The Greek Letters

1. The Greek Letters Chapter 17

2. Sensitivitetsanalyse • Det er viktig å forstå hvordan endringer i de underliggende variablene påvirker verdsettingen av en opsjon. Dette kalles ”option greeks” ved at det benyttes greske symboler for å illustrere effektene. De viktigste er • Delta (δ), endring i opsjonspris for en gitt endring i pris på underliggende • Gamma (γ), endring i delta ved en endring i pris på underliggende • Theta (θ), endring i opsjonspris for en gitt endring i tid til bortfall • Rho (ρ), endring i opsjonspris for en gitt endring i risikofri rente • Vega (ν), endring i opsjonspris for en gitt endring i volatiliteten (standardavviket) til underliggende

3. Eksempel side 355 • En bank har solgt en europeisk call på 100 000 aksjer (som ikke betaler dividende) for $300 000 • S0 = 49, K = 50, r = 5%, s = 20%, T = 20 uker eller 140 dager, m = 13% • Black-Scholes verdsetter opsjonen til ca. $240,000 (gevinst 60 000 for banken) • Hvordan kan banken håndtere sin risiko?

4. Black-Scholes med greeks

5. http://www.oslobors.no/ob/opsjonskalkulator?menu2show=1.3.1.5.http://www.oslobors.no/ob/opsjonskalkulator?menu2show=1.3.1.5.

6. Naked & Covered Positions • Naken posisjon - Ikke foreta seg noe for å redusere risikoen • Dekket posisjon – kjøp 100 000 aksjer i dag • Begge strategiene vil utsette banken for betydelig risiko

7. Naken posisjon • Hvis aksjekursen holder seg under 50 ved opsjonens bortfall etter 20 uker, blir den ikke innløst og banken tjener 300 000 • Hvis aksekursen overstiger 50 og opsjonen dermed blir innløst, går banken på et tap • Hvis aksjekursen er 60, blir det et tap på kr 10 pr aksje, totalt 1 000 000 (før premie)

8. Naken posisjon • En dekket posisjon innebærer at banken kjøper 100 000 aksjer i dag. • Dette gir god sikring hvis opsjonen innløses, men kan gi betydelig tap hvis den ikke innløses • Hvis aksjekurs er 40 innløses opsjonen ikke og banken taper 900 000 på posisjonen

9. Stop-Loss strategi • Kjøp 100 000 aksjer når kursen blir lik innløsningskursen K, her $50 • Selg 100 000 aksjer når kursen faller under $50 • Dette innebærer å holde en naken posisjon hvis kursen er under 50 og dekket posisjon hvis den er over 50 • Dette er ingen god strategi og det kan påløpe betydelige transaksjonskostnader

10. opsjonspris Helning = D B Aksjekurs A Delta (See Figure 17.2, page 359) • Delta (D) eller N(d1) viser hvordan opsjonsprisen endres når underliggende endres

11. Delta • Delta for det underliggende er alltid 1 (hvis long) og -1 (hvis short) • En long call har en delta fra 0 til + 1 og en long put har en delta fra 0 til – 1 (hvis aksjekursen stiger reduseres verdien av en put). • Er man short, er fortegnene motsatt. En short put har derfor delta fra 0 til + 1

12. Delta med DerivaGem

13. Opsjonens delta

14. Eksempel delta • Anta at aksjekurs = 100 , opsjonspris =10 og delta = 0.6 • En trader selger 20 kjøpsopsjoner (2000 aksjer) • Posisjonen kan sikres (hedges) ved å kjøpe 0.6 * 2 000 = 1 200 aksjer • Gevinst eller tap fra opsjonen oppveies av gevinst eller tap fra aksjen • Hvis aksjekursen øker med 1, øker verdien av aksjebeholdningen med 1 200, mens det oppstår et tap på 1 200 fra opsjonen

15. Delta Hedging • Porteføljen er delta nøytral • Delta til en europeisk call som ikke betaler dividende er N (d1) • Delta til europeisk put er [N (d1) – 1] • Delta er ikke lineær og er påvirkes bl.a. av aksjekurs og tid til bortfall. Porteføljen må derfor stadig rebalanseres for å forbli delta nøytral. Risikomålet for en opsjons delta er gamma

16. Delta og tid til bortfall

17. Typisk delta og tid til bortfall

18. Theta • Theta (Q) eller “time decay” viser hvordan opsjonsprisen endres når tid til bortfall endres

19. Theta er – 0.0118 pr dag i vårt eks

20. Theta og tid til bortfall

21. Typisk forløp for theta

22. Gamma • Gamma (G) er endringen i (D) ved endring i pris på underliggende, eller den annenderiverte med hensyn til underliggende

23. Gamma er ikkelineær Call price C′′ C′ C Stock price S S′

24. Gamma er 0.066 i vårt eksempel

25. Delta og gamma

26. Tolkning av gamma • For a delta neutral portfolio, DP»QDt + ½GDS2 DP DP DS DS Positive Gamma Negative Gamma

27. Gamma nøytral portefølje • Delta sikring gjør det mulig å fjerne prisrisikoen i en portefølje • Gamma risiko kan bare elimineres ved å ta en posisjon i en opsjon • Anta at en delta-nøytral portefølje har en gamma på G og en opsjon som omsettes har en gamma lik GTog at det kjøpes wT opsjoner

28. Gamma nøytral portefølje • Porteføljens gamma blir

29. Gamma nøytral portefølje, eks • En portefølje er delta nøytral og har gamma – 3 000 • Delta og gamma for en call som omsettes er 0.62 og 1.5 • Porteføljen kan gjøres gamma nøytral ved å kjøpe 3 000/1.5 = 2 000 kjøpsopsjoner • Delta vil nå endres fra 0 til 2 000 * 0.62 = 1 240 • Posisjonen gjøres gamma nøytral ved å selge 1 240 av det underliggende objektet (aksjen) i porteføljen

30. Vega • Vega (n) viser hvordan opsjonsprisen endres når volatiliteten endres

31. Vega er 0.1209 i vårt eksempel

32. Volatilitet og opsjonspris

33. Rho • Rho viser hvordan opsjonsprisen endres når risikofri rente endres

34. Rho i vårt eksempel