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一、三角形面積公式. 1. 三角形面積公式:. A. A. A. b. b. b. B. H. C. C. B. B. a. a. a. H. C. C 為直角. C 為鈍角. C 為銳角. 說明: 由上圖知: ABC 的高都等於 b sinC. 本段結束. 2. 範例: 求下列各三角形的面積。. 解:. = 20 。. Let’s do an exercise !. 馬上練習:求下列各三角形的面積。. 解:. = 21 。. #.
E N D
一、三角形面積公式 1. 三角形面積公式: A A A b b b B H C C B B a a a H C C 為直角 C 為鈍角 C 為銳角 說明:由上圖知:ABC 的高都等於 bsinC 本段結束
2. 範例:求下列各三角形的面積。 解: = 20。 Let’s do an exercise ! 馬上練習:求下列各三角形的面積。 解: = 21。 #
3. 範例:如圖所示,已知 ABC 兩邊長為 a = 4,b = 12, 且 BCA = 120, C 12 60 4 60 k A B D 解: 24 = 2k+ 6k, 故所求 k= 3。 Let’s do an exercise !
馬上練習:如圖所示,已知 ABC 一邊長為 c = 12 且 BAC = 120, A x 12 8 B C D 解: 6x = 48 + 4x, 故所求 x = 24。 #
D 4. 四邊形的面積:設 為四邊形 ABCD 之 A v x P y 180 u C B 證明:四邊形 ABCD面積 = PAB + PBC + PCD + PDA 注意:若四邊形 ABCD 的對角線 #
二、正弦定理 1. 正弦定理: 其中 R 為 ABC 外接圓半徑。 說明: A A A C A a B O O C B 2R O a=2R A 2R C B a A是銳角 A是鈍角 A是直角 注意: a:b:c= 2RsinA:2RsinB:2RsinC=sinA: sinB: sinC。 #
2. 範例:如圖,求 x,y 的值與 ABC 的外接圓半徑。 A 45 解: =2R x y 60 75 C B 外接圓半徑 R = 1。 又 2R = 2 Let’s do an exercise !
馬上練習. ABC 中,已知 A = 30, 解: C 90 4 60 30 A B c 8 C 30 4 120 30 A c 4 B #
sinA<sinB,且 sinA 與 sinB 3. 範例: 求 ABC 的外接圓半徑。 解: =2R Let’s do an exercise !
馬上練習:設銳角三角形 ABC 的外接圓半徑為 8。已知外接圓 <102學測> A 解: 2 O 8 7 B C = 16 #
4. 範例:以 O 表坐標平面的原點。給定一點 A(4, 3), 而點 B(x, 0) 在正 x 軸上變動。 求△OAB中兩邊長比值 <95數甲> A(4, 3) 解:由正弦定理得 5 O B(x, 0) x #
三、餘弦定理 1. 餘弦定理: y y y C(bcosA , bsinA) C(bcosA , bsinA) C(bcosA , bsinA) a a b a b b x x x c c c A A A B(c,0) B(c,0) B(c,0) A為銳角 A為直角 A為鈍角 To be continued 注 意
注意:(1) A = 90(直角三角形 ) 時,cos A= 0 也就是說:畢氏定理為餘弦定理的特例。 (2) A > 90(鈍角三角形 ) 時,cos A< 0 (3) A < 90(若A為最大角銳角三角形 ) 時,cos A> 0 本段結束
2. 範例:求下各圖中的 x 值。 A (2) A (1) x 5 2 3 x 60 C C B B 4 7 解: x= 120。 #
3. 範例: A 解: 13 7 x C B 8 D 7 Let’s do an exercise !
馬上練習:四邊形 ABCD 中, 解:DAB = BCD= 90 D ABCD 為圓內接四邊形 5 B + D= 180。 7 C x A 5 1 B #
4. 範例:在 ABC 中, 求 ABC 的最大、最小角的度數。 解: 最大角 B = 120。 最小角 A = C = 30。 Let’s do an exercise !
馬上練習. 在 ABC 中,已知 (b + c):(c + a):(a + b) = 6:5:4, 求 (1) sinA:sinB:sinC。 (2) ABC 中的最大角。 a+ b= 4k, c+ a = 5k, 解:(1) 令 b+ c = 6k, sinA:sinB:sinC=a:b:c = 3:5:7。 (2) 令 a = 3r,b = 5r,c = 7r, C = 120。 #
若 □ABDE、□ACFG 5. 範例: 均為正方形, G 解: 6 A E F 5 6 5 C D 4 B #
四、正餘弦定理的應用 1. 海龍公式:設 ABC 的三邊長為 a,b 和 c, 證明: ABC 的面積 Let’s do an exercise !
海龍公式:設 ABC 的三邊長為 a,b 和 c, 馬上練習: 求 ABC 其面積。 解: 本段結束
2. 平行四邊形定理: 平行四邊形的二對角線長的平方和等於四邊平方和。 證明: a D C b b A B a = 2a2 + 2b2 。 Let’s do an exercise !
平行四邊形定理: a D C 平行四邊形的二對角線長的平方和 b b 等於四邊平方和。 A B a 馬上練習: A 6 4 解: x D C B 8 x 4 (2x)2 + 82 = 2(42 + 62) 6 # E
3. 角平分線: 證明: A (角平分線任一點到角的兩邊等距離) o o P h Q h C B D A o o P o o B C E 本段結束
4.範例: 解: A 6 4 x C B 2 D 3 Let’s do an exercise !
馬上練習:ABC 中,若A 之外角平分線交直線 BC 於 E, A 解: 10 x = 2:1 。 5 B C E 7 7 #
5. 範例:在 ABC 中, <101數甲> 解: A 7k 5k 60 B C D 5 7 #
6. 範例: 求 ABC 的面積。 C 解: 3k b a 2k 3 F A B c 4k #
7. 範例: 使得 APQ之面積 為 ABC 面積之一半, < 98學測 > 解: C 9 Q y A B x P 10 ∵ 算幾不等式 本 節 結 束
馬上練習:如右圖,ABCD 為圓內接四邊形。 若DBC = 30,ABD = 45, 解:DAC = DBC = 30, A D 30 ACD = ABD = 45, 6 45 C 45 30 B #