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命题逻辑

命题逻辑. 一. 主要内容. 命题与命题联结词 命题公式 等值演算 命题公式的范式 联结词的功能完全集 永真蕴涵式 命题逻辑推理. 2. 什么是命题 ?. 命题 ( proposition ): 可判断真假而且非真即假的陈述句的内容 . 是陈述句的内容,而非陈述句本身. 命令句、疑问句或感叹句等的内容不构成命题 . 可判定真假 : 是否符合事实 . 不可 : 不真不假，又真又假 . 命题的 真值 ( truth value ): 命题的真假结果 . 即真 (TRUE) 和假 (FALSE). 常记作 T 和 F, 或者1和0. 二值逻辑. 3.

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  1. 命题逻辑 一

  2. 主要内容 • 命题与命题联结词 • 命题公式 • 等值演算 • 命题公式的范式 • 联结词的功能完全集 • 永真蕴涵式 • 命题逻辑推理 2 Lu Chaojun, SJTU

  3. 什么是命题? • 命题(proposition):可判断真假而且非真即假的陈述句的内容. • 是陈述句的内容,而非陈述句本身. • 命令句、疑问句或感叹句等的内容不构成命题. • 可判定真假:是否符合事实. • 不可:不真不假，又真又假. • 命题的真值(truth value):命题的真假结果.即真(TRUE)和假(FALSE). • 常记作T和F,或者1和0. • 二值逻辑 3 Lu Chaojun, SJTU

  4. 例:命题 (1) “雪是白的.” • 是命题,真值为1. (2) “雪是黑的.” • 是命题,真值为0. (3) “好大的雪啊!” • 不是命题 (4) “大于2的偶数可表示成两个素数之和.”(Goldbach猜想) • 是命题,目前不知其真假. (5) “1+10l＝110.” • 此数学式相当于命题“1加101等于110”.在十进制中真值为0,在二进制中真值为1. • 并非说同一命题有两个真值!在不同数制中是不同的命题. 4 Lu Chaojun, SJTU

  5. 命题的符号化表示 • 为便于进行命题演算,将自然语言符号化. • 用符号表示命题: • 命题常量:有确定真值的具体命题. • 符号化:如用a表示“雪是白的”. • 命题变量:用符号来表示任意命题. • 命题变量的真值是不确定的.对其指派了具体命题之后,才具有确定的真值. • 我们采用的表示法 • 采用小写字母(可带下标)作为命题符号: a, b, c, … • 命题符号如果不加说明一般是命题变量 5 Lu Chaojun, SJTU

  6. 简单命题和复合命题 • 从自然语言的简单句和复合句可形成简单命题与复合命题的概念. • 简单命题(或原子命题):简单语句 • 不含“并且” “或者” “如果…那么”之类的联结词. • 例如“雪是白的.” • 命题逻辑中不作进一步分析.但谓词逻辑不同. • 复合命题:复合语句 • 可分析为:简单命题经联结词联结而成. • 联结词:并且,或者,非,如果…那么, … • 例如“张三是教师并且雪是白的.” 6 Lu Chaojun, SJTU

  7. 命题联结词 • 命题联结词(propositional connective):将命题联结起来构成新命题. • 常用命题联结词: ,,,, • 将命题视为运算对象, 命题联结词视为运算符,则构成运算表达式. • 比较:初等代数中运算对象是a,b,c等,运算符有   等 7 Lu Chaojun, SJTU

  8. 否定词“” • 否定(negation):命题a加上否定词就形成一个新命题a,表达的是对a的否定. • 读作:非a • 的严格定义可利用真值关系给出: a为真 iffa为假. • 这种真值关系常常用真值表(truth table)来表示. 8 Lu Chaojun, SJTU

  9. 的真值表 • 真值表描述了a的真值如何依赖于a的真值. • 当命题变量不多时,真值表是研究真值关系的重要工具. 9 Lu Chaojun, SJTU

  10. 的例子 1.令a: “张三去看球赛了.” 则a: “张三没有去看球赛.” 2.令b: “今天是星期三.” 则b: “今天不是星期三.” 10 Lu Chaojun, SJTU

  11. 合取词“” • 合取(conjunction):联结两个命题a和b构成一个新命题ab,表达“a并且b”. • 读作: a且b, a与b, a、b的合取. • 的严格定义可用真值关系给出: ab为真 iffa和b都为真 11 Lu Chaojun, SJTU

  12. 的真值表 • 的真值表描述了ab的真值如何依赖于a和b的真值. 12 Lu Chaojun, SJTU

  13. 的例子 1.令a: “雪是白的.” b: “煤是黑的.” 则ab: “雪是白的并且煤是黑的.” 2.令a: “雪是白的.” b: “教室里有人.” 则ab: “雪是白的并且教室里有人.” 13 Lu Chaojun, SJTU

  14. 与日常用语的差异 • 日常用语里的“和”“与”“并且”一般表示有联系的事物;而只关心命题间的真值关系,并不考虑两命题是否有意义上的联系. • 例如“雪是白的并且教室里有人.” • 日常用语中的某些意义用表达不出来 • 例如“苹果电脑质量很好,但是很贵.” • 可符号化为用表达,但没有转折语气. • “张和李是同学”中的“和”不是联结词. 14 Lu Chaojun, SJTU

