単位名　　学部　 : 天体輻射論 I 　　大学院：恒星物理学特論 IV 教官名中田　好一

J：　連続吸収 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２００６年１２月１８日　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　来年は１月２２日に最後の授業があります。レポート提出の最終期限は当日授業終了時です。天文事務へのレポート郵送は１月２１日着を期限とします。単位名　　学部　 :天体輻射論I 　　大学院：恒星物理学特論IV 教官名中田　好一授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。成績は「レポート＋出欠」でつけます。授業の内容は下のHPに掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html

自由状態 (Unbound State) n= 3 束縛状態 (Bound State) n= 2 n= １原子による吸収には、（１）ｂ－ｆ吸収、（２）ｆ－ｆ吸収、（３）ｂ－ｂ吸収の３つがある。ｂ－ｆとｆ－ｆは連続吸収、b-b は線吸収である。ｂ－ｆのｂはｂｏｕｎｄ　ｓｔａｔｅのｂ、　ｆ　は　free state の　ｆ　である。下図は水素のエネルギーレベルと対応する　ｂ－ｆ　吸収を示す。Ｊ．１．水素原子のBound-Free 吸収 Paschen 連続吸収 Balmer 連続吸収 Lyman 連続吸収

水素原子のｂ－ｆ 吸収係数　κｂｆρ＝N１σ１＋N2σ2＋N3σ3＋…… N１：ｎ＝１状態の原子数密度、 σ１：ｎ＝１原子のｂ－ｆ吸収断面積 N2 ：ｎ＝２状態の原子数密度、 σ2：ｎ＝２原子のｂ－ｆ吸収断面積 N3 ：ｎ＝３状態の原子数密度、 σ3：ｎ＝３原子のｂ－ｆ吸収断面積　　 σ（ｂ－ｆ）吸収端 σn(λ)：ＨＩ（主量子数＝ｎ）のｂ－ｆ吸収断面積 σn(λ) ＝ σn(λｎ) (λ/λｎ)３G (λｎ) (λ＜λｎ) 　　ここに、λｎ=９１２×ｎ２ Å（オングストローム）＝吸収端波長 σn(λｎ)＝吸収端における吸収断面積＝ (16/3π√3) (πe2/mc)(λL/ｃ)nG 　　　　　　　　＝０.７９１×１０－１７ｎＧ　ｃｍ２ G= Gaunt Factor = 量子力学的補正項（１から数％以内） λ

n=1 Lyman cont. n=2 Balmer cont. n=3 Paschen cont. n=4 Brackett cont. σn(λ) (10-17 cm2） 00.5 1.0 1.5 λ(μ) H原子のｂ－ｆ吸収断面積 σn(λ) 3 2 1 0

H原子各順位の存在量 ボルツマン分布）ここに、θ＝5040.2／T 一方、　σn(λｎ) ＝ 0.791×10－17 nG cm2 両方の掛け算から、T=5,000Kと20,000Kでのｎ＝１，２，３，４からの吸収係数への寄与を比べてみると、 T=5000K n 1 2 3 4 σn(λn) （ cm2） 0.791 10－17 1.582 10－17 2.373 10－17 3.164 10－17 Nｎ / N11 2.09 10ー10 5.87 10－12 2.25 10ー12 Nnσn(λn)/ N1 0.791 10-173.31 10-27 1.39 10-28 7.12 10-28 T=20,000K n 1 2 3 4 Nn/ N1 1 0.0107 0.0081 0.00980 Nnσn(λn)/ N1 0.791 10ー17 1.69 10ー19 1.92 10ー19 3.10 10ー19

基底状態にある水素原子１個当りのｂ－ｆ吸収断面積基底状態にある水素原子１個当りのｂ－ｆ吸収断面積 -17 -20 -25 -30 912 A 8206 A 3646 A Lyman 14584A log (Nnσn / N1) (cm2/H) Brackett Paschen Balmer ‐1.5 ‐1 ‐0.5 0 logλ(μ) 20,000K 5,000K

Ｊ．２．水素のFree-free 吸収 自由電子光子陽子自由状態 free state 束縛状態 bound state κｆｆ (λ,T)ρ＝α(λ, T) ne np ne np / nH＝（2πｍekT/ｈ２）３/２ exp(‐I/kT)　　　　を使うと、　 κｆｆ (λ,T)ρ ＝ α(λ, T) nH （2πｍekT/ｈ２）３/２ exp(‐I/kT) ＝1.667 10-16 nH λ３g（10－１３．6θ /θ）　ｃｍ－１ここに、　ｇ＝Gaunt factorλ＝波長（μ）　θ＝５０４０/T

Ｊ．３． Negative Hydrogen Hylleraas,E.1930, Zs.f.Phys.,65,209. 　量子力学的エネルギー極小（変分計算） 　H－Electron affinity = 0.70 eV Wildt,R., 1939. ApJ, 89, 295. H, Li, O, F, Cl 等の計算結果（１９３０－１９３２）から星の大気中に　　負イオン存在の可能性を指摘。更に、Ｈ＋ｅ→Ｈ－の衝突断面積σの計算　値（Massey, 1936)から吸収係数 k を出した。 1939, ApJ 90, 619. 水素負イオンによる連続吸収。２１０‐１７ｃｍ２／Ｈ－当時、実験室では知られていなかったが量子力学の計算から予測。　　Ｅ＝－0.754 eV （1.645 μ）準位は一つ。多分 (1s)21S0 　ｂ－ｂ　吸収なし。

