גם בטעות "משולש הזהב". • הצלע מול הזווית בת 300 שווה לחצי מהיתר. A 300 600 B C משפחת המשולשים

36. סוף משפחת המשולשים