  15. 析取词“” • 析取(disjunction):联结两个命题a和b构成新命题ab,表达“a或者b”. • 读作: a或b, a、b的析取. • 的严格定义可用真值关系给出: ab为假 iffa和b都为假 15 Lu Chaojun, SJTU

  16. 的真值表 • 的真值表描述了ab的真值如何依赖于a和b的真值. 16 Lu Chaojun, SJTU

  17. 的例子 1.令a:“雪是白的.” b:“雪是黑的.” 则ab:“雪是白的或者雪是黑的.” 2.令a:“2小于3.” b:“雪是黑的.” 则ab:“2小于3或者雪是黑的.” • 由于“2小于3”真,所以ab必真,尽管“雪是黑的”为假. 17 Lu Chaojun, SJTU

  18. 与日常用语的差异 • 日常用语中的“或”还可能具有“排他”涵义 • 例如“你去或者我去”有二选一的意思 • 可定义这种“排他的或(exclusiveor)”,称为异或. • 而是“包容的或(inclusive or)”. 18 Lu Chaojun, SJTU

  19. 蕴涵词“” • 蕴涵(implication):将两个命题a和b联结起来,构成一个新的命题ab,表达“如果a成立那么b成立”. • 读作:a蕴涵b • a称前件(antecedent),b称后件(consequent). • 的严格定义可用真值关系给出: ab为假 iffa真而b假 19 Lu Chaojun, SJTU

  20. 的真值表 • 的真值表描述了ab的真值如何依赖于a和b的真值. 20 Lu Chaojun, SJTU

  21. 与推理 • 的最重要用途是进行命题间的推理. • 如果已知ab为真,那么只要a为真,必能推知b为真. • 绝不可能a真而b假. • 此即传统逻辑所称modus ponens推理规则. • 肯定前件式,或称分离规则 ab ∵若a则b a ∵a b ∴b 21 Lu Chaojun, SJTU

  22. 与日常用语的差异 • 称为实质蕴涵(material implication),与日常用语“如果…那么…”有不同. • 因果联系? • 日常用语的“如果a那么b”表明a和b有因果联系. • 而只反映a和b的真值关系,与因果无关. • a为假时,不论b的真假, ab都为真. • “如果雪是黑的,那么1=2.”是个真命题! • 若对此不满,可给出不同的蕴涵定义. 22 Lu Chaojun, SJTU

  23. 的例子 1.令a:“224.” a1:“225.” b:“雪是白的.” b1:“雪是黑的.” 则a  b为真 a1  b为真 a1 b1为真 a  b1为假 2.令a:“陆老师讲课.” b:“他来听课.” 则“只有陆老师讲课他才来听课”应译为ba. 23 Lu Chaojun, SJTU

  24. 双条件词“” • 双条件/等价(biconditional /equivalence):将两个命题a和b联结起来,构成一个新的命题ab,表达“等价于” “当且仅当”等. • 读作: a等价b, a当且仅当b • 的严格定义可用真值关系给出: ab为真 iffa和b真值相同 24 Lu Chaojun, SJTU

  25. 的真值表 • 的真值表描述了ab的真值如何依赖于a和b的真值. • 验证:ab和(ab)(ba)真值表相同 25 Lu Chaojun, SJTU

  26. 与日常用语的差异 • 和蕴含一样,并不意味着有因果联系. • 例如“225  太阳从西边出来”是真的. 26 Lu Chaojun, SJTU

  27. 的例子 令a:“△ABC是等腰三角形.” b:“△ABC中有两个角相等.” 则ab表达了“△ABC是等腰三角形当且仅当△ABC中有两个角相等”. 就此例而言: ab为真. 若把“等腰”换成“直角”,则ab为假. 27 Lu Chaojun, SJTU

  28. 关于联结词 • ,,,,是最常用的. • 也有用不同符号的: ～, ·, +, ,  • 还可定义其他联结词 • 如异或但既不常用,又都可由上述五个联结词表示出来.(稍后讨论) • 联结词,,对应着数字电路的门电路,可见命题逻辑(布尔逻辑)是数字电路分析和设计的理论基础和工具. 28 Lu Chaojun, SJTU

  29. 关于自然语句的符号化 • 将自然语句翻译成符号化的命题 (1)根据自然语句的含义,确定若干简单命题,并用命题符号a, b, c, …表示之; (2)根据自然语句的含义,确定简单命题之间的关系,并用命题联结词将它们联结起来. • 可能需要仔细考察自然语句的含义,才能抽取出隐含的简单命题和联结词. 29 Lu Chaojun, SJTU

  30. 例子 (1)张三不是学生. 令a:张三是学生.则(1): a. • 令a:张三不是学生. 如何? (2)张三既聪明又用功. 令a:张三聪明. b:张三用功.则(2):ab. • 令a:张三既聪明又用功. 如何? • 思考:张三虽然聪明但不用功. (3)张三一感冒就发烧. 令a:张三感冒. b:张三发烧.则(3):ab. 30 Lu Chaojun, SJTU