ｂ－ｆ　吸収Ｅ＞Ｅ０=0.754eV （λ＜１.６４４μ）ｆ－ｆ　吸収Ｅは自由。Ｅ0=0.754 eV (1s)21S0 水素原子連続吸収問題：　低温の星ではバルマー不連続が極度に大きくなるはず。 (Ｎσ)－Ｎσ (Ｎσ)＋ λ T 30,000 10,000 7,000 3,000 　比　　　7.03 30.03 76.36 4833 0.3647μｍ　　　　　実際にはバルマー不連続 (Balmer jump)はA0で極大。 ――＞中性水素以外の連続吸収源が低温度星で必要。 ――＞ Negative Hydrogen が探されていた吸収を与えた！　

H－の存在比 復習　Ａ＋＋ｅ－Ａ＝０　 (I=inization energy) ｎ（Ａ＋）ｎ（ｅ）/ｎ(Ａ) ＝[u（Ａ＋）２／u（Ａ）]（2πｍekT/ｈ２）３/２ exp(‐I/kT) 　　ｌｏｇ[ｎ（Ａ＋）/ｎ(Ａ) ] 　　　＝ｌｏｇ［ u（Ａ＋）／u（Ａ）］+log 2 +(5/2) log T －ｌｏｇＰｅ－Ⅰ(eV)(5040/T)－0.48 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐｅの単位は　erg/cm3）Ｎｅｇａｔｉｖｅ　Ｈｙｄｒｏｇｅｎ　に上の式を適用すると、　　　Ｈ＋ｅ－Ｈ－＝０　 (E=inization energy＝0.754eV) ｎ（Ｈ）ｎ（ｅ）/ｎ(Ｈ－) ＝[u（Ｈ）２／u（Ｈ－）]（2πｍekT/ｈ２）３/２ exp(‐Ｅ/kT) 　　ｌｏｇ[ｎ（Ｈ）/ｎ(Ｈ－) ] 　　＝ｌｏｇ［u（Ｈ）／u（Ｈ－）］+log 2 +(5/2) log T －ｌｏｇＰｅ－Ｅ(eV)(5040/T)－0.48 u（Ｈ）＝２、　u（Ｈ－）＝１、　Ｅ＝０．７５４　　　＝０．１２５－ｌｏｇＰｅ＋２．５ｌｏｇＴ－０．７５４（５０４０／Ｔ）　　　＝９．３８１－ｌｏｇＰｅ－２．５ｌｏｇ（５０４０／Ｔ）－０．７５４（５０４０／Ｔ）

H－の b-f 吸収係数 前々ページのσｂｆ（λ）と前ページの[ｎ（Ｈ）/ｎ(Ｈ－) ]を合わせ、水素原子H １個当たりのNegative Hydrogen Ｈ－のｂ－ｆ吸収断面積として、 κ(H－)bf = [ N(H－) / N(H) ]σbf = 4.1５８×10－10 σbf （λ）Pe (5040/T)5/2 100.754(5040/T)(cm2 / H atom) σbf （λ）はλ＝0.85μm 付近で最大値、４×10－17 cm2をとる。 H－のｆ-f 吸収係数 Belland Berrington 1987 J Phys. B 20, 801. κ(H－)ff =10-26 Pe 10Ａ(cm2 / H atom) 　　　Ａ＝fo+f1 logθ+f2log2θ) fo=－2.276－1.6850 logλ＋0.76661 log2λ－0.0533464 log3λ f1=15.2827－9.2846 logλ＋1.99381 log2λ－0.142631 log3λ f2=－197.789+190.266 logλ－67.9775 log2λ+10.6913 log3λ－0.625151 log4λ θ=5040 / T、　λ（in A)

H－の b-f 吸収断面積　　　by Wishart 1979 MN 187, 59P 10 σbf (10-1７cm2) 1 ０．1 0 0.5 1 1.5 λ (μm) ０．７５４eV σｂｆ（λ）＝(1.99654-0.118267 X+264.243 X2-440.524 X3+323.992 X4 –139.568 X5 +27.8701 X6) 10－１８　ｃｍ２　　　　　ここに、Ⅹ＝λ（μ）

Ｊ．4．吸収係数の計算 ここは、恒星大気の代表的な値に基づいて、水素連続吸収を計算する。ここにあげたスペクトル型より低温（晩期型）では分子吸収、高温（早期型）では電子による散乱が効いてくるので、ここでは取り上げない。スペクトルを計算する星のパラメターは以下のようである。スペクトル型　　　Ｔe　　　　　　Ｐｇ（erg/cm3）　　　　Ｐｅ（erg/cm3） K7 　４０００　　　　100,000 0.18 G0 ６０００ 62,00014 F０７５００　　　　 17,000 130 　Ａ０１００００　1,300 420 Ｂ０.５　　　２５０００ 1,900 905

