1 / 21

FIELD ATAU MEDAN

FIELD ATAU MEDAN. Definisi : Suatu Ring komutatif dengan elemen satuan yang tiap elemennya tidak nol mempunyai elemen invers disebut field atau medan. Definisi :

mae
Download Presentation

FIELD ATAU MEDAN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. FIELD ATAU MEDAN Definisi : Suatu Ring komutatifdenganelemensatuan yang tiapelemennyatidaknolmempunyaielemeninversdisebutfield ataumedan

  2. Definisi: • StrukturAljabar yang memenuhisuatu field dengantidakmensyaratkanberlakunyasifatkomutatifterhadappergandaandisebutskew field (medan miring)

  3. Syarat Field Field memilikisyaratsamadengan ring komutatif (ax:1,2,3,4,5, 1’,2’,D,5’,3’ dan 4’ ). 4’dengansyarat (VaЄR,a ≠ 0) (Э a Є R) a-1 a=a. a-1 =e,e=elemensatuanterhadap (x) dalam R)

  4. Field : Ring komutatif, ring denganelemensatuanperkaliandan 4’ (setiapelemensatuannolmempunyaiinversterhadapperkalian) ContohSoal: Selidikiapakah I7 suatu field terhadappenjumlahandanperkalian mod 7!

  5. Penyelesaian : Jawab : + 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 0 2 2 3 4 5 6 0 1 3 3 4 5 6 0 1 2 4 4 5 6 0 1 2 3 5 5 6 0 1 2 3 4 6 6 0 1 2 3 4 5

  6. x 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4 4 0 4 1 5 2 6 3 5 0 5 3 1 6 4 2 6 0 6 5 4 3 2 1

  7. Tertutup”+” (Va,bЄ I7 ) (Э!cЄI7)a+b = c misal: 1,4ЄI7 → 1+4 = 5 ; 5ЄI7 2,3ЄI7 → 2+3 = 5 ; 5ЄI7 , dst • Assosiatif”+” (Va,b,cЄ I7 ) (a+b)+c = a+(b+c) misal: 1,2,4 Є I7 → (1+2)+4 = 1+(2+4) 3+4 = 1+6 7 = 7 (mod 7) 0 = 0 , dst

  8. 3. Terdapatelemensatuan “+” (ЭzЄI7) (VaЄ I7 ) z+a = a+z = a contoh : 2 Є I7 → 0+2 = 2+0 = 2 3 Є I7 → 0+3 = 3+0 = 3, dst 4. Setiapelemendalam I7 mempunyaielemeninversterhadap”+” (VaЄ I7 ) (Э(-a) ЄI7) (-a)+a = a+(-a) = z Inversdari 0,1,2,3,4,5,6 masing-masingadalah 0,6,5,4,3,2,1 sebab : 0 + 0 = 0 3 + 4 = 0 6 + 1 = 0 1 + 6 = 0 4 + 3 = 0 2 + 5 = 0 5 + 2 = 0

  9. 5. Komutatif “+” (Va,bЄ I7 ) a + b = b + a misal: 2,4 Є I7 → 2+4 = 4+2 6 = 6 Є I7 1’. Tertutup “x” (Va,bЄ I7 ) (Э!cЄI7)axb = c misal : 2,3 Є I7 → 2x3 = 6, 6 Є I7 2’. Assosiatif “x” (Va,b,cЄ I7 ) (a x b) x c = a x (b x c) misal: 2,3,4 Є I7 → (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) 6 x 4 = 2 x 5 ( mod 7) 3 = 3 (mod 7)

  10. 3’. Terdapatelemensatuan “x” (ЭeЄI7) (VaЄ I7 ) a x e = e x a = a contoh : 2.1 Є I7 → 2.1 = 1.2 = 2 Jadielemensatuanterhadap “x” = 1 4’. Setiapelemendalam I7 mempunyaielemeninvers “x” (VaЄ I7 ) (Э a-1ЄI7) (a-1)+a = a+(a-1) = 1 Elemeninversdari 1,2,3,4,5,6 masing – masingadalah 1,4,5,2,3,6 sebab: 1 x 1 = 1 4 x 2 = 1 2 x 4 = 1 5 x 3 = 1 3 x 5 = 1 6 x 6 = 1