  31. 例子(续) (4)张三和李四是学生. 令a:张三是学生. b:李四是学生.则(4):ab. • 思考:张三和李四是表兄弟.也用? (5)张三或李四当班长. 令a:张三当班长. b:李四当班长.则(5):ab? • 不可兼或!(5)应表示为:(ab)(ab). • 思考:张三和李四至少一人是学生.ab合适. • 思考:张三或李四都可当班长.也用? 31 Lu Chaojun, SJTU

  32. 主要内容 • 命题与命题联结词 • 命题公式 • 等值演算 • 命题公式的范式 • 联结词的功能完全集 • 永真蕴涵式 • 命题逻辑推理 32 Lu Chaojun, SJTU

  33. 命题公式 • 问题:通过联结词构成复杂命题时,如何才是有意义的命题? • 例如: abc的意义明确吗? • 定义(命题公式): (1)命题常量和命题变量是命题公式. (2)如果A、B是命题公式,则(A), (AB), (AB), (AB)和(AB)也是命题公式. (3)所有命题公式都通过(1)(2)得到. 33 Lu Chaojun, SJTU

  34. 关于命题公式定义 • 符号表:这里隐含规定使用大小写字母(可带下标),联结词,圆括号. • 这种定义方式是形式系统常用的合式定义,所定义的公式称为合式公式(wff). • (1)(2)是归纳定义的奠基和归纳步骤,(3)并不是多余的一句话.(Why?) • 为简化括号的使用,可规定联结词的优先级(由高到低):      • 同级:自左到右次序 • 最外层括号常省略 Lu Chaojun, SJTU

  35. 判断符号串是否wff • 根据合式定义,层层归约,直到原子命题即可判断. • 例 ((ab)) (a((ab))) (((ab)(bc))(ac)) (ab)b (ab) 35 Lu Chaojun, SJTU

  36. 命题变量的真值 • 命题公式的真值由其成员命题的真值决定. • 公式中有命题变量时如何确定真值? • 对公式中所有命题变量进行真值赋值(指派),则公式的真值即可确定.不同赋值导致公式的不同真值. • 真值赋值:设U是全体命题变量的集合.一个真值赋值t是从U到{0,1}的一个函数. 36 Lu Chaojun, SJTU

  37. 命题公式的真值 • 命题公式A在真值赋值t下的真值t(A): (1)A是命题常量a,则t(A)  a的真值. (2)A是命题变量x,则t(A)  t(x). (3) t(A)  1 iff t(A)  0. (4) t(AB)  1 iff t(A)  t(B)  1. (5) t(AB)  0 iff t(A)  t(B)  0. (6) t(AB)  0 iff t(A)  1且t(B)  0. (7) t(AB)  1 iff t(A)  t(B) 37 Lu Chaojun, SJTU

  38. t( )的性质 • 定理 (1) t(1)  1, t(0)  0. (2) t(A)  t(A). (3) t(AB)  t(A)  t(B). (4) t(AB)  t(A)  t(B). (5) t(AB)  t(A)  t(B). (6) t(AB)  t(A)  t(B). Lu Chaojun, SJTU

  39. 例:计算公式的真值 1.求A  (xy)((x)(yz))在t(x)  0, t(y)  1,t(z)  0时的真值. 解: t(xy)  1 t(x)  1 t(yz)  0 t((x)(yz))  0 t(A)  t(10)  0 2.设t(xy)  0,求t((y(xy))x). 解:由t(xy)  0,知t(y(xy))  0. 则t((y(xy))x)  1. Lu Chaojun, SJTU

  40. 命题公式分类 • 若命题公式A在任一赋值下值都为1,则称A为永真式(或重言式,tautology). • 例: a  (a). • 重言式由,,,联结所得公式仍是重言式. • 重言式反映了逻辑规律. • 若A在任一赋值下值都为0,则称A为永假式(或矛盾式contradiction). • 例: a  (a) • 若A在某个赋值下值为1,则称A是可满足式. • 例: a  b 40 Lu Chaojun, SJTU

  41. 三类公式间关系 • 以下关系是显然的 (1) A永真 iffA永假. (2) A可满足iff A非永真. (3) A非可满足 iffA永假. (4) A非永假 iff A可满足. 可满足 永假 永真 41 Lu Chaojun, SJTU

  42. 真值表技术 • 问题:如何确定命题公式的永真永假可满足性质? • 方法:构造命题公式的真值表. • 针对公式中的所有命题变量,罗列所有可能的真值赋值; • 思考:设有n个命题变量,则有多少可能的赋值? • 对每一赋值,从小到大计算子公式的真值. • 例: (x(xy))y是重言式吗? Lu Chaojun, SJTU

  43. 逻辑题: 谁是谁? 某岛上只有骑士(knight)和无赖(knave)两种居民.骑士总说真话,无赖总说假话. 假如你去该岛后遇到甲乙两人, 甲说:“乙是骑士.” 乙说:“我们两人是不同类型的人.” 问甲和乙分别是什么人? 43 Lu Chaojun, SJTU

  44. End

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