N－、n1、 n２、 n３、n４、Ne Peが与えられているので、電子は水素の電離で形成されると考えると、P(HI)は N(He）/N(H)=１/９　として、　　　　　　　Ｐ（ＨＩ）＝（Ｐｇ－２・Ｐｅ）/１．１　　　（ＨＩは中性水素原子の意味）で決まる。次にＰ（Ｈ－）はＳＡＨＡの式に今求めたP(HI)を代入して、次の式で決まる。数密度はｋ＝１．３８０６・１０－１６（erg/K）を使って、Ｎｅ＝Ｐｅ/ｋＴ、　ＮＩ＝Ｐ（ＨＩ）/ｋＴ、　Ｎ－＝Ｐ（Ｈ－）/ｋＴ　で求まる。 n1、 n２、 n３、n４　をＮＩ＝n1＋n２＋ n３．．．からもとめるには、ＮＩ＝n1と近似して、 n２= n1×４×１０－10.2０θ n３= n1×９×１０－12.08θ n４= n1×１６×１０－12.75θ（ボルツマンの式）で計算する。θ＝５０４０/Ｔ。　

　　　Ｔ　　Ｐｇ　Ｐｅ P H- Ne NI N- n1 n2 n3 n4 n5 K7 4000 1.0(5) 0.18 1.1(-4) 3.2(11) 1.7(17) 1.9(8) 1.6(17) 9.2(4) 8.9(2) 2.2(2) 1.4(2) K0 5000 8.5(4) 0.94 1.7(-4) 1.3(12) 1.1(17) 2.5(8) 1.1(17) 2.3(7) 6.7(5) 2.5(5) 1.9(5) G0 6000 6.2(4) 14 9.1(-4) 1.6(13) 6.8(16) 1.1(9) 6.8(16) 7.3(8) 4.3(7) 2.1(7) 1.8(7) F０ 7500 1.7(4) 130 9.7(-4) 1.2(14) 1.4(16) 9.5(8) 1.4(16) 8.2(9) 1.0(9) 6.3(8) 6.1(8) A0 10000 1300 419 2.8(-5) 3.0(14) 2.7(14) 2.0(7) 2.7(14) 7.9(9) 2.0(9) 1.6(9) 1.8(9) B1 25000 1900 905 ----- 2.6(14) 3.4(10) 3.3(2) 3.4(10) 1.2(9) 1.1(9) 1.4(9) 1.9(9) 次に、上の値を用いて連続吸収係数を計算する。

（１）ＨＩのｂ－ｆ　吸収 κｂｆρ＝n１σ１＋n2σ2＋n3σ3＋……Ｇ＝１で計算する。 σn(λ) ＝ σn(λｎ) (λ/λｎ)３(λ＜λｎ) λｎ=0.0９１２×ｎ２ μｍ σn(λｎ)＝０.７９１×１０－１７・ｎ　（ｃｍ２ ) （２）Ｈ－のｂ－ｆ　吸収 σｂｆ－（λ）＝(1.99654-0.118267 X+264.243 X2-440.524 X3+323.992 X4 –139.568 X5 +27.8701 X6) 10－１８　ｃｍ２　　　　　　　　ここに、Ⅹ＝λ（μ）　　　から、Ｎ－ σｂｆ－（λ）を計算する。（３）Ｈ－のｆ－ｆ　吸収ＮeＮ－α－ｆｆ (λ, T)＝10-26・ＮＨＩ・Pe （erg/cm3）・10Ｃ(cm－１) Ｃ＝fo+f1 logθ+f2log2θ　　ただし、θ=5040.２ / T、λ（in A)である。 fo=－2.276－1.6850 logλ＋0.76661 log2λ－0.0533464 log3λ f1=15.2827－9.2846 logλ＋1.99381 log2λ－0.142631 log3λ f2=－197.789+190.266logλ－67.9775 log2λ+10.6913 log3λ－0.625151 log4λ

ロスランド平均吸収係数κＲ 前節で求めたκ（λ）に基づいて、κRを計算する。 Te（K)　　　　４０００　　５０００　　６０００　　７５００　１００００　２５０００ κR（ｃｍ－１）　 3.84E-09 6.82E-9 3.98E-08 3.38E-08 1.43E-08 3.85E-09

こうして、Te、ｋλ、ｋR　が揃ったので、ある波長λでτλ＝２／３になる深さでの温度T（λ）はエディントン大気を仮定して下のように求められる。こうして、Te、ｋλ、ｋR　が揃ったので、ある波長λでτλ＝２／３になる深さでの温度T（λ）はエディントン大気を仮定して下のように求められる。恒星表面でのフラックス　W(λ）＝λ・F(λ）　はしたがって、以下に、このようにして求めた、ｋλ、W(λ)をグラフで示す。

他の温度も求めてみた。

単位名 学部 : 天体輻射論 I 大学院：恒星物理学特論 IV 教官名 中田 好一