  11. 5’. Komutatif “x” (Va,bЄ I7 ) a x b = b x a misal: 2,5 Є I7 → 2 x 5 = 5 x 2 3 = 3 D. Distributif (Va,b,cЄ I7 )a x (b + c) = (a x b)+(a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a) misal : 1,3,4 Є I7 → 1 x (3 + 4) = (1 x 3) + (1 x 4) 1 x 7 = 3 + 4 (mod 7) 1 x 0 = 7 (mod 7) 0 = 0

  12. (3 + 4) x 1 = (3 x 1) + (4 x 1) (mod 7) 7 x 1 = 3 + 4 0 x 1 = 7 (mod 7) 0 = 0 Karena I7 memenuhi 1,2,3,4,5, 1’ ,2’,3’,4’ ,5’ dan D maka I7 suatu field

  13. RING PEMBAGIAN(DIVISION RING) Definisi : Strukturaljabar yang memenuhisuatu field dengantidakmensyaratkanberlakunyasifatkomutatifpergandaan, adanyaelemensatuandantiapelemen yang bukanelemennolmempunyaielemeninverstetapitidakmensyaratkanberlakunyasetiappersamaan ax = b mempunyaijawabandisebutDIVISION RING (RING PEMBAGIAN)

  14. Dengankata lain syarat Ring pembagian • Memenuhisifat – sifat Ring (1,2,3,4,5, 1’ ,2’ ,D) • ax = b Contohsoal Selidikiapakah A={0,1,2,3,4} terhadappenjumlahandanpergandaan modulo 5 merupakan Ring pembagian yang komutatif !

  15. Penyelesaian: • + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 01 3 3 4 0 12 4 4 0 1 2 3

  16. x 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1

  17. Tertutup”+” (Va,bЄI5 ) (Э!cЄI5)a+b= c misal: 1,3ЄI5→ 1+3 = 4 ; 4ЄI5 2,4ЄI5→ 2+4 = 1 ; 1ЄI5 , dst • Assosiatif”+” (Va,b,cЄI5 ) (a+b)+c = a+(b+c) misal: 1,3,4 ЄI5→ (1+3)+4 = 1+(3+4) 4+4 = 1+7 8 = 8 (mod 5) 0 = 0 , dst

  18. 3. Terdapatelemensatuan “+” (ЭzЄI5) (VaЄI5) z+a = a+z = a contoh : 3ЄI5→ 0+3 = 3+0 = 3 4 ЄI5→ 0+4 = 4+0 = 4, dst 4. SetiapelemendalamI5mempunyaielemeninversterhadap”+” (VaЄI5 ) (Э(-a) ЄI5) (-a)+a = a+(-a) = z Inversdari0,1,2,3,4 masing-masingadalah0,4,3,2,1 sebab : 0 + 0 = 0 3 + 2 = 0 1 + 4 = 0 4 + 1 = 0 2 + 3 = 0

  19. 5. Komutatif “+” (Va,bЄI5 ) a + b = b + a misal: 2,3 ЄI5 → 2+3 = 3+2 0 = 0 ЄI5 1’. Tertutup “x” (Va,bЄI5 ) (Э!cЄI5)axb= c misal : 1,3 ЄI5 → 1x3 = 3, 3ЄI5 2’. Assosiatif “x” (Va,b,cЄI5 ) (a x b) x c = a x (b x c) misal: 1,3,4 ЄI5 → (1 x 3) x 4 = 1 x (3 x 4) 3 x 4 = 1 x 2 ( mod 7) 2 = 2 (mod 7)

  20. D. Distributif (Va,b,cЄI5 )a x (b + c) = (a x b)+(a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a) misal : 1,3,4 ЄI5 → 1 x (3 + 4) = (1 x 3) + (1 x 4) 1 x 2 = 3 + 4 (mod 5) 2 = 2 (mod 7) (3 + 4) x 1 = (3 x 1) + (4 x 1) (mod 5) 2 x 1 = 3 + 4 2 = 2 (mod 5)

  21. ax = b Karenaanggota I5 = {0,1,2,3,4} maka ax = b → 2x = 4 x = 2 (2 ЄI5 ) Karena I5memenuhisifat1,2,3,4,5, 1’ ,2’,D dan ax = b, maka I5 merupakan ring pembagian yang komutatif

